円すいと球・体積を求めよ（類東京大 94 年

円すいと球・体積を求めよ（類東京大 94 年）
xyz空間において
条件 x 2+ y 2 (z 2 ，0 x - 1 1 2 +y 2+ z 2 (1 ，0( z を
みたす点 P 0 x , y , z 1 の全体からなる立体を考える。
この立体の体積をVとし，0( k ( 1 に対し，z軸と
直交する平面 z =k による切り口の面積を S 0 k 1 とする。
（１）k =cos h とおくとき，S 0 k 1 を h で表せ。
（２）V の値を求めよ。
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2
2
2
2
東京大 94 年の問の不等式 z ( x ，0( z ( 1
を 0 x - 1 1 +y + z (1 ，0( z に置換えた問
いです。本問題の円すいと球の交差線は、94 年の問と同じものです。
ただし、体積については、平面から球に置き換わったことで円すいの内側への膨らみが加わって
きます。
2
2
2
2
2
2
下の図は x + y (z
および 0 x - 1 1 +y + z (1 ，0( z に加えて
z 2( x （左の 2 つの図）
z 2) x （右の 2 つの図）に分けて立体を描画したものです。
、
右の 2 つの図が 94 年の問に付け加わった領域です。
ｚ＝ｋによる断面は右のようになり
この図の 2 つの円の共通部分の
面積を求めることからはじめます。
Type-XH 3060213
解答
（１）左図のように点A , B , C , D , E を定める。
x 2 + y 2 = z 2 と0 x - 1 1 2 + y 2 + z 2 =1 へz =cos h を代入すると
x 2 + y 2 = cos 2 h …①、0 x - 1 1 2 + y 2 = sin 2 h …②
①－②から2x -1= cos 2 h - sin 2 h ゆえにx = AE = cos 2 h
一方AB =cos h であるから4BAE = h ，
またED = AD - AE ＝1- cos 2 h ＝sin 2 h
BD = U 1 - z 2 = U 1 - cos 2 h ＝sin h
これより4DBE = h ゆえに4BDE =
S =
p
- h よって
2
> 2 AB ･2h- 2 AB ･sin 2h ?+> 2 BD 0p-2h1- 2 BD sin 0p-2h1 ?
1
1
2
1
2
＝hcos 2 h -sin h cos 3 h +
1
2
2
1
psin 2 h - hsin 2 h - sin 3 h cos h （答）
2
1
（２）V =
Q S 0 k1 dk
0
Q 8hcos h -sin h cos h + 2 psin h -hsin h -sin h cos h 90 -sin h 1dh
0
2
1
3
2
2
3
p
2
p
Q 8h0cos h -sin h 1sin h -sin h cos h + 2 psin h 9dh
2
＝
2
2
1
2
3
0
p
Q 8hcos 2h sin h -sin h cos h + 2 psin h 9dh
2
＝
1
2
3
0
ここで
Q
p
2
0
0 hcos 2h sin h 1dh ＝
Q
p
2
0
1
h sin 3h - sin h 1dh
2 0
<
1
1
1
＝ - hcos 3h + sin 3h + hcos h - sin h
2
3
9
Q
Q
p
2
0
sin 2 h cos h dh ＝
p
2
0
3
sin h dh ＝
Q
p
2
0
<
1
sin 3 h
3
=
p
2
＝
0
=
p
2
＝0
1
3
<
1
3
01 - cos h 1sin h dh ＝ -cos h + 3 cos h
2
5
9
p
5
1
1
2
8
ゆえに、V＝- - + p % ＝ - （答）
9
3
2
3
3
9
=
p
2
＝
0
2
3
Type-XH 3060213

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