N

2．エネルギー準位離散系の統計的扱い
2-1. 統計力学の基本仮定
量子力学によれば、振動数 ν の振動子のエネルギーは、
1
 1
hν , 1 +  hν
2
2

1

⋅ ⋅ ⋅  n +  hν
2

という値しか取らない。このように個々の粒子のエネルギーが、エネルギー量子ε0=hνの整数倍（振
動子系の 0 点エネルギーh ν /2 は無視する。）である系について考える。
問題２−１） N 個の粒子からなる系のエネルギ−が、Mε0 であるとする。エネルギ−Mε0 を N 個
の粒子に分配する方法の数を求めよ。
答え： W N (M ) =
( M + N − 1)!
M !×(N − 1)!
エネルギ−Mε0を N 個の粒子に(n1ε 0 , n2ε 0 ,⋅ ⋅ ⋅, nN ε 0 ) と分配する時、個々の分配状態を微視状態とい
う。微視的状態を (n1 , n2 ,⋅ ⋅ ⋅, n N ) で定義することが多い。
時間的母集団：ある微視状態の出現確率を、1 つの粒子がその状態に存在する時間割合で定義
する統計集団
位相的母集団：ある微視状態の出現確率を、多数の粒子の中でその状態にある粒子数割合で定
義する統計集団
仮定１：時間的母集団と位相的母集団は同等である。
仮定２：全ての微視的状態は等しい確率で出現する。＝等重率の原理
ミクロカノニカル集団(microcanonical ensemble)：エネルギーが一定である力学集団。
ミクロカノニカル分布(microcanonical distribution)：エネルギーが一定である系の微
視的状態の分布
1
2-2.
カノニカル分布
カノニカル集団(canonical ensemble)：ミクロカノニカル集団に属する N 粒子系から N1
個（N >>N1）だけ抜き出して作られた部分系。
カノニカル分布(canonical distribution)：ミクロカノニカル集団に属する N 粒子系から
N1 個（N >>N1）だけ抜き出して作られた部分系の微視的状態の分布。
問題２−２）N 個の粒子系がエネルギ−Mε0 をもつ時、
一つの粒子がエネルギ−xε0をもつ確率 p1( x )
を求めよ。
答え：エネルギ−Mε0を全体に分配する方法の数は、WN (M ) 。特定の粒子がエネルギ−xε0 をもつ
場合の数は、 WN −1 (M − x ) 。従って、求めるべき確率は
p1 ( x ) =
WN −1 (M − x )
W N (M )
x
N  m 
問題２−３）M>>x である時、近似的に p1 (x ) ≈

 ；m=M/N となることを示せ。
M + N  1+ m 
WN −1 (M − x ) (M + N − x − 2)! M ! ( N − 1)!
=
WN ( M )
(M − x )! ( N − 2 )! ( M + N − 1)!
答え：
(M + N − x − 2)! M ! = (N − 1)
M (M − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (M − x + 1)
= ( N − 1)
( M + N − 1)! ( M − x )!
( M + N − 1)( M + N − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (M + N − x − 1)
p1( x ) =
N  M 
N  M N

p1 ( x ) ≈

 =
M + N M + N 
M + N  1 + M N
x
1
1

問題２−４）
= e −ε 0 θ 或いは、θ = ε 0 ln 1 + 
1 +1 m
 m
x

N  m 
 =


M + N 1 + m 

N  m 
N
 xε 
答え： p1 (x ) ≈
exp  − 0 

 =
M + N  1+ m 
M +N
 θ 
2
（1-5）
xε
と定義すると、 p1( x ) はexp  − 0
 θ
例することを示せ。
x
x

 に比

問題２−５）N 個の粒子系がエネルギ−E=Mε0 をもつ時、N1 個の粒子がエネルギ−E1=M1ε0 をも
つ確率 p N 1 (E1 ) を求めよ。
答え：エネルギ−E=Mε0を N 個の粒子に分配する微視的状態の数は、W N (M ) =
( M + N − 1)!
で与
M !×(N − 1)!
えられる。一方、エネルギ−E1=M1ε0を N1 個の粒子に分配し、エネルギ―(E―E1)= (M―M1)ε0 を
N1 個の粒子に分配する微視的状態の数は、WN 1( M 1 )W N − N 1 (M − M 1 ) 与えられる。従って、求める確
率は、
p N1 (M 1 ) =
WN1 (M 1 ) × WN − N1 ( M − M 1 )
WN (M )
(1-8)
ところで、
W N − N1 (M − M 1 )
WN ( M )
=
( N − 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( N − N1 )M (M − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (M − M 1 + 1) ≈ N N M M
( N + M − 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( N + M − N1 − M 1 )
( N + M )N + M
1
1
1
1
=
(M
(1 + M
N)
M1
N)
N1 +M1
だから
W N1 ( M 1 )  m  M1
−M ε θ
p N1 (M 1 ) =
 ∝ W N1 (M 1 )e 1 0
N1 
(1 + m )  1 + m 
(2-5)
カノニカル集団(canonical ensemble)：ミクロカノニカル集団に属する N 粒子系から N1 個
（N >>N1）だけ抜き出して作られた部分系。熱容量の大きい物体と熱平衡を保つ任意の力学系の
統計分布を表す集団。
3
2-3
分配関数
カノニカル集団(canonical ensemble)：熱容量の大きい物体と熱平衡を保つ任意の力学系
の統計分布を表す集団。
N 個の粒子系（熱浴）がエネルギ−E=Mε0 をもつ時、N1 個の粒子（カノニカル集団）がエネル
ギ−E1=M1ε 0 をもつ確率 p N 1 (E1 ) は、次式で与えられる。
W N1 ( M 1 )  m  M1
−M ε θ
p N1 (M 1 ) =
 ∝ W N1 (M 1 )e 1 0
N1 
(1 + m )  1 + m 
この式は、次のことを示している。W N1 ( M 1 ) は、N1 個の粒子（カノニカル集団）がエネルギ−E1=M1ε0
をもつ場合の数なので、エネルギ−E1 で定義した状態が出現する確率は、その状態数×e − E1 θ に比
例する。
大きな熱浴に接している系（N1 個の粒子）のエネルギーが、E1、E2、…Eｌ…であるとする（同
じエネルギーをもっている状態はその数だけ繰りかえされているとする。従って、上記の例では、
このエネルギー状態の個数はW N1 ( M 1 ) ）
。系が Eｌである確率はe − El θ に比例すると考えれば、上記
した、
「エネルギ−E1 で定義した状態が出現する確率が、その状態数×e − E1 θ に比例する」ことも合
理的に導かれる。つまり、系が Eｌである確率は
p (E l ) = e − El θ
∑e
− Ek θ
k =1
で与えられる。
問題２−６）この時の系の平均エネルギー E を与える式を求めよ。
答え：平均値は、 E = ∑ E l p (El ) = ∑ El e − El θ
l =1
l =1
∑e
− Ek θ
である。
k =1
問題２−７）この時の系の平均エネルギー E が、E = θ 2
∂
ln Z (θ ) で与えられることを示せ。ただ
∂θ
し、 Z (θ ) = ∑ e − El θ とする。
l =1
答え： ∑ El e − El θ = ∑
l =1
E = ∑ E l e − El
l =1
l =1
θ
∑ e − Ek
k =1
∂
e −El
∂ (− 1 θ )
θ
θ
= ∑ El e − El
l =1
=θ2
θ
∂
∑ e − El
∂(θ ) l =1
z (θ ) =
θ
=θ2
∂
Z (θ )
∂ (θ )
だから
θ2 ∂
∂
Z (θ ) = θ 2
ln Z (θ )
z (θ ) ∂(θ )
∂(θ )
4

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