高周波数域のためのFMBEMの適用性

FMBEMによる広域音響伝搬解析
―高周波数域のためのFMBEMの適用性― *
☆樋口和孝，関根秀久，安田洋介（神奈川大・工），大嶋拓也（新潟大・工）
S
はじめに
2
Time [s]
筆者らは，大規模定常音場解析手法である高速
多重極 BEM（FMBEM）[1, 2] の適用を前提とし，
屋外広域音響伝搬解析に向けた検討を行っている．
既報 [3] では，低周波数域のための FMBEM
（LF-FMBEM）[2] を前提に，解析対象の範囲・
形状・分布が解析精度・効率に及ぼす影響につい
て検討し，影響が微小なことを示した．
本報では，
高周波数域のための FMBEM（HF-FMBEM）[1] を
前提とし，既報[3] 同様の検討を含む広域解析へ
の適用性向上のための様々な検討を行う． 1000
解析手法
M
3D
6m
6m
2D
Fig.1
(a) 2D
S
M
100
解析ケース（6 m）
Memory [GB]
1
(b) 3D
10
100
(a) 2D
S
M
(b) 3D
10
2.1 FMBEM
1
1
6
10
18
6
10
18
6
10
18
6
10
18
object
size
[m]
object size [m]
object
size
[m]
object size [m]
FMBEM は BEM の効率化手法である．
Fig. 2 1 反復あたりの Fig. 3 必要メモリ：(a) 2D，(b) 3D
解析対象を内包する階層セル構造（立方体）を
計算時間：(a) 2D，(b) 3D
導入し，セル間での影響評価を通して効率化を
p
L
図る．計算時間・メモリは未知数 N に対し
L
O(NlogN) にまで低減されるが，解析対象のサイ
cell F
ズ・形状により，階層セル構造のサイズや階層化
cell F
Case 2
レベル，各セルと境界要素との関係が変化する．
これらが計算精度・効率に影響を及ぼす．
2.2 HF-FMBEM
level 2
HF-FMBEM では，多重極・局所展開の代わりに
cell S
level 3
p
平面波展開を用いる．3 次元定常音場基本解の展
L
M
開は次式で表される．
cell N
cell S
L
M
level 2
jk
q
ˆ
level
1
G (r p , rq ) =
Case 1
∫ E pL (k )TLM (k ) EMq (k )dk (1)
cell N
root
16π 2
ここで，
Fig. 4 階層セル構造及び多重極・局所展開点
3
2
3
2
2
l =0
E Mq (k ) = exp( jk ⋅ rMq ) ,
(2)
r = (r, θ , ϕ)，k：波数ベクトル，k = |k|，kˆ = k/k，
hl(1) ：第 1 種球 Hankel 関数，P(l) ：Legendre 多項
式，Nc：無限級数和打ち切り次数， ∫ dkˆ ：単位球
面積分，M, L：多重極・局所展開点．
3
適用性の把握
3.1 検討方法
詳細は既報[3] での検討方法と同様．
解析対象立方体形状を基に，解析ケースを次の
3 軸により構成した：(i) 分布（2D，3D），(ii) 形
状（S：Split，M：Multiple），(iii) サイズ（6，10，
18）．サイズ 6 m の場合の解析ケースを Fig. 1 に
*
1e-1
(3)
2000
1000
1e-2
1e-3
Relative error in amplitude
1e-4 1e-5 1e-6 1e-7 1e-8
l=2
1e-9
1e-10
l=3
100
Nc
Nc
TLM (k ) = ∑ j l (2l + 1)hl(1) (krLM ) Pl (kˆ ⋅ rˆLM ) ,
3
Nc
10
D
=k
Nc
D
=k
1
2
100 200 2
10
kD
10
100 200
kD
Fig. 5 l = 2, 3 の場合の kD，Nc，精度の関係
示す．全面振動境界の外部問題である．
A basic investigation for prediction of outdoor sound propagation in large area using FMBEM: applicability of FMBEM for high-frequency
problems. by HIGUCHI, Kazutaka, SEKINE, Hidehisa, YASUDA, Yosuke (Kanagawa Univ.), and OSHIMA, Takuya (Niigata Univ.)
計算方法 HF-FMBEM（間接
Table 1 n，rc，dc/rc の関係
rc
型）を用いる．解析対象を囲
dc
512
4 096 13 824 32 768 64 000 110 592 175 616 262 144
n
む階層セル構造のサイズ（ル
1.375
0.608
0.375
0.262
0.196
0.152
0.121
0.097
rc
ートセルサイズ）は前項 (iii) d c/r c 0.045 0.103 0.167 0.238 0.320 0.412 0.519 0.643 Fig. 6 解析モ
デル（部分）
のサイズとする．解析ケース
d /r
d /r
によらず要素サイズ（16 mm 程度），未知数 N（50
0.07
0.18
0.51 1
0.03
0.07
0.18
0.51 1
0.03
1 000
100
000 程度）はほぼ一定とした．解析周波数は 3 150
100
10
Hz とした．
10
1
3.2 結果と考察
計算精度十分高精度であった．
1
0.1
1e+3
1e+4
1e+5
1e+6
1e+7
1e+3
1e+7
1e+4
1e+5
1e+6
N
計算効率反復計算 1 回あたりの計算時間を Fig.
N
2 に，必要メモリを Fig. 3 に示す．N がほぼ同程
Fig. 7 1 反復あたりの計算時間と必要メモリ
1E+0
度にもかかわらず，ルートセルサイズの増加に伴
1E-3
い計算コストが増加している．これは，高精度を
Case1
Case2
保つための平面波展開の項数 Nc が，計算を行うセ
1E-6
α = 0.0
α = 0.1
ルのサイズ D 等に依存して増加すること[4, 5] に
1E-9
α = 0.2
α = 0.3
起因する．一般に，1 セルあたりの演算は Eq. (2)
1E-12
2
180
の単位球面積分点数（∝ Nc ）に比例することから，
Case2
Case1
0
ここでの計算時間の上昇は，解析対象のサイズが
-180
増加することによりレベル l = 2（計算を行う最上
2
10
100
1000 2000 2
10
100
1000 2000
kD
kD
位レベル）のセルのサイズ Dl = 2 が増大し，それに
Fig. 8 経験式に基づいた kD と精度の関係
伴い Nc (l = 2) が増大することが原因と考えられる．
c
c
c
Error in phase(deg)
Relative error in amplitude
Time [s]
Memory [GB]
c
4
階層化最上位レベルの影響
前節の検討結果を踏まえ，ここでは計算に使用
する最上位レベルを l = 2 から 3 に下げる（即ちセ
ルサイズを 1/2 とする）ことで計算の効率化が図
れないか検討する．
4.1 検討方法
解析ケースを Fig. 4 に示す．展開点を M2, L2 (l =
2) とした場合と，M3, L3 (l = 3) とした場合におい
て， Eq. (1) を厳密解と比較し，kD，Nc と計算精
度の関係を調べる．
4.2 結果と考察
ケース 2 の場合の結果を Fig. 5 に示す．l = 3 の
場合は，高精度となる Nc が l = 2 のときの約 2 倍
となっている．これは，高精度となる Nc が kD だ
けでなく krLM にも依存する [5] ためだと考えら
れる．このことから，高精度を保ちつつ最上位レ
ベルを下げることは全体としてより非効率になる
と結論づけられる．
5
階層セル構造内の要素密度の影響
第 3 節の検討から，ルートセルサイズが計算効
率に大きな影響を及ぼすことが確認された．ここ
では，Fig. 1 のケース 3D-M-10 に対して，ルート
セルサイズを固定した上で境界要素の密度を変化
させ，計算効率への影響を調べる．
5.1 検討方法
Fig. 6 に示すように，配置する小立方体のサイ
ズを dc = 0.625 [m] に固定し，ルートセル内の個
数 n を変化させた．立方体間距離 rc，密度の指標
dc/rc を Table 1 に示す．
5.2 結果と考察
結果を Fig. 7 に示す．通常の BEM では O(N2)，
一般的な FMBEM の計算では O(NlogN) の計算効
1
率となるが，本結果はおよそ O( N 2 ) となっている．
6
大規模解析のための展開項数の設定
高精度となる Nc については従来 kD ≤ 1000 の範
囲で経験式が提案されている[6]．ここでは解析領
域を拡張するため，kD > 1000 の範囲において高精
度となる Nc の経験式を設定する．
6.1 検討方法
解析ケースを Fig. 4 に示す．ここでは M2, L2 を
展開点とする（l = 2）．下記経験式[5, 6] 内のα（0
≤ α ≤ 1）を変化させて影響を調べる．
N c = ⎣k (αD + (1 − α )rLM ) + (rLM / D) ln(kD + π )⎦ + 1 (4)
6.2 結果と考察
結果を Fig. 8 に示す．kD > 1000 の範囲において
も，解析ケースによらずα = 0.1 のときに最も高精
度である．
謝辞本研究は科研費（研究基盤 (B), No. 23360255）
の助成を受けて行われた．
参考文献
[1] T. Sakuma, Y. Yasuda, Acta Acustica-Acustica, 88, 513-525, 2002.
[2] Y. Yasuda, et al., J. Comput. Acoust., 18, 363-395, 2010.
[3] 樋口他，音講論（春），1113-1114, 2012. 3.
[4] R. Coifman, et al., IEEE Antennas Propag. Magaz., 35, 7-12, 1993.
[5] Y. Yasuda, T. Sakuma, Acta Acustica-Acustica, 89, 28-38, 2003.
[6] 伊藤他，音講論（秋），787-788, 2002. 9.

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