General Properties between Canonical Correlation and the

KURENAI : Kyoto University Research Information Repository
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General Properties between Canonical Correlation and the
Independent-Oscillator Model on a Partial *-Algebra
廣川, 真男
物性研究 (1997), 69(1): 76-82
1997-10-20
http://hdl.handle.net/2433/96161
Right
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Departmental Bulletin Paper
publisher
Kyoto University
研究会報告
Gener
alPr
oper
t
i
esbet
weenCanoni
c
alCor
r
el
at
i
on
andt
heI
ndependent
Os
ci
l
l
at
orM odelonaPar
t
i
al
*
Al
gebr
a
鹿川美男 (日立製作所･基礎研究所)
1 序.
ここで扱うi
nde
pe
nde
nt
os
c
i
l
l
a
t
o
r(
I
O)モデルは,1959年の Ma
ga
l
i
ns
ki
jの論文 t
M5
9
1
に現れ, 1980年代には,Ca
lde
i
r
a,Le
g
g
e
t
t
【
CL81
1
;Ha
ki
m,Ambe
ga
o
ka
r
【
HA8
5
】
;For
d,
Ka
c
【
FK87
1
;Gr
a
be
r
t
,Sc
hr
a
mm,I
ng
ol
d【
GSI
8
7
1などの論文において,I
O モデルは議論され
ている.F
o
r
d,Le
wi
sそして 0'
Co
nne
l
lは 1988年に,今まで物理で提案され,よく使わ
O モデルが導き出されて
れてきたモデルの物理的欠点を修正する手法に着目すると,実は I
FLO88
]
.そこで,ここでは I
O モデルが持つ二股的かつ数学的特性を
いることを発見した【
導き出す.
I
O モデルは,多数の独立した熟浴の粒子に囲まれた量子系の粒子のモデルである.そし
て,熟浴の粒子はそれぞれ量子系の粒子に,あたかもバネでつながっているような感じであ
る.その系のハミルトニアンは
HI
Od
gf
孟+V(I,I,
i
l
l
墓 .去叩
,(
q
,
･
-
,
2
]
(
1
,
で与えられる.ここで ,x と p は,それぞれ量子系の粒子の質量 m を持った,座標と運動量
の演算子である.一方,q
,
-と p,
･は,それぞれ,質量 m ,･を持った熟浴の j番目の粒子の座標
と運動量の演算子である.もちろん,通常の正準交換関係 :
l
x
,
p
li
h
, l
q
,
.
,
p,
･
･
]-i
hS
,
･
,
･
,
(
2
)
がある.V(
I)は量子系の粒子に関する外場の力のポテンシャル･エネルギーである.
論文の中で F
or
d,Le
wi
sと 0'
Co
nne
l
lは,他の熟浴のモデルは一般に I
O モデルと関係
があることを示し,I
O モデルが重宝なモデルであることを主張した【
FLO8
8
】
.彼らは,I
O
モデルのハミルトニアン HI
Oから,一般化された量子 La
ng
e
vi
n方程式 :
孟p(
i
)+/
_
t
wd
s
p(
i-S
)
警
･
V,
(
I)-F(
i
)
(
3
)
が導きだされることを示した1.ここで,プライム 'は xに関する導関数を示す.F(
i
)は平
(
i
)によって特徴付けられる :
均ゼロの,演算子値のランダムな力で,その平均は記憶関数 p
F(
i
)の対称化積相関関数2は,
妄<F(
i
,
F(
S
,･F(
S
,
F(i
,,B- 妄差
h-,
･
W,
'cot
h'
huj/2kT'
cosl
w,
.'
i- S'
]
'
4'
FLO8
8
1にある (
2
.
1
)を運動量で記述したものである.
1この式は,彼らの論文【
･久保亮五編集 :岩波詐座現代の物理学の基
礎 5｢
競計物理学｣の p3
47参照のこと.
2久保亮玉によって導入された相関関数で,
例えば,戸田盛和
-7
6-
｢
第 4回 r
非平衡系の統計物理』シンポジウム｣
F(
i
)の非同時時間の交換関係は,
で与えられ ,
0
0
l
F(
i
)
,
F(
S
)
]--i∑
hm,
･
W,
?
s
i
nl
w,
･
(
ト
j
=
1
(
5
)
S
)
]
で与えられる.ここで,演算子 0 に対して,<0>
βは,
oe
HB/kT)
t
r(
t
r(e-HB/kT)
<o>Bd
gf
(
6
)
を意味するが,このときに使われるハミルトニアン HB は
HB
d
g
f
P
lか
(
7
)
+ 妄-" 3,
qJ
,
]
である.もちろん kは Bo
l
t
z
ma
nn定数で,T は絶対温度である.
ur
i
e
r
Lapl
ac
e変換は,
記憶関数の Fo
(
I
,d
g/
.∞ d
i
e
t
'
t
z
p(
t
,圭
･
p･
が
,
; 1-
擁
立
+志
(
8
)
]
Sz>0に対して成り立つ.
,For
d と 0'
Conne
l
lは,Mo
nol
i
u と Ki
t
t
e
lの Br
own運動の La
nge
vi
nの理論
さらに,Li
MK7
9
】を彼らの一般化された La
nge
vi
n方程式の観点から調
における相関を調べた仕事【
nol
i
u と Ki
t
t
e
lの仕事を一般化している【
LFO93
】
.
べ ,Mo
このシンポジウムでは,有限体積の熟浴に接した平衡状態にある量子系の粒子を考える.
a
nc
k定数を h-1としておく.Hq,
｡
,
Sを今考えている系を支配する
以下,簡単のために Pl
任意のハミルトニアンで ,e βHq7
p
･
Sがトレース･クラス3の演算子とする.ここで
H q,
｡,
Sは H q,
｡,
S-p2/
2
m
β
≡1
/kT.
+V(
I)+H q,
S
+H int なる形を持つ ,H q,S は熟浴のハミルトニアン
nt は量子系の粒子と熟浴との間の相互作用である･ここで,もちろん,H q,
S
+H i
ntの
で,H i
(
t
l
,
t
2
)は
形は分からないとする.運動量 p に対する,カノニカル相関関数4 Rp
Rp
(
t
l
,
t
｡
)d
gf
(
e
-
/
.
β
d" (
e
-(
β
-"Hq･
p･
S
et
'
Hq･p･
Stl
pe
-i
Hq
･
p
さ
t
l
e･
t
Hq
7
p
･
さ
e
t
'
Hq
･
-t
2
pe
-i
Hq
･
p
･
S
t
2
)
βt
r P
Hq･
p
8
)
で定義される･今回はまず,ある条件を満足する任意の p と H q,
｡,
Sに対して,He
i
s
e
nbe
r
g演
算子 p
(
i
)響
e
i
Hq
･
p
,
t
pe
.
'
Hq
･
p･
さ
tが,量子揺動力 I(
i
)を持った,(
3)と似た形の量子 La
ng
e
vi
n
方程式を満たすことを証明する (
§
2
の主定理の中の (
1
5
)を参照のこと).また,記憶関数
F
L
(
i
)が導いた Langevi
n 方程式の揺動一散逸走理とカノニカル相関関数 Rp
(
t
l
,t
2) を特徴付
§
2
の主定理の中の (
1
7
)と (
1
8
)を参照のこと),そしてさらに,I(
i
)の対称化積
けること (
4)と (
5
)と同様な表現を持つことを示す (
§
2の主定理の中の (
1
9
)と (
2
0
)を
相関関数が (
参照のこと).
3ある E
i
l
b
e
r
t空間 7
t上の有界演算子 A がトレース･クラスとは,7
1の任意の完全正規直交基底 t
pnIn
に対して,
∑.(
pn,
√軒わ n)<- となることである･
4久保亮五らによって導入された相関関数で,
例えば,戸田盛和･久保亮五編集 :岩波講座現代の物理学の
基礎 5 ｢
統計物理学｣の p333参照のこと.この相関関数は,森肇の名も取って,久保･森内積,また,欧米で
はBo
g
o
l
i
u
b
o
v内積と呼ばれることもある.
-7
7-
研究会報告
2 結果.
まず,カノニカル相関関数と Li
ouvi
l
l
e空間を導入し,主定理を説明するために少々一般
的枠組から入る.
有限体積の熟浴に接した平衡状態にある量子系の粒子を考える.従って,系の状態空間が
l
be
r
t空間で与えられる･それを Fq,
｡,
Sと書くことにする･そして fq
,
p
,
8
可分な無限次元 Hi
q
,
｡,
Sと表す･
の自然な内積を ( , )
今 x と p をそれぞれ量子系の粒子の質量 m を持った,座標と運動量の演算子とする.一
方 ,q
jと p,
･は,それぞれ,質量
m,
･を持った熟浴の
j番目の粒子の座標と運動量の演算子で
ある･このとき座標と運動量の演算子の定義より正準交換関係 (
2)を満たす.V(
I)は責子
系の粒子に関する外場の力のポテンシャル･エネルギーである.
,
｡,
S が存在しているわけであるが,この
今考えている系に対して,戎ハミルトニアン Hq
,
｡,
S-p
2/2
m +V(
I)+Hq
,
S
+Hhtで与えられる,ただし Hq,
Sは
ハミルトニアンの形は Hq
n
tは量子系の粒子と熟浴の相互作用である･先にも述べ声
熱浴のハミルトニアンを表し,Hi
,
S
+Hi
n
tの形は分からない.従って Hq
,
｡,
Sは非 2次形式的かもしれない,しかし
ように Hq
Fq,
｡,
S上に作用する自己共役演算子として実現さる.今,平衡系を考えているから,
(
A.
1)
e
-T
Hq
7
p
･
Sはトレース･クラス
(
T∈(
0
,
β】
),
と仮定できる･この条件は,Hq,
｡
,
Sのスペクトルは純離散的で,
-Hq
,
p
,
S の固有ベクトル
p
nl
n ∈N)が石 ,
I
p,
S
の完全正規直交基底となる,という事実をもたらす.ここで,N*d
gf
(
0,1
,
- )･Hq,
p,
Sの固有値入n(
n∈N')を Hq,
｡,
spn - 入npn かつ 0≦ 入
｡ ≦ 入1 ≦ ･･
･≦ 入n≦
入n
+1≦ ･
･
･/ ∞ のように表すことができる.
ハミルトニアン Hq
,
p
,
Sに対して,Li
ouvi
l
l
e空間 Xc
(
Hq
,
｡
,
S
)を構成することができる.
Xc
(
Hq,
,
,
S
)は基本的に Fq, に作用する適当な演算子の集合である.Xc
(
Hq
,
｡
,
S
)には久保
｡,
S
森内積
iA;
B ヲdg f 売
扇 .p
-
(
e
-'
p
-" q･
p,
サ
(
e
-AH 7
S
B)
-)
, .
4,
B∈T(
Hq
,
p
,
S
)
q･
p
が導入されている･ここで,T(
Hq
,
｡
,
S
)は,完備化して ⅩC
(
Hq,
p
,
S
)を構成する前の適当な条件
=
AH
H
.
,
,
,
S響 < A;
A >1
/
2でノルムを定義しておく･
を満たす演算子より成る集合であり,
He
i
s
e
nbe
r
g演算子 p(
i
)≡e
i
Hq
･
p･
さ
t
pe
t
'
Hq
･
p･
B
tを導入するために,ハミルトニアン Hq
,
｡
,
Sか
ouvi
l
l
e演算子￡｡
,
p
,
Sを定義しておく.
ら決まる Li
,
,
s
A撃 l
Hq,
p,
S
,
A]Hq
,
p,
s
A-AHq
,
p,
Sによって基本的に定義される5･このとき,Li
ouvi
l
l
e演算子 L
:は ⅩC
(
Hq
,
,
,
S
)
ouvi
l
l
e演算子
適当な演算子 A に対して,Li
｡
,
Sは交換子積
L:
q,
L:
q,
に作用する自己共役演算子となる【
H93b,H94a,H95
1
.
任意の A ∈ⅩC
(
Hq
,
p
,
S
)に対して,A の Hei
s
e
nber
g演算子 A(
i
)は ⅩC
(
Hq
,
,
,
S
)上で
A(
i
)響
et
'
Lq･
p
,
t
A
と与えられる.全ての A∈ⅩC
(
Hq
,
p
,
S
)に対してではないが,基本的に
e
t
'
Lq･
p･
`
t
A= e
i
Hqp
p
t
Ae
1
'
Hqp
p
t
･
･
5正確には,この演算子の定義域を確定しなければならない.これは講演で触れる.また,
Li
o
uv
i
l
l
e空間
ⅩC
(
Hq,
p,
S
)に適当な完全正規直交系を導入して,これを用いて L
i
o
uv
i
l
l
e演算子 L
:を定義する別の簡単な方
法もあるが,これについても講演中に触れたい.【
E9
3b,H95
】を参照のこと.
-
78 -
｢
第 4回『
非平衡系の統計物理』シンポジウム｣
となる6.
演算子 A に対して,カノニカル自己相関関数は,
R｡(
i
)d
g
fl
h(
0,
i
)≡ <A(
0
)
･
,
A(
i
)>
と定義される･そこで,運動量演算子 p に対するカノニカル自己相関関数を R
p
(
i
)で表す
ち】
(
I
)(
Z∈C w
it
hSz>0)を Four
i
e
r
Lapl
ac
e変換を用いて
ことにする･ここで関数【
[
1
u(
I)響
J
.dle Rp(i)･
t
'
t
z
∞
のように定義する.
l
Rp](
I
)の各極は,Hq
,
卵の二つの固有値の差でなければならないことが分かる･そこで,
l
Rp
]
(
I
)の正の極全体の集合を至で表し,負の極全体の集合を P空で表すことにする･
P
ここで,技術的な理由により7,
(
A･
2)
さらに,
を仮定する.
k
i
e
n
P空-(
恥Lk-0,1,- )wi
t
hk
i
e
n
i
.
(
qk-
P苧- (ekl
k-0,
1
,
-)wi
t
h L(
e
k
･1- E
k
)'0
･1
)'0
さらに最後に残り二つの仮定を設ける :
∞
(
A･
3) p ∈T(
Hq
,
p
,
S
)で,
(
I-ek)l
Rp](
I
)
)ez
<-, か-,
∑
(
扇
k
=
0
(
〉
0
∑
嘉( [1u(
I
)
)
(
W 2 ∞･
(
0
k
=
I- qk)
(
A･
4)
之
一
浩｡.zl
Rp
]
(
I
)- 0,
<
-he
r
eC+d
g
f(
Z∈ cl
9Z,0)･
ここで,よく知られた関係8 を使って,対称化積相関関数を定義する.
任意の RA(
i
)(
A∈ⅩC
(
Hq
,
｡
,
,
)
)に対して,1
h(
i
)は連続で正定借故,Boc
hne
rの定理によ
れが存在して
り,ただ一つの測度 △芳
RA(
i
)-rJ '
t
w
△冒乃
(
a
-)
となる.そこで,A∈ⅩC
(
Hq
,
｡
,
S
)に対して相称化積相関関数 sA(
i
)を
(
9
)
sA(
千
)d
g
f
蔦 e
i
t
u
βFp(
W)
Ac
A
a
n
(
d
w)
,
で定義する.ここで,Ep
(
W)は,絶対温度 T-1
/kPでの振動数 W の調和振動子の平均エネ
ルギーである :
Ep
(
-)-筈 c
o
t
h等･
(
今,
h- 1 と置いていたことに注意されたい.
)
また,
A∈ⅩC
(
H.
,
｡
,
S
)に対して,応答関数 PA(
i
)を
pA(
i
)d
gf-β孟 <A･
,A(
i
),
6
[
Ⅱ9
3
a
,Ⅱ9
3
b,H9
叫を参照のこと.
7
[
ち】(
I
)の極から集積点を除去したいためである･
8久保の論文
【
K5
7
】の The
or
e
m 3を参照のこと･
-
79
-
(
10)
研究会報告
で定義しておく.
ouvi
l
l
e空間 Xc
(
Hq
,
｡
,
S
)とは別に,通常の Li
ouvi
l
l
e空間 Ⅹβ
(
Hq
,
｡
,
S
)
久保一
森内積を持った Li
を得ることができる.Xβ
(
H.,
p,
s
)の内積は,
･AI
B,d
f z(
β)- tr
1
(
-
((
A e- β
H q･- /2) )+ (
(
BeP
-
- /2
)-)
)
H q･
(l
l)
で与えられる･このとき,やはり Li
ouvi
l
l
e演算子 L
:
q
,
p,
Sが Ⅹβ
(
Hq
,
｡
,
S
)に作用する自己共
(
Hq
,
,
,
8
)の要素となる Hei
s
e
nbe
r
g演算子 e
I
'
C
q
'
P
'
∼A
役演算子として定義される.そこで Ⅹβ
(
A∈Ⅹβ(
Hq.a))を ⅩC
(
Hq
,
｡
,
S
)の要素である He
i
s
e
nbe
r
g演算子 A(
i
)と区別するために,
A【
t
]d
gfet
'
Lq'
P't
A
(
1
2
)
(
o
e -)
と書くことにする･また,以下 ,Z(
β)1
t
r -βH q･･を <0> で表すことにする･
o
uvi
l
l
e空間上の次の関係となる :もし A が
もちろん,よく知られた関係は,二つの Li
｡,
Sに作用する対称演算子で A ∈ⅩC
(
Hq
,
｡
,
S
)かつ A∈Ⅹ β(
Hq
,
｡
,
S
)ならば,
Fq
,
sA(
f
)-去<AA【
i
]
.A【
l
]
A,･
応答関数に関してもよく知られた関係は保存される :もし A が
(
1
3
)
,Sに作用する対称
JT
q ｡,
(
Hq
,
p,
S
)かつ A∈Ⅹ β(
Hq
,
,
,
S
)ならば,
演算子で A ∈Xc
PA(
i
)ニーi<【A ,Al
i
‖>.
(
1
4
)
主定理は,
THEOREM l
H96]
:ハミルトニアン Hq
,
｡,
Sと運動量の演算子 p が仮定 (
A.
1)
,(
A.
2)
,
(
A･
3)そして (
A･
4)を満たすとせよ･すると,関数【
Rp](
I
)は複素平面上の有理型関数に
R,
]の正の零点全体の集合 tL
J
,
)
,
P
=.は
拡張され,【
W3
1∈(
e
j
_1
,
e
j
)
,
e
J
.
>0,
3∈N.
のように数え上げられる.I
O モデルのハミルトニアンを
孟+
咽+
,
;
.
[
墓.
主
" -I,
2
]
I
HI
O-
3
,(
q
j
で与えることにせよ.ただし,m ,-は
m)
I
2
mRp
(
0)
W
,
?
i
l
F,
]
'
(
L
J
,
･
)
で与える.このとき,ある記憶関数 r
c
T
(
i
)と量子揺動力 I(
i
)が存在して,運動量演算子の
He
i
s
e
nbe
r
g演算子 p(
i
)は Li
ouvi
l
l
e空間 Xc
(
Hq
,
p,
8
)上で次の量子 Lange
vi
n 方程式を満
たす :
孟p
(
i
)
･.
i
u _t
n
d
叫
-S
)
響
-I(
i
)
･
(
1
5
)
さらに,次の関係が成り立つ :
T
l
i
m
c
cK
T
(
i
)=I
L
(
i
)
,
-8
0-
t>0,
(
1
6
)
｢
第 4回『
非平衡系の統計物理』シンポジウム｣
揺動一散逸関係 :
響 p(i) -
<I(
0
);I
(
i
),, t∈R,
- 0
,
<p;I(
i
)>
(
1
7
)
t∈R,
そして
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Pp
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(
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0
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F
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(
I)
/
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,
P
=1,
(
1
8)
p
(
i
)は HIOの記憶関数である･
I
(
i
)の対称化積相関関数 SI(i)は
さらに,
ただし,ここで
,
這,
;
sI
(
i
(
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1
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(
19)
となり,応答関数 PI
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)は
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云
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W
,
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t
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=
1
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(
i
) 禦
(
(
2
0)
となる.
1
5)の類似性 ,(
1
3
)を通して (
4)と (
1
9)の類似性 ,(
1
4)を通して
REMARK:(
3)と (
(
5)と (
2
0)の類似性に注意されたい･ただし,今 h-1としていた･
参考文献
【
CL81
】 A･0･Ca
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de
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,Phys
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･Phys
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,Phys
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,Hydrodynami
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,223,1
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N,
Y･
【
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wa,Ann･Phys
,(
N,
Y･
)
,224,3
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3
4
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99
3)
【
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4a
】 M.Hi
r
o
k
a
wa,Ann･phys
.(
N,
Y･
)
,229,3
5
4
3
8
3(
1
9
9
4)
;
ERRATUM,Ann.Phys
.235,2
4
0
2
41(
1
9
9
4)
-
8 1
-
研究会報告
【
H9
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r
ok
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wa
,Ann･P hys
･(
N,
Y･
)
,234,1
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1994 )
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京都大学数理解析研究所講究録 92
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[
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】 R.Kubo,J･Phys
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,Am･JIPhys
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【
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】A･Ma
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,Am･J･Phys
･47,67
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1
97
9)
【
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】 H.Mor
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.33,4
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5)
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5b] H･Mor
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･34,3
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3(
1
986)
【
086
】 Y.Oka
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2-

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