変分法入門 (pdf) - CoMFoS

変分法入門
大塚厚二
広島国際学院大学情報学部
実験(面外変形)
ガラス製のボール
(半径 125mm)
にサランラップを張って
ジャムのビン
( 半径 27.5mm, 重さ
300g)を載せ，サランラ
ップの変形を見る。
観察して分かるものでない。
図 1 斜め横から移した写真
図 2 真横から写した。最大 1cm～2cm 沈んでいる。
Antiplane Strain（面外歪）
もし u1  u 2  0 で u 3  u 3  x1, x 2  ならば，釣合方程式は
- 21 31  2 2 32  f3 in 
となる。薄膜の形状は u  u 3 に関する偏微分境界値問題
(1.1)
u  f in ,
u  0 on 
を解くことで得られる。ここで，
   x, y : x  125 cos t, y  125 sin t, 0  t  2  


f  x1, x 2   0.3 27.52   D,
 D  x   1 if x  D else 0
D   x, y : x  27.5 cos t, y  27.5 sin t, 0  t  2 
ソボレフ空間
領域  で定義された p 乗可積分な関数 f  x  の全体をLp   


L   f :  f   ,
p
p

f
0,p

 f 
p
1/ p

（厳密には，連続関数をノルムで完備化したものとして定義）
関数 f  Lp    の超関数(distribution)微分  i f  Lp    , i  1, 2, 3 と
なる関数の全体を W 1,p   
f 1,p 


p
f   i 12
, ,3   i f

p

1/ p
局所 Lipschitz 条件を満たす領域
x   x ', xN  , x '  d 1

  U  x 0 
'
xN


 
P' x
x N  hx0  x'
 '

x'
0

 x ',h x
0
xN  
 x '  : x '  
  U  x0 
  x ', xN  :

h x0  x '   x N, x '  
h x 0  x '   h x 0  y' 
 M x ' y '
境界積分
領域  が Local Lipschitz 条件を満たすとする。開集合の族
U r , r  0,,m が U0  , U r      r  0  を満たす  の
covering とする。そして， r , r  0,, m を対応する１の分解と
する。関数 f  C0    に対して
m
 fdS    xr  f  xr , h r  xr    r  xr , h r  xr   dSxr
r 1
1/ 2
d 1
dSxr

2
  1    h r  xri   xri  
 i 1

よって，L    を 
p

p
dxr
f dS   を満たす関数の集合として定義。
トレース定理
実数 0  m  1に対し， W m,p    を要素 f がノルム
f
m,p,
1p


f  xr   f  yr 
   
dxrdyr 

d
pm
 r 1 yr  x r  xr  yr



p
m
をもつ関数空間で定義する。
任意の f  W 1,p    に対し， f  W 11 p    が存在し，
(1.2)
f 11 p,p,  C f 1,p,
を満たす定数C  0 が存在。 f  C0    なら f  x  f   x .
1
1
J. Nečas, Méthodes directes en théorie des équations elliptiques, p.99
Green の公式
Let  be a domain in 
d
with local Lipschitz property.
,
If f  W 1,p    , g  W 1q
   with the following;
1.
11
p q
 dd1 if d  p  1, d  q  1
2. q  1 if p  d and p  1 if q  d
then we have
(1.3)    i f g   fgn i   f   ig



where n   n1,, nd  is the outward unit normal .
2
2
J. Nečas, Méthodes directes en théorie des équations elliptiques, p.121
多角形領域での解
通常の有限要素解析では，領域を多角形領域で近似して計算を
する。偏微分境界値問題では，領域が滑らかであると仮定して理
論が展開されている。ここでは，滑らかでない領域での解の性質
について述べる。次の本を参照した。
[Gr75] P.Grisvard, Behavior of the solution of an elliptic
boundary value problem in a polygonal or polyhedral domain,
Numer. Sol. of Partial Diff. Equations–III, SYNSPADE, 1975
[Gr85] P. Grisvard, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains,
Pitman, 1985
[Gr92] P. Grisvard, Singularities in Boundary Value Problems,
MASSON, 1992
領域の形状
Let  be a polygonal domain whose boundary  is Jj1j
where j1 follows j according to the positive orientation.
Denote by  j the angle between j1 and j at  j which is
the endpoint of j1 and j and  j  j  j1. Let D and
N be the subset of j : j  1,,J.
For
f  Lp   
given
,
gj  W 2 1/ p  j  , j  D
gj  W 11/ p  j  , j  N , find u such that
(1.4)
 u  f
in 
(1.5)
u   gj
on  j, j  D
(1.6)
 n u   gj
j
j
 j  j  end points
on  j, j  N
and
Lax-Milgram Lemma(解の存在)
Let V be a Hilbert space and let a be a continuous bilinear
form on V  V (a does not need to be symmetric). Assume
that a is coercive, i.e. that there exists a constant   0 such
that
a  v, v    v
2
V
for all v  V
Then for every continuous linear form l on V , there exists a
unique u  V such that
(1.7) a  u, v   l  v  for every v  V
(see e.g. K.Yosida; Functional Analysis 2nd Ed. P.92)
弱形式(Weak form and weak solution)


,
Put V  v  W 12
   : v   0 for j  D . Multiplying (1.4) by
j
v  V both side and integrating the result over  , we have
  vu   fv


Then by Green’s formula,
  vu    v n u   vu



the problem (1.4) (1.5) (1.6) is translated into finding u  V ;
a  u, v   l  v  for all v  V
(1.8) a u, v  u  v, l v  fv 
  
  
  gjv


jN
j
The formula (1.8) is called weak form of (1.4) (1.5) (1.6)
when and u  V is called weak solution.
If D   , then a  w, v  is coercive. So the problem (1.4)
(1.5) (1.6) has an unique solution u  V .
Let us denote by S,M  j : j  1,,J; for j  S, the boundary
conditions are same on j and j1, and for j  M , differ.
1    j when j  S;



j
 , 3 ;
1
1
when
j
M
,







j


2
2 2
(1.9) 
no j when j  M and  j  2 ;

1    3  j ,   2 when j  M and  j 

2

Assume that
j

for j  S and
1  j
2

3 ;
2
j  M are non-integer.
If there is a integer  satisfying (1.9), then u with f  L2   
and gj  0, j  1,,J has the form with numbers  j
u    j u j,  W 2,2   
where the sum is over all j  1,,J and all  satisfying (1.9).
  j

rj
sin    j j  , if j and j  1 D,

  j

r
cos    j  j  , if j and j  1 N
j

u j,  x   
   j
sin     1 2    j j  , if j  D and j  1 N
 rj

rj j cos    j   j   j ,if j  N and j  1 D



where     21 . [Gr75, p.214] (Results are in Lp-theory).
凸領域での解の滑らかさ
Let  be a convex, bounded and open subset of  . Assume
d
an operator L defined by
L
d

i,j1
 i a ij j 
If there is a constant   0 such that
a ij  x   i j   
2
for all   d , x  
and a ij  a ji  C0,1    , then for each f  L2    and for each
b0  0 there is u  W 2,2    which is the solution of
 a ij ju i v  bouv    fv
,
for all v  W 12
   [Gr85, p.149].
弾性論
We assume here that  t u  0 . Put

V  vW
12
,

d

:v   0
D
Multiplying v  V both side and integrating the result over  ,
we have
  j iju i   f  v


Then by Green’s formula,
   j iju i     ij ju i    ij ju i



the problem is translated into finding u  V ;
a  u, v   l  v  for all v  V
(1.10)
a  u, v     ijij, l  v    f  v  


Here we used  ij ju i   ijij form  ij   ji .
N
g v
Korn の不等式
(see e.g. Necas 1981, p.85) Let  be a domain with local
Lipschitz boundary. Consider a closed subspace V ,
,
W012

d
V W
12
,


d
. Let
R be rigid motion, i.e.
R  v  x  : v  x   a  b  x for a, b  d

Let R V  R  V and let QV be the orthogonal complement of
PV , i.e., V  PV  R V . Then there is a constant 0  0
(1.11)
 ij  u  ij  u   0
u
2
12
, ,
for all v  QV
called Korn’s inequality, which leads the existence of   0 s.t.
a  v, v    v
2
12
, ,
for all v  V , if D  0
平面歪(plane strain)
軸に垂直で，軸方向に一様な荷重が作用する長い柱状の物体
 3 u1   3 u 2  u 3  0,  33    11   22 
u1      1  1u1   2 u 2   f1   t2 u1
u 2       2  1u1   2 u 2  
2
f2   t u 2
平面応力(plane stress)
板の中央面に平行な力を受ける薄い平板の応力状態
 3 u1   3 u 2  u 3  0,  33    11   22 
u1   11  1  1u1   2 u 2   f1   t2 u1
u 2   11   2
 1u1   2 u 2  
2
f2   t u 2
Consider a plate under plain strain or plain stress on ]  h, h [
where  is a bounded polygonal open subset of  2 with no
corner of measure 0  tan 0 . Then by the Korn’s inequality,
we
have
f  L 
2
2
an
unique
and gj  W
12
displacement
 j 
2
uW
12
,

for all j such that
 cos j gj   j  sin  j gj  j 
 cos  j gj1   j1  sin  j gj1  j1
at  j
 f   g  0
(1.12)
J
  x 2f1  x1f2      x 2gj1,  x1gj,2   0
j1
2
for
Then there is numbers cj,z such that
u   j1,,J  z cj,z Sj,z  W
where
z
is
the
sum
2,2

over
2
the
real
z
satisfying
sin2 zj  z 2 sin2  j in the interval ]0,1[ . Here Sj,z is the
vector valued function defined by
Sj,z  rjz j,z   j 
where j,z is the following vector valued function
 z  1 sin  z  1 j   z  1 sin  z  1 jj,z,1
  z  1 cos  z  1  j  cos  z  1 jj,z,2
and
     z cos  z  2   j      z  2   2 cos z j 
j,z,1  

      z sin  z  2   j      z  2 sin z j 




j,z,2

    z sin  z  2  j      z  2 sin zj 


     z cos  z  2   j      z  2   2 cos z j 




([Gr92, p.118]).
By the Airy’s stress function U ;  11   22 U , ,  22  12U ,
 12  1 2U , the problem is translated to
 2U  0 in ,
(1.13) U    j on j,  j  gj  j  W 1 2,2  j 
j
 nU    j on j, j  gj   j  W 1 2,2  j 
j

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