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計測工学講義
第6回目
担当：西野信博
A3-012号室
[email protected]
1
プラズマ実験装置NSTX(Princeton)
目
次
• 前回演習の答え
• 第２章スペクトル解析
– フーリエ展開とフーリエ変換
– 相関関数とパワースペクトル
2
前回の演習
•
計算問題
– 区間(－π，π)で定義された次の関数f(x)のフーリエ級数展開を求
めよ。
1.0
f ( x)  
1.0
•
  x  0
0 x 
次に，区間（－∞，∞）で定義された次の関数f(x)のフーリエ変換を求
めよ。
0
1.0

f ( x)  
1.0
0
x  
  x  0
0 x 
x
3
解答例 1
• フーリエ級数展開
0
1 
n x
n x
  ( n cos
  n sin
f ( x) 
)
2a a n 1
a
a
n 
a

f ( x) cos
a
n 
a

a
f ( x) sin
n x
dx
a
n x
dx
a
• この式に，a=として，ｆ（ｘ）の表式を入れると
4
各項の係数を計算する
•
定義区間でf（x）を使って計算すると
0
1

2a 2



1
f ( x)dx  
2
1

1
dx

2
0


0

0



0
1dx  0
 n   f ( x) cos nxdx    cos nxdx   cos nxdx  0

0




0
0
 n   f ( x) sin nxdx    sin nxdx   sin nxdx  2  sin nxdx
4
2
2

 n  odd
  cos nx 0  1  cos n    n
n
n
 0 n  even
5
すると
• 区間(－π,π)では、cosの項は消え，sinの奇数項が残る。
f ( x) 
4  sin x sin 3 x sin 5 x






3
5
  1

6
解答例２
• フーリエ変換
1
F (k ) 
2



1
 ikx
f ( x)e dx  
2
0

1
 ikx
 ikx
e
dx

e
dx


2 0
1  1   ikx 0
1  1   ikx 

   e  
  e 0
2  ik 
2  ik 
1
1
1
 i k
ik
1 e  

e  1 
1  cos k 


2i k
2i k
i k
i

(cos k  1)
k
2つの方法で，なぜ，答えが違うのか考えてみよ
7
授業の流れ
• 本章では，すでにスペクトル解析の基礎となる数学的手
法であるフーリエ級数，フーリエ変換について学んだ。
• 本授業では，相関の概念とその数学的手法である自己
相関関数を導入し，自己相関関数の性質を説明する。
8
２－２相関関数とスペクトル
• 不規則現象の解析に用いられるものに相関関数があ
る。文字通り，変量間の相関を表すものであり，異
なった変量間の相関を表すのが相互相関関数，同一
変量の異なった時刻の相関を示すのが自己相関関数
である。
• では，相関とはいったいどのようなものか，以下で
説明しよう.
• 変量の関数を視覚化するには，平面で点をプロット
すると都合がよい。
9
例２変量のグラフ
• 下図のように二つ変量ｘ，ｙをとり，それを(ｘ,y)座標とみな
してプロットする.
• 例１:ｘ＝国語の試験結果とｙ＝数学の試験結果
• 例２：ｘ＝広島の地面のゆれとｙ＝東京の地面のゆれ
ｙ
ｙ
ｘ
ｘ
10
正と負の相関
• 例えば，ある高校で国語の試験結
果と数学の試験結果が右の図の
ようになったとする.
• すると，国語の成績の良い人がお
おむね数学の成績も良い人になっ
ている。
• このような相関を正の相関という.
• 図にはないが，逆に，国語の成績
の良い人がおおむね数学の成績
が悪いと負の相関という.
ｙ
100
50
100
ｘ
50
11
相関がない場合
• 例えば，ある時間毎に計測した広
島と東京の地面のゆれをそれぞれ
ｘ，ｙにプロットする。そして,右の図
のような結果を得たとしよう.
• この例では，先ほどのような明確
な正または負の相関が見られない.
• このような場合を相関がない，また
は，弱い相関という。
• また，正または負の相関がある場
合,直線状にデータが並ぶ方が強
い相関という.
ｙ
10
単位:gal
10
0
ｘ
0
12
相関度
• ２つの変量の相関を，相関度
 y
 xy 
rx  E    E  2 
x
x 
x
 xy 
ry  E    E  2 
 y
y 
• などで表わす。
• もし，ｘ，ｙを同じ様に扱うのなら
r
E  xy 
E  x  E  y 
2
2
C  E  xy 
• で表す。（はアンサンブル平均）
13
自己相関関数
• 変数ｔに関する変量ｘ(t)により，
C (t , )  E  x(t・
) x(t   )
• で定義される関数を自己相関関数という。τは隔た
り時間又はラグ（タイムラグ）という。
• 右辺のアンサンブル平均を時間平均でおきかえ
C ( )  x (t ) x (t   )
1
 lim
T  T
T
2
 x(t ) x(t   )dt

T
2
• で表す事ができる場合（エルゴード仮定）が多い。 14
自己相関係数
• C(τ）をC(0)で規格化したR(τ）
2
R ( )  C ( ) / C (0)  x(t ) x(t   ) / x (t )
• を自己相関係数という。
• では,自己相関関数はどのような役割があるのだろう
か？
• 例として，三角関数の自己相関関数を求めてみよう。
但し，α，ωは定数
x (t )   cos  t
15
自己相関関数の計算
• 定義に従って，積分を計算すると
T /2
1
C ( )  lim
 cos  t  cos  (t   ) dt

T  T
T / 2
• cos  (t   )  cos  t cos 
• を使うと，被積分関数は
 sin  t sin 
cos  t cos   cos  t sin  t sin 
• また， cos  t 2  (1  cos 2 t ) / 2
cos  t sin  t  sin 2 t / 2
2
• より C ( ) 

2
2
cos 
16
自己相関関数の役割
• すなわち，自己相関関数は周波数成分ωを抽出すること
ができ，その係数は振幅の2乗の形である。
– 振幅の２乗はパワーであった.
• 時系列データなどの自己相関関数を取ると，周波数成分
がすべて残る(分けていない)が，パワーの形である.
• 一方，時系列データなどのスペクトルは，フーリエ変換で
求められる.
– スペクトルとは周波数成分ごとの振幅（強さ）である.
• すると，パワーのスペクトルと自己相関関数は何か関係
がありそうである。
17
自己相関関数の特徴と性質
1. 偶関数
2. τ＝0で最大値をとる
3. 不規則現象では，τが大きい程相関が悪くなる
4. 自己相関関数の微分について
5. 変量の微分との相関について
18
偶関数
• 証明
1
C ( )  lim
T  T
1
 lim
T  T
T
2
 x(t ) x(t   )dt

T

2

T
2
t   t '
x(t '  ) x(t ')dt '
T
 
2
T
T
• ところで， T   の時，     であるから
2
2
• ∴
C (  )  C ( )
19
τ＝０で最大値をとる
• 証明
以下の恒等式を展開する
1
lim
T  T
T
2
  x(t )  x(t   ) dt  0

2
T
2
1 2
1 2
1
lim  x (t )dt  lim  x (t   )dt 2 lim  x(t ) x (t   )dt  0
T
T
T
• 第一，二項は共にC(0)であり，第三項はC(τ)である
から
• C(0) ±C(τ) ≧0
• ∴
C(0) ≧｜C(τ)｜
20
不規則現象では，τが大きい程相関が悪くなる
• 変動のスケールが大きい(ゆっくり)している現象ほど，同
じτでもC(τ)は大きいことは前のcosωｔの計算例からも明
らかである。
• τは変動のスケールを表している.
• すなわち，
• 不規則現象＝変動のスケールが小さい長周期成分が
小さい
• ∴ τが大きいほど相関が悪い
21
続き
• 三角関数の信号に誤差(雑音,ノイズ)が入ったとする.
• この時,理想的な雑音として,白色雑音がある.
– 白色雑音とはあらゆる周波数の成分が等しく含まれている理
想的な雑音として定義される.
• 今,信号f(ｔ)を f (t )  A sin t  n(t ) とする。
• 自己相関関数は
1
C ( )  lim
T  T
T
2
  A sin  t  n(t ) A sin  (t   )  n(t   ) dt

T
2
• 被積分項を展開すると，第１項同士の積は三角関数の
自己相関関数，交差項は三角関数とノイズの積，最後
がノイズの自己相関関数となる
22
自己相関関数とノイズフィルター
• 第１項は三角関数からすぐ求まる
• 雑音n(t)は，信号とは相関がないので
•
A sin t･n(t   ) 
 の項は→0となる筈
A sin  (t   )･n(t ) 
• 後に述べるように, n(t ) n(t   ) の項は n2 ( )
• ∴
A2
C ( ) 
cos   n 2 ( )
2
 ( ) はディラックのδ関数
• すなわち,自己相関関数はノイズフィルターのように
働く
23
自己相関関数の微分
• 自己相関関数は偶関数であるから
• C(τ)＝C(‐τ)
• 両辺をτで微分
• C’(τ)＝‐C’(τ)
• すると，τ＝０の時
•
C’(0)=0
24
変量の微分との相関
• 自己相関関数の定義式をτで微分
C ( )  lim
1
T
T
2
 x(t ) x(t   )dt

T
2
1
C '( )  lim  x(t ) x '(t   )dt
T
• ∴ 変量の微分との相関は自己相関関数の微分に等しい。
• また，
1
C '( )  lim
T
T

2

T
 
2
x(t '  ) x '(t ')dt '
25
続き
• ２回微分は
1
C ''( )   lim  x '(t   ) x '(t ') dt '
T
1
  lim  x '(t ) x '(t '  ) dt
T
• よって，微分した関数の自己相関関数は，もとの関数の
自己相関関数の２回微分の反対符号となる。
26
演習
•
•
•
•
水の電気抵抗と空気の電気抵抗が違う事を利用して,空気の泡を正弦波的に混入さ
せた水の流速を測る実験を行った。図１に示すように，まず，測定したい円筒内の流
れの中に，電極対を何箇所かに入れて、電圧をかける。そして、電極間に流れるわ
ずかな電流を測定し、電極間の抵抗を測った。
その結果、図２に示す２つの抵抗値の時間変化が得られた。以下の問題に答えよ。
（１）この二つの信号の関係を求めるのに，何を使用すればよいか? 代表的な演算
方法を具体的に説明せよ。
（２）測定中は水の流速が変動しないとして，電極対１と２の距離を30㎝とした時，水
の平均流速はどの程度か?
3.5
緑：電極対１
青：電極対２
電極対２
抵抗値(MΩ)
30㎝
3
2.5
2
1.5
1
0.5
電極対１
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Time (s)
図1 円筒内に入れられた電極対
図2 抵抗値の時間変化
1

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