工具運動の 4 次元メッシュモデルを用いた 5 軸加工におけるワーク形状

修士論文概要(2013 年 2 月 13 日)
SSI-MT79113188
工具運動の 4 次元メッシュモデルを用いた
5 軸加工におけるワーク形状変化の連続プロセス表現
北海道大学大学院情報科学研究科システム情報科学専攻
システム創成情報学講座システム環境情報学研究室
亀山博隆
1
はじめに
切削加工の分析・評価においては，工具の運動に伴
うワーク形状の時間変化を記述できるモデルが必要に
なる．しかし，これまでの 3 次元モデル表現では，ワ
ーク形状の連続的な変化に対し，離散的な時間の情報
しか表していない．そこで本研究では，4 次元形状を
境界となる四面体の集合で構成する 4 次元メッシュモ
デル[1]を用い，時間的に変化するワーク形状を含めた
切削プロセスを明示的に記述することを目的とする．
上記目的の達成のために，時間進行に伴い位置や姿
勢，形状を変化させる工具掃引領域の履歴表現を提案
し，その表現を実現する 4 次元メッシュモデル（4 次
元累積体）の 2 つの生成アプローチ，および生成結果
の比較を示す．生成した 4 次元メッシュモデルからは
加工領域を抽出し，連続的に表現できているかを確認
することで，従来の 3 次元モデル表現と比べて 4 次元
による切削プロセス表現が優位性を持つことを示す．
2
4次元累積体
各時刻での3次元工具掃引領域
図 1 4 次元累積体
切削加工においては，工具の運動によってワーク
（加工物）
の形状が変化していく過程を逐次表現する．
加工前の初期ワーク形状と時刻 𝑡𝑖 でのワーク形状を
4 次元メッシュモデル
3 次元の空間的広がりと 1 次元の時間の流れを 4 次
元ユークリッド空間 R4 と考えたとき，3 次元形状の運
動や変形といった動的変化は静的な 4 次元形状として
扱うことができる．川岸[1]は，4 次元形状の境界を四
面体状の胞の集合で表した 4 次元メッシュモデルを提
案している．4 次元メッシュモデルの特徴は，運動や
変形により空間配置と形状を変える対象を，4 次元形
状モデリングの枠組みで統一的に記述できることにあ
る．これによって，従来まで時間の表現手法やシミュ
レーション手法などに依存していた動的な対象表現・
操作を，すべて幾何の概念で形状モデル表現・操作と
して取り扱うことができる．
3
それぞれ 𝑤, 𝑤𝑖 (∈ 𝑅3 )とおく．また工具の時刻 𝑡𝑖 での
占有空間を 𝑣𝑖 (∈ 𝑅3 ) とおく．このとき，時刻 𝑡𝑖 でのワ
ーク形状 𝑤𝑖 は，式(1)のように表すことができる．
𝑤𝑖 = 𝑤𝑖−1 − 𝑣𝑖
= 𝑤 − 𝑣0 − 𝑣1 − 𝑣2 − ⋯ − 𝑣𝑖
= 𝑤 −∪ 𝑣( 𝑡𝑖 )
(1)
式(1)の右辺に現れる ∪ 𝑣( 𝑡𝑖 ) は，時刻 𝑡𝑖 までに切削
工具が存在したすべての点からなる工具掃引形状であ
る．初期ワーク形状 𝑤 から集合演算でこの領域を取り
去ることで時刻 𝑡𝑖 でのワーク形状 𝑤𝑖 が得られる．
この
ように，切削加工では過去からの工具運動履歴が累積
時空間での切削プロセス表現
した形でワーク形状が作られる．
3.1 切削加工における形状創成
1
3.2 4 次元累積体
切削プロセスを 4 次元で表現するために，ワーク
や工具掃引領域を時間方向に累積した，連続的な 4
次元形状を定義する．この時間累積された 4 次元形
状を“4 次元累積体（Four - Dimensional Accumulated
Volume ）
”と呼ぶ．4 次元累積体は，工具掃引領域
の履歴を，
時間軸を拡張した 4 次元空間での形状
（𝑨）
として表現したものであり，
以下のことが成り立つ．



4 次元累積体の時刻 𝑡𝑖 での断面 𝑨|𝑡=𝑡𝑖 は 3 次元
工具掃引領域に等しい．
任意の 4 次元空間の 𝒑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ 𝑹𝟒 ，正の数
𝑑 について， 𝒑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ 𝑨 ならば，
𝒑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 + 𝑑) ∈ 𝑨
4 次元累積体の境界を構成する閉超曲面 𝛛𝑨 上
の点 𝒑 において，外向き法線ベクトル 𝒏𝑝 と，
時間軸の正の単位ベクトル 𝒆𝑡 との間には
𝒏𝑝 ∙ 𝒆𝑡 ≤ 0 が成り立つ．
4次元工具形状
4次元ワーク形状
切削
工具
ワーク
（加工物）
図 2 時空間での切削プロセス表現
𝑹=𝑾∩𝑨
(3)
4次元工具形状
集合演算
4次元工具形状
3.3 4 次元累積体から得られる加工情報
工具が時空間を運動することで得られる 4 次元工
具形状と，工具が時間進行に伴いワークを切削する
ことで得られる 4 次元ワーク形状が図 2 のようにあ
るとする．このとき，切削は 4 次元工具形状と 4 次
元ワーク形状が接している時間範囲で起こる．さら
に，図 2 下部の工具とワークのモデルは，3 次元に
おける工具とワークの位置関係を示しており，4 次
元形状の各時刻における超平面との交差断面により 3
次元形状として抽出される．
また，図 3 において，ワークの初期形状を時間軸に
掃引して得られる 4 次元ワーク形状を 𝑾 とし，
工具運
動によって形成される工具運動履歴を表す 4 次元累積
体を 𝑨 とする．このとき，全時刻におけるワーク形状
の履歴を表す 4 次元のワーク形状履歴 𝑫 と除去体積
履歴 𝑹 は，ワーク形状 𝑾 と工具累積体 𝑨 の集合演算
として，それぞれ式(4.3)，式(4.4)で得られる．
(2)
工具掃引領域履歴
（4次元累積体）
初期ワーク形状
（4次元掃引形状）
図 1 に，工具運動履歴を表す 4 次元累積体のイメ
ージを示す．工具が時間進行に伴って運動すること
で，3 次元の掃引領域は拡大していく．また，途中
の断面 𝑽|𝑡=𝑡𝑖 を考えると，𝑽|𝑡=𝑡𝑖 は 𝑡 = 𝑡𝑖 以前に工
具の存在した全ての空間の累積となる．対象とする
形状のどの時間においても，その時間より過去の工
具掃引領域の履歴を抽出することができる．
𝑫 =𝑾−𝑨
切削
これらから，任意時刻 𝑡𝑖 における超平面との交差断
2
：加工物（ワーク）形状履歴
図3
：除去体積履歴
4 次元形状からの加工情報の抽出
面 𝑫|𝑡=𝑡𝑖 ，𝑹|𝑡=𝑡𝑖 をそれぞれ抽出することで，ワーク
形状と除去体積が得られる．
また，ワーク形状履歴 𝑫 において，境界を構成する
四面体集合 ∂𝑫 の点を 𝑝，𝑝 の法線ベクトルを 𝒏(𝑝)，
時間軸の正の単位ベクトルを 𝒆𝑡 とすれば，時間進行に
より形状が変化している境界は式(4.5)を満たす．
𝒏(𝑝) ∙ 𝒆𝑡 > 0
(4)
式(4.5)を満たす境界は加工領域の時間履歴を表し
ており，時間的連続性のあるワーク形状変化が，時間
軸に傾きを持った幾何として明示的に表現できる．
また，この他にも 𝑨 からは，単位時間当たりの除去
体積，切削速度，切り込み量といった切削現象におい
て重要な量も抽出可能である．
4
4 次元累積体の生成アプローチ
4.1 時系列ボクセルモデルからの生成方法
工具掃引履歴情報を持つ 4 次元累積体の生成の流れ
を図 4 に示し，以下でボクセルを経由した方法（図 4
((𝐴) → (𝐵) → (𝐸))）で取得するステップを説明する．
I.
G コードで表された加工情報をもとに，5 軸切削
シミュレーションにより工具運動軌跡を求め，工
具・ワークの 3 次元ボクセル時系列データを取得．
II. 取得した時系列データに対し，式(2)に示すボク
セル同士の論理和演算を行い，3 次元ボクセルモ
デルの時間累積した時系列データを取得．
𝑉𝑛 = 𝐺0 ∪ 𝐺1 ∪ 𝐺2 ∪ ⋯ ∪ 𝐺𝑛 = 𝑉𝑛−1 ∪ 𝐺𝑛
4.2 3 次元メッシュモデルからの生成方法
3 次元メッシュモデルからのアプローチ（図 4(D)→
(E)）では，まず小友ら[2]が提示した手法を用い，3 次
元メッシュモデルと 4 次元空間内における移動方向と
移動量を入力として，以下の手順で 4 次元掃引形状を
生成する．
3 次元モデル内部の四面体分割
3 次元モデルの運動による掃引形状の四面体分割
①，②の四面体を統合して 4 次元メッシュ出力
次に，4 次元掃引形状から点群データを取り出し，4
次元累積体の境界頂点となるように 4 次元空間に点群
を再配置する．これに Ball Pivoting Algorithm[2]を 4 次
元に拡張した 4D-Ball Pivoting を適用することで四面
体を逐次的に生成し，4 次元累積体を得る．
5
集合演算
(B) 3次元時間累積
時系列ボクセルモデル
4D-Marching Cubes
四面体分割
(C) 3次元メッシュ
モデル
+ 運動軌跡
4D-Ball Pivoting
(E) 4次元累積体
(D) 4次元掃引形状
（工具運動を時間軸（工具掃引領域の
履歴を表す
方向に掃引した
4次元メッシュモデル） 4次元メッシュモデル）
(5)
式(2)において，𝑉𝑛 は 𝑛 番目の工具運動が終了
した段階での工具累積体の占める領域を表し，𝐺𝑛
は第 𝑛 番目の工具掃引形状が占める領域を表す．
III. 時間累積した時系列データを 4D-MarchingCubes
法[1]によって 4 次元メッシュモデルに変換．
①
②
③
(A) 3次元時系列
ボクセルモデル
4 次元累積体の生成例
5.1 切削シミュレーションによるボクセル取得
4 次元累積体を作成するために，5 軸切削シミュレ
ーションを行い，工具運動軌跡を導出した．ボクセル
時系列データ生成は，工具・ワークの運動をすべてワ
ーク座標基準として行った．図 5 は，シミュレーショ
ンを行った際の x - y 平面上での工具相対運動のパスで，
丸数字の順序で工具が移動する．四角で囲まれた基準
点を(40, 40 )とする領域はワーク存在領域を表し，プロ
ット点はボクセルファイル生成地点を表す．工具の姿
勢変換は図 5 中の①および②の移動中に行った．ここ
では工具（ボールエンドミル）中心の初期座標は(x，y，
3
図 4 4 次元累積体の生成アプローチ
y
y
z
工具傾斜角：
x 軸方向に-30°
z 軸方向に30°
x
ワーク存在領域
③
yz
④ ワーク基準点 ②
x
①
x
工具傾斜角：
x 軸方向に30°
z 軸方向に-30°
図 5 5 軸切削シミュレーションによる工具経路生成
z) = (20，20，25)，工具半径 3 [mm]，工具長 15 [mm]，
ワーク初期座標は(x，y, z) = (40，40，20)とした．また，
ボクセル 1 個のサイズは 0.5×0.5×0.5 [mm]，空間分割
数は各 2563 個，刻み時間は 1.0 [s]，生成したボクセル
の時系列データ数は各 64 ステップとした．
5.2 4 次元累積体の生成と加工領域導出
5.1 で取得した時系列データに対し，式(2)に示した
演算を繰り返し行うことで時間累積した時系列データ
を生成し，4 次元メッシュモデルへの変換を行った．
(OS：Windows7 64bit，CPU：Intel Core i5 3.33GHz，主
記憶：8.0GB) 次に，生成した 4 次元メッシュモデルか
ら，断面形状の抽出（図 6）や加工領域の導出（図 7）
を行った．断面抽出結果からは，指定面における 3 次
元形状の時間変化や指定時刻での 3 次元形状の状態が
わかり，時間経過とともに工具掃引領域が拡大されて
いることを確認した．また，任意面や任意時間におけ
る加工領域を表示させることで，切削プロセスが時空
間に連続的に表現できることを確認した．
5.3 3 次元メッシュモデルから工具掃引形状生成
5.1 の 5 軸切削シミュレーション時と同じサイズの
工具（頂点数 682，三角形数 1360）とワーク（頂点数
12,002，三角形数 24,000）の 3 次元メッシュモデルに
対し，図 5 と同様の工具運動を与え，3(2)で述べた方
法を用いて工具 4 次元掃引形状を作成した．図 8(a) は
生成した 4 次元メッシュモデルの断面抽出結果である．
ボクセルから生成した図 8(b) のモデルと比べて，滑ら
かな形状となった．また，表 1 のように，3 次元メッ
シュモデルから生成した 4 次元メッシュモデルの方が
データ量は小さく，短時間で生成可能であった．
4 次元掃引形状からの 4 次元累積体生成に関しては，
3 次元 Ball Pivoting Algorithm を行うとメッシュの欠落
が発生する問題が生じることが分かっている．この問
題を解消した上での 4 次元への拡張が必要である．
6
ワーク
y
工具
t
z
ワーク
(a)
yt x
ワーク
(c)
(b)
図 6 ボクセルからの生成モデルの断面抽出結果
加工領域
y zx
加工領域
y t
z
yzx
加工領域の時間変化
(a)
(c)
(b)
yt
xt
z
x
y
t
x
加工領域の時間変化加工領域の時間変化加工領域の時間変化
(d)
[1] 川岸他，サイバーフィールドのための４次元メッシュモデ
リングシステムの開発，北海道大学大学院情報科学研究科
平成 21 年度システム情報科学専攻修士論文集，2010.
[2] 小友活，3 次元メッシュモデルとその運動による 4 次元メッ
シュモデル生成に関する研究，北海道大学工学部卒業論
文集(2011)
[3] Bernardini, F., The Ball-Pivoting Algorithm for Surface
Reconstruction, IEEE Transactions on Visualization and Computer
Graphics, 5(4), pp.349-359 (1999).
4
y
x
ワーク
y
x
ワーク
t
t
工具
工具
ボクセルから生成
3次元メッシュから生成
図 8 生成方法の違いによる抽出結果の比較（𝑧=16 断面）
表 1 4 次元掃引形状の各データの比較
生成方法
時系列ボクセルモデル
（各64個，256×256×256）
3次元メッシュモデル
（t =0～64）
3.
4.
学会発表リスト
亀山博隆，小野里雅彦，田中文基，４次元メッシュモデル
を用いた切削プロセス記述に関する研究， 2011 年度精密工
学会北海道支部学術講演会講演論文集，pp. 7-8, 2011.9.3.
亀山博隆，小野里雅彦，田中文基，４次元メッシュモデル
を用いた５軸切削プロセス記述に関する研究， (社)日本機
械学会生産システム部門研究発表講演会 2012 講演論文集，
No. 12-7, pp. 31-32, 2012.3.13.
(f)
(e)
図 7 ボクセルからの生成モデルの加工領域導出結果
参考文献
2.
工具
工具
結論
本研究では，切削プロセスを明示的に記述するため
に，過去の掃引履歴情報である 4 次元累積体を 4 次元
メッシュモデルで表すことを提案した．また，5 軸切
削シミュレーションでの工具運動軌跡の導出により，
ボクセルから 4 次元累積体を取得するシステムを実装
した．生成した 4 次元メッシュモデルの断面抽出や加
工領域の導出結果からは，任意時刻までの工具掃引領
域が表現できることや，切削プロセスが時空間に対し
連続的に表現できることを示した．また，3 次元メッ
シュモデルから工具の 4 次元掃引形状を作成し，デー
タ量や表現精度の観点で 3 次元メッシュモデルからの
4 次元形状生成の優位性を確認した．今後の展望とし
て，4 次元形状からの除去体積の算出，4 次元掃引形状
からの 4 次元累積体の生成を検討する必要がある．
1.
yzx
5.
モデル頂点数四面体数生成時間データ量
工具
約31万約186万 7.5[sec]
33MB
ワーク約397万約2097万 37.2[sec] 380MB
工具
約26万約122万 0.7[sec]
23MB
ワーク約73万約343万 2.2[sec]
64MB
亀山博隆，小友活，小野里雅彦，田中文基，工具運動の４
次元メッシュモデルを用いた５軸加工におけるワーク形状
変化の連続プロセス表現，2012 年度精密工学会秋季大会学
術講演会講演論文集 (CD-ROM) ， H13, pp. 565-566,
2012.9.14.
Hirotaka KAMEYAMA, Ikuru OTOMO, Masahiko ONOSATO,
Fumiki TANAKA, Representing Continuous Process of
Workpiece Transformation in Five-Axis Machining Using
Spatio-Temporal Model, Proc. of Asian Conference on Design and
Digital Engineering 2012 (ACDDE 2012), Niseko, Japan,
2012.12.06.
亀山博隆，小野里雅彦，田中文基，工具運動の４次元メッ
シュモデルを用いた５軸加工におけるワーク形状変化の連
続プロセス表現（第２報）－工具運動履歴表現のための４次
元累積体生成－，2013 年度精密工学会春季大会学術講演会
講演論文集(CD-ROM), 2013.3.13(予定)

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