July 28, 2004 東島清
散乱振幅と散乱断面積
1
1.1
ダイソンの公式
相互作用表示
ハミルトニアン H を自由場の部分と相互作用を表す部分に分ける。自由場のハミルトニ
アン H0 は場について２次式の部分である。残りの部分 Hint = H − H0 は場について３
次以上の項で相互作用を表すので相互作用ハミルトニアンと呼ばれるが、場の理論では
相互座用は時間空間の一点で起きるので、相互作用ハミルトニアン密度の積分の形に表
すことができる。
Hint =
Hint (x)d3 x
表示
状態ベクトル
演算子
Schr¨odinger Picture
|Ψ(t) S = e−iHt |Ψ H
Heisenberg Picture |Ψ H は時間に依らない
Interaction Picture
|Ψ(t) D = eiH0 t |Ψ(t) S
(Dirac Picture)
= eiH0 t e−iHt |Ψ H
S
Φ(t)|OS |Ψ(t)
S
= H Φ|OH (t)|Ψ
H
OS は時間に依らない。
OH (t) = eiHt OS e−iHt
OD (t) = eiH0 t OS e−iH0 t
演算子は自由場の方程式に従う
= D Φ(t)|OD (t)|Ψ(t)
D
相互作用表示における状態ベクトルの時間発展
|Ψ(t)
D
= eiH0 t |Ψ(t)
S
= eiH0 t e−iHt |Ψ
H
= U(t, t0 )|Ψ(t0 )
D
ただし、相互作用表示における時間推進の演算子
U(t, t0 ) = eiH0 t e−iHt eiHt0 e−iH0 t0 = eiH0 t e−iH(t−t0 ) e−iH0 t0
は、次の式を満たす。
U(t1 , t2 )U(t2 , t0 ) = U(t1 , t0 )
U −1 (t, t0 ) = U † (t, t0 ) = U(t0 , t)
U(t, t) = 1
U(t, t0 ) の満たす微分方程式は
i
∂
U(t, t0 ) = eiH0 t (−H0 + H)e−iH(t−t0 ) e−iH0 t0 = Hint (t)U(t, t0 )
∂t
1
ただし、相互作用表示における相互作用ハミルトニアンは次式で定義される。
Hint (t) ≡ eiH0 t Hint e−iH0 t
微分方程式に初期条件 U(t0 .t0 ) = 1 を課して積分方程式に直すと
t
U(t, t0 ) = 1 − i
Hint (t )U(t , t0 )dt
t0
この積分方程式を次々に逐次近似で解くと
t
U(t, t0 ) = 1 − i
t
2
Hint (t1 )dt1 + (−i)
t0
t1
dt1 Hint (t1 )
dt2 Hint (t2 ) + · · ·
t0
t0
第 n 項は
n
t
(−i)
t1
tn−1
dt2 · · ·
dt1
t0
t0
dtn Hint (t1 )Hint (t2 ) · · · Hint (tn )
(1)
t0
ここで、時間の新しい方が左に、古い方が右に来るように時間の順番に並べ換える T 積
の記号を導入する。すなわち、ti1 > ti2 > · · · > tin の時
T (Hint (t1 )Hint (t2 ) · · · Hint (tn )) = Hint (ti1 )Hint (ti2 ) · · · Hint (tin )
n 個の時間の並べ方は n! 通りあるので、その各々の場合に、改めて時間の新しい方から
古い方に順番に t1 , t2 , · · · tn と名前を付け替えると、第 n 項 (1) は
(−i)n
n!
t
t
dt1
t0
t
dt2 · · ·
t0
dtn T (Hint (t1 )Hint (t2 ) · · · Hint (tn ))
(2)
t0
と書くことができる。この記号を用いて時間推進演算子を書くと
∞
U(t, t0 ) = 1 +
n=1
(−i)n
n!
t
dt1 · · ·
t0
t
dtn T (Hint (t1 ) · · · Hint (tn ))
t0
t
dt Hint (t ))
= T exp (−i
t0
t
= T exp (−i
d4 xHint (x))
(3)
t0
これをダイソンの公式という。
1.2
S 行列
散乱過程では無限の過去 (t0 → −∞) から無限の未来 (t → ∞) 迄の時間発展を考える。
無限の未来と過去で Hint (t) → 0 とすると、散乱の起きる前と後は自由場に近づく。散乱
前に系が H0 の固有状態 |a in にあったとすると、相互作用した後
|a
out
= S|a
2
in
になる。ただし、S 行列は次の極限で定義される
S = U(+∞, −∞)
(4)
散乱による系の変化を調べるには、
|a
= S|a
out
in
|b
=
in in
b|S|a
in
b
なので、S 行列要素 in b|S|a
1.3
in
を求めればよい。
崩壊幅と散乱断面積
始状態 |i から終状態 |f への遷移振幅は
f | S |i = δf i + i(2π)4 δ (4) (pf − pi )Tf i
(5)
で与えられる。ここで pf , pi はそれぞれ終状態、始状態のエネルギー・運動量を表す。１
粒子の崩壊過程または２粒子の散乱過程を考察することにして、始状態は 1 または 2 粒
子状態、終状態は n 粒子状態である場合を考える。
崩壊： P −→ p1 + p2 + · · · + pn ,
(6)
散乱： P1 + P2 −→ p1 + p2 + · · · + pn
(7)
1
始状態、終状態の粒子の波動関数からそれぞれ (2p0 V )− 2 がでてくるので、この因子を除
いて不変振幅 Mf i を定義する1 。
崩壊： Tf i = √
散乱： Tf i =
1
2P 0V
2p01 V · · ·
1
2P10 V
2P20 V
2p0n V
· Mf i ,
2p01 V · · ·
2p0n V
(8)
· Mf i .
(9)
始状態から終状態への遷移確率は
| f | (S − 1) |i |2 = (2π)4 δ (4) (pf − pi )|Tf i |2 (2π)4 δ (4) (0)
(10)
となるが、ここに現れる無限大の定数は
(2π)4 δ (4) (0) =
d4 xei0·x = V · T
(11)
と解釈されるので、(10) を遷移の起きる時間 T で割ると、単位時間あたりの遷移確率を
求めることができる
wf i = (2π)4 δ (4) (pf − pi )|Tf i |2 V.
1
一辺の長さ L の箱の両端で周期境界条件を量子化したので V = L3 である。
3
(12)
粒子の崩壊
不安定粒子の崩壊幅を計算するために、始状態は１粒子状態、終状態は n 粒子状態とす
る。始状態の粒子が終状態に遷移する単位時間あたり確率は (8) を (12) に代入すると
Γ=
wf i =
f
1
2P 0
f
2p01 V
1
· (2π)4 δ (4) (pf − P )|Mf i|2 .
· · · 2p0n V
(13)
体積 V の中で量子化しているので、運動量空間の体積要素 d3 p の中にある状態の数は
=
Ô
V
d3 p
(2π)3
(14)
で与えられる。従って、(14) を (13) に代入すると V はすべて消失し、出てゆく粒子一個
一個につき
d3 p
1
· 0
3
(2π) 2p
1
=
2p0 V
Ô
(15)
という相対論的に不変な運動量積分が現れる
Γ=
1
2P 0
1
d 3 p1
·
···
(2π)3 2p01
d 3 pn
1
·
· (2π)4 δ (4) (pf − P )|Mf i |2 .
(2π)3 2p0n
(16)
不安定粒子の静止系における単位時間あたりの崩壊確率 Γ を崩壊幅と呼ぶ。不安定粒子
の質量を M とすると、静止系では P 0 = M に等しい。不安定粒子の平均寿命 τ は
τ=
1
Γ
(17)
で与えられる。崩壊幅の定義式 (16) から明らかなように、不変振幅 Mf i および不変運動
量積分はローレンツ変換に不変なので、τ は P 0 と同じ変換性を持つ。従って、粒子が速
度 v で走っているときは P 0 = M/ 1 − v 2 /c2 なので、寿命は
τ
1 − v 2 /c2
(18)
となり静止しているときよりも長生きすることができる。
散乱断面積
散乱の断面積は、終状態への単位時間あたりの遷移確率を、単位時間に入射してくる単
位面積あたりの粒子数（flux）で割って定義される
σf i =
1
· wf i
flux
(19)
ここで標的となる粒子１個に対し、単位時間に単位面積を通過して入射してくる粒子数は
flux = ρ · vrel
4
(20)
で与えられる。ここで、ρ は入射してくる粒子の密度（単位体積あたりの粒子数）を表
し、vrel は標的粒子と入射粒子の相対速度である。我々は体積 V の中に１個粒子がある
という規格化を用いているので、密度は
ρ=
1
V
(21)
である。(20)(21) を (19) に代入して
σf i =
V
(2π)4 (4)
· wf i =
· δ (pf − pi )|Tf i |2 V 2 .
vrel
vrel
(22)
|Tf i |2 を (9) の不変散乱振幅で表すと
|Tf i |2 =
1
1
· |Mf i |2
0
0
2P2 V 2p1 V · · · 2p0n V
2P10V
(23)
となるので、(14) を用いて終状態の運動量積分を行うと、V はすべて消失し出てゆく粒
子一個一個につき相対論的に不変な積分 (15) が現れる。従って、(14)(23) を (22) に代入
すると
σf i =
1
0
2P1 2P20vrel
d 3 p1
1
· 0 ···
3
(2π) 2p2
d 3 pn
1
· 0 · (2π)4 δ (4) (pf − pi )|Tf i |2 .
3
(2π) 2pn
(24)
通常は散乱断面積はローレンツ変換に不変なように定義する。そのために 2P102P20 vrel を
ローレンツ不変な形に書き換える。静止している粒子２に粒子１が運動量 P1 で衝突する
場合（実験室系）で考えると、粒子１、２のエネルギーはそれぞれ P10 = P12 + M12 , P20 =
M2 であり、相対速度は
vrel = |v1 − 0| =
|P1 |
P10
(25)
である。これに P10 P20 を掛けたものをローレンツ不変な形に書き換える。
P10 P20 vrel = M2 |P1 | =
M22 P12
=
M22 (M12 + P12 ) − M12 M22
=
(P1 · P2 )2 − M12 M22
(26)
これを (24) に代入すると散乱断面積が求められる。
✓
✏
Mφller の公式
σ =
1
4 (P1 · P2 )2 − M12 M22
d 3 p1
···
(2π)3 2p01
d 3 pn
(2π)3 2p0n
×(2π)4 δ (4) (pf − pi )|Tf i |2
(27)
• 始状態のスピンが偏極していないときにはスピンについて平均をとる。
✒
• 終状態のスピンを測定しないときにはスピンについて和をとる。
5
✑
フェルミ粒子のスピン (λ) に関する和をとるには
u(pλ)¯
u(pλ)
= p/ + m
v(pλ)¯
v(pλ)
= p/ − m
λ
(28)
λ
を用いると便利である。その際、Trace の計算を行う必要があるが
Tr (γ µ γ ν ) = 4g µν ,
Tr (γ µ γ ν γ ρ ) = 0
Tr (γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = 4(g µν g ρσ − g µρ g νσ + g µσ g νρ )
Tr (γ5 γ µ γ ν ) = 0,
Tr (γ5 γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = 4i
µνρσ
(29)
を用いるとよい。ガンマ行列の数を減らすには
γµ γ ν γ µ = −2γ ν ,
a/γ µ a/ = 2aµ a/ − a2 γ µ ,
γµ γ ν γ ρ γ σ γ µ = −2γ σ γ ρ γ ν
(30)
なども役に立つ。
また、一般に奇数個のガンマ行列の Trace は零になる。実際、Trace の性質
Tr (AB) = Tr (BA)
および γ µ γ5 + γ5 γ µ = 0,
(31)
(γ5 )2 = 1 を用いると
Tr (γ µ1 γ µ2 · · · γ µn ) = Tr ((γ5 )2 γ µ1 γ µ2 · · · γ µn )
= − Tr (γ5 γ µ1 γ5 γ µ2 · · · γ µn )
= (−1)n Tr (γ5 γ µ1 γ µ2 · · · γ µn γ5 )
= (−1)n Tr (γ µ1 γ µ2 · · · γ µn )
(32)
となるので、
Tr (γ µ1 γ µ2 · · · γ µn ) = Tr (γ5 γ µ1 γ µ2 · · · γ µn ) = 0
1.4
n が奇数の時
(33)
運動量空間の体積
粒子の崩壊幅や散乱断面積を計算するときに、終状態の粒子の運動量について積分を
することが多い。全体のエネルギーと運動量は保存するので、全エネルギーを一定にし
たときの運動量空間の体積を求めることになる。
Φn (P ) =
d 3 p1
···
(2π)3 2p01
d 3 pn
· (2π)4 δ (4) (p1 + p2 + · · · pn − P )
3
0
(2π) 2pn
を n 体 Phase Space の体積と呼ぶが、ローレンツ変換に不変なので実際には M =
だけの関数である。
6
(34)
√
P2
２粒子系の場合
終状態が２粒子の場合、全系のエネルギー・運動量保存則により終状態の運動量の大き
さは決まってしまう。実際、重心系をとって考えてみると、運動量保存則 δ (3) (p1 + p2 ) よ
り p2 積分は直ちに実行できるので、２粒子の Phase Space の体積は
d3 p1 2πδ( p21 + m21 + p21 + m22 − E)
·
(2π)3
2 p21 + m21 2 p21 + m22
Φ2 (E, m1 , m2 ) =
エネルギー保存則
p21 + m21 +
|p1 | =
1
2E
(35)
p21 + m22 = E より |p1 を求めると
(E 2 − (m1 + m2 )2 )(E 2 − (m1 − m2 )2 )
(36)
を得る。従って、デルタ関数の積分公式
dxδ(f (x)) =
1
|f (x0 )|
ただし f (x0 ) = 0
を用いて p1 積分を実行すると
Φ2 (E, m1 , m2 ) =
1
·
8πE 2
(E 2 − (m1 + m2 )2 )(E 2 − (m1 − m2 )2 )
(37)
特に、m1 = m, m2 = 0 の時には
Φ2 (E, m, 0) =
1
m2
· 1− 2
8π
E
(38)
崩壊幅の計算例
2
この章では弱い力による粒子崩壊幅の計算例を述べる。粒子崩壊を引き起こす弱い力
の有効相互作用は４体フェルミ型相互作用で表すことができる。W ± の交換 (Charged
Current) によっておきる HCC は
GF
HCC = √ Jµ† J µ
2
(39)
(40)
Charged Current J mu はレプトンの寄与とクォークの寄与とからなる
µ
µ
J µ = Jlepton
+ Jquark
µ
Jlepton
= e¯γ µ (1 − γ5 )νe + µ
¯γ µ (1 − γ5 )νµ + τ¯γ µ (1 − γ5 )ντ
3
µ
Jquark
=
†
d¯i γ µ (1 − γ5 )uj VKM
i,j=1
(41)
(42)
ij
ここで、VKM は世代間の混合を表す３行３列の小林・益川行列である。ニュートリノの
質量を零と仮定してニュートリノ混合は無視した2 。
2
この近似はニュートリノのエネルギーがその質量よりも十分に大きく、かつ終状態のニュートリノを
観測しない場合に許される
7
2.1
Pion の崩壊
ここでは Charged Current による Pion (π ± ) の崩壊幅を計算してみよう。ダイソンの公
式より、弱い力 (39) の１次近似で S-行列 (4) を求めると
S = 1−i
GF
= 1 − i√
2
d4 xHCC = 1 − i
GF
d4 x √ Jµ† (x)J µ (x)
2
(43)
†
µ
†
µ
†
µ
†
µ
d4 x Jlepton,µ
Jlepton
+ Jlepton,µ
Jquark
+ Jquark,µ
Jlepton
+ Jquark,µ
Jquark
これを始状態 |i = |π − (P ) と終状態 |f = |µ− (p1 ), ν¯µ (p2 ) で挟むと、(43) の第３項だけ
が効く
GF
†
µ
π − (P )
µ(p1 ), ν¯µ (p2 )| S π − (P ) = −i √
Jlepton
d4 x µ(p1 ), ν¯µ (p2 )| Jquark,µ
2
GF
†
µ
π − (P ) µ(p1 ), ν¯µ (p2 )| Jlepton
d4 x 0| Jquark,µ
= −i √
|0
(44)
2
強い相互作用により u
¯ クォークと d クォークが束縛状態の π − を作る。π − の崩壊は弱
い力に関しては最低次近似で取り扱うことができるが、強い力により π − が作られる機
構は摂動論では取り扱うことができない。従って、強い相互作用の影響を受ける Pion の
行列要素については、現象論的なパラメーター fπ を導入して実験から決めることにす
†
る。π − は u
¯d からなる擬スカラー粒子なので、Jquark,µ
のうち π − の崩壊に寄与するのは、
Axial-Vector u¯γ µ γ5 d の部分である。そこで、パイオンの崩壊定数 fπ を
0| u¯(x)γ µ γ5 d(x) π − (P ) = √
1
2P 0 V
· ifπ Pµ · e−iP ·x .
(45)
で定義すると、強い相互作用の影響を受ける部分の行列要素は次のようになる。
†
π − (P ) = −Vud √
0| Jquark,µ
1
2P 0 V
· ifπ Pµ · e−iP ·x
(46)
ここで、Vud は KM 行列の (1, 1) 成分である。レプトンは強い相互作用の影響を受けない
ので、(44) の最後の式を導くときには、始状態及び終状態が Pion およびレプトンの状態
の単なる積となることを用いた。弱い力については最低次の近似を用いるので、µ の波
動関数
1
µ(p1 )| µ
¯(x) |0 =
2p01 V
· u¯(p1 ) · eip1 ·x
と ν¯µ の波動関数
1
ν¯µ (p2 )| νµ (x) |0 =
2p02 V
· v(p2 ) · eip2 ·x
の単なる積で与えられる。
µ
µ(p1 ), ν¯µ (p2 )| Jlepton
|0 = − µ(p1 )| µ
¯(x) |0 γ µ (1 − γ5 ) ν¯µ (p2 )| νµ (x) |0
1
=−
· u¯(p1 )γ µ (1 − γ5 )v(p2 ) · ei(p1 +p2 )·x
0
0
2p1 V 2p2 V
8
(47)
ここで、u(p1) はミューオンの正エネルギー解、v(p2 ) はミューニュートリノの負エネル
ギー解を表す。スピン状態については省略して書いている。クォークとレプトンの行列
要素 (45) と (47) を (44) に代入すれば
µ(p1 ), ν¯µ (p2 )| S π − (P ) = i
(2π)4 δ (4) (p1 + p2 − P ) GF Vud
√
· ifπ Pµ u¯(p2 )γ µ (1 − γ5 )v(p1 )
0
0
0
2
2P V 2p1 V 2p2 V
となるので、不変振幅は
GF Vud
· fπ (p1,µ + p2,µ )¯
Mf i = i √
u(p2 )γ µ (1 − γ5 )v(p1 )
2
Vud GF fπ mµ
√
= i
· u¯(p1 )(1 − γ5 )v(p2 )
2
(48)
で与えられる。最後の変形では、ミューオンに対する正エネルギーのディラック方程式
u¯(p1 )(p/1 − mµ ) = 0、およびミューニュートリノに対する負エネルギーのディラック方程
式p
/2 v(p2 ) = 0 を用いた。不変振幅 (48) を (16) に代入し、終状態のミューオンとニュー
トリノのスピンを測定しないことにして、(28) を用いて和をとれば
Γ(π − → µ− + ν¯µ ) =
G2F |Vud |2 fπ2 m2µ
Tr (p/2 (1 + γ5 )(p/1 + mµ )(1 − γ5 ))Φ2 (M)
4Mπ
(49)
ここで
Tr (p/2 (1 + γ5 )(p/1 + mµ )(1 − γ5 )) = 2 Tr p/2 (p/1 + mµ )) = 8p1 · p2
= 4 (p1 + p2 )2 − p21 − p22 = 4(Mπ2 − m2µ ) (50)
となるので
G2F |Vud |2 fπ2 m2µ
m2µ
Γ(π → µ + ν¯µ ) =
Mπ 1 − 2
8π
Mπ
−
2
−
.
(51)
π − → e− + ν¯e の崩壊幅も全く同じように計算する事ができて
G2 |Vud|2 fπ2 m2e
m2
Γ(π → e + ν¯e ) = F
Mπ 1 − e2
8π
Mπ
−
−
2
(52)
となるので
m2e
Γ(π − → e− + ν¯e )
≈
≈ 10−4 .
−
−
2
Γ(π → µ + ν¯µ )
mµ
従って、パイオンはほとんどの場合ミューオンに崩壊することが分かる。
9
(53)
場の演算子の積
3
自由スカラー場の交換関係
3.1
場の演算子を消滅演算子と生成演算子の部分に分ける。
φ(x) = φ(+) (x) + φ(−) (x)
正エネルギー部・
・
・消滅
φ(+) (x) =
√
1
a e−ik·x
2ω V
負エネルギー部・
・
・生成
φ(−) (x) =
√
1
a† eik·x
2ω V
φ(+) (x) |0 = 0,
0| φ(−) (x) = 0
(54)
その交換関係は
[φ(+) (x), φ(−) (y)] = i∆(+) (x − y)
[φ(−) (x), φ(+) (y)] = i∆(−) (x − y)
[φ(+) (x), φ(+) (y)] = [φ(−) (x), φ(−) (y)] = 0
ただし
∆(+) (x − y) = −i
e−ik·(x−y)
= −i
2ω V
d3 k e−ik·(x−y)
(2π)3 2ω
d4 k
˙
= −i
θ(k 0 )δ(k 2 − m2 )e−ik(x−y) ,
3
(2π)
d4 k
˙
∆(−) (x − y) = i
θ(−k0 )δ(k 2 − m2 )e−ik(x−y)
3
(2π)
(55)
(56)
= −∆(+) (y − x)
この ∆(+) (x − y) と ∆(−) (x − y) は Jordan-Pauli の不変デルタ関数を正エネルギーと負エ
ネルギーの部分に分けたものである
∆(x − y) = ∆(+) (x − y) + ∆(−) (x − y)
3.2
(57)
自由場の正規積 (Normal Product)
場の演算子の積を作ると、生成演算子と消滅演算子が色々な順序に並んでいる。これ
を並び替えて、生成演算子 φ(−) は必ず消滅演算子 φ(+) より左側に来るようにしたものを
正規積 と呼び : φ(x)φ(y) : で表す。例えば
φ(x)φ(y) =
φ(+) (x) + φ(−) (x)
φ(+) (y) + φ(−) (y)
: φ(x)φ(y) : = φ(+) (x)φ(+) (y) + φ(−) (y)φ(+)(x) + φ(−) (x)φ(+) (y) + φ(−) (x)φ(−) (y)
φ(x)φ(y) = : φ(x)φ(y) : +[φ(+) (x), φ(−) (y)]
= : φ(x)φ(y) : +i∆(+) (x − y)
10
(58)
同じく電磁場やフェルミ場に対しても
Aµ (x)Aν (y) = : Aµ (x)Aν (y) : −gµν iD(+) (x − y)
(+)
ψα (x)ψ¯β (y) = : ψα (x)ψ¯β (y) : +iSαβ (x − y)
(−)
S (+) (x − y) ≡ {ψ (+) (x), ψ¯ (y)} = (iγ µ ∂µ + m) i∆(+) (x − y)
α
β
ただし、D (+) (x − y) は質量が零の場合の ∆(+) (x − y) 関数である。
正規積では演算子の順序は決められているので、ボゾンの場合には順番を入れ替えても
同じである。フェルミオンの場合には符号だけが変わる。
: φ(x)φ(y) : = : φ(y)φ(x) :
: Aµ (x)Aν (y) : = : Aν (y)Aµ(x) :
: ψα (x)ψ¯β (y) : = − : ψ¯β (y)ψα (x) :
また、正規積では消滅演算子が右側に、生成演算子が左側にあるので、真空期待値を取
ると零になる。
3.3
Feynman Propagator
Dyson の公式を用いて S 行列を計算するには、場の演算子の T-積を計算しておく必要
がある。まず、スカラー場について T-積を計算する。時間の順番を付けておけば、T-積
もただの積であるから、積と正規積の関係 (58) はそのまま成立する。定義により
T φ(x)φ(y) = θ(x0 − y 0)φ(x)φ(y) + θ(y 0 − x0 )φ(y)φ(x)
= : φ(x)φ(y) : +∆F (x − y)
(59)
(60)
ここで
∆F (x − y) = θ(x0 − y 0 )i∆(+) (x − y) + θ(y 0 − x0 )i∆(+) (y − x)
(61)
は、x0 > y 0 の時には y から x に正エネルギーの波が伝わり、y 0 > x0 の時には x から y
へ正エネルギーの波が伝わることを表している。式 (56) を用いると、y 0 > x0 の時には y
から x へ負エネルギーの波が伝わると考えることもできる。
次に T-積の運動量表示を求める。階段関数の積分表示
1
2πi
1
θ(−x0 ) =
2πi
+∞
θ(x0 ) =
−∞
+∞
−∞
dτ iτ x0
e
τ − i0
dτ −iτ x0
e
τ − i0
と (55) を用いると
∆F (x) =
1
2πi
1
+
2πi
+∞
dτ iτ x0
e
τ − i0
−∞
+∞
−∞
dτ −iτ x0
e
τ − i0
11
0
d3 k e−iω x +i ·Ü
(2π)3
2ω
0
d3 k eiω x −i ·Ü
(2π)3
2ω
k 0 = ω − τ と定義し、第２項で k → −k と置きかえると
∆F (x) = −i
=
1
d4 k e−ik·x
1
+
·
4
0
(2π)
2ω
ω − k − i0 ω + k 0 − i0
i
d4 k
· e−ik·x
· 2
4
(2π) k − m2 + i0
(62)
正規積の真空期待値は零なので、式 (60) の真空期待値をとると ∆F (x) を真空期待値で
表すことができる。
∆F (x) = 0| T φ(x)φ(y) |0
自由場 φ の方程式 (
+ m2 )φ(x) = 0 と階段関数の微分
d
θ(x0 )
dx0
(63)
= δ(x0 ) を用いると
˙
+ m2 ∆F (x − y) = δ(x0 − y 0) 0| [φ(x),
φ(y)] |0 = −iδ (4) (x − y)
(64)
ここで、同時刻の正準交換関係を使った。この式は ∆F (x) がグリーン関数の一種である
ことを示している3 。∆F (x) のことをファインマンのプロパゲーターと言う。
電磁場およびフェルミ場についても同様で
0| T Aµ (x)Aν (y) |0
0| T ψα (x)ψ¯β (y) |0
d4 k
−igµν
· e−ik·(x−y)
· 2
4
(2π) k + i0
= SF (x − y)αβ = (i∂/x + m)αβ ∆F (x − y)
d4 k
i(k/ + m)αβ
· e−ik·(x−y)
· 2
=
4
(2π) k − m2 + i0
d4 k
i
=
·
· e−ik·(x−y)
(2π)4
k/ − m + i0 αβ
= −gµν DF (x − y) =
(65)
(66)
T-積も正規積と同じように (59) で順番が決まっているので、ボゾンの場合には順序を入
れ替えても同じだが、フェルミオンの場合には順序を入れ替えると符号が変わる。
T φ(x)φ(y) = T φ(y)φ(x)
T Aµ (x)Aν (y) = T Aν (y)Aµ (x)
T ψα (x)ψ¯β (y) = −T ψ¯β (y)ψα (x)
従って、フェルミオンの場合はプロパゲーターも順序を変えると符号が変わる。
0| T ψ¯β (y)ψα (x) |0 = − 0| T ψα (x)ψ¯β (y) |0 = −SF (x − y)αβ
(67)
２次の摂動論
4
4.1
散乱振幅の計算
量子電気力学では相互作用ハミルトニアン密度は
¯ µ ψAµ (x)
Hint (x) = −eψγ
3
運動量表示 (62) からも直ちにわかる
12
(68)
¯ µ ψ は電子と陽電子を入れ替えたときに符号が変わる
となるが、電流密度 J µ (x) = −eψγ
ように定義する。相互作用表示では場の演算子は自由場の方程式に従うので、正エネル
ギー解と負エネルギー解が分離できるため正規積を定義する事ができる。そのため、電
¯ µ ψ を正規積で定義することができる。相互作用表示では以上２つの
流密度に現れる ψγ
定義は一致するので、ここでは電流密度を正規積で定義しておく。
µ
¯
Hint (x) = −e : ψ(x)γ
ψ(x) : Aµ (x)
(69)
e2
4π
1
= 137
は非常に小さいので摂動展開が良い近似となる。ここでは、e に関して 2 次の
近似で S 行列要素を求める。ダイソンの公式の 2 次の項は
S (2) =
(ie)2
2
∞
d4 x
−∞
∞
−∞
µ
ν
¯
¯
d4 yT {: ψ(x)γ
ψ(x) : Aµ (x) : ψ(y)γ
ψ(y) : Aν (y)}
(70)
ここに現れる演算子はすべて自由場なので、電子場 ψ と電磁場 Aµ は互いに交換する。ま
た、電子場と電磁場の T 積や正規積はそれぞれ独立に定義される。従って、電子場と電
磁場の T 積は別々に計算することができる。
S (2) =
∞
(ie)2
2
d4 x
−∞
∞
−∞
µ
ν
¯
¯
d4 yT {: ψ(x)γ
ψ(x) :: ψ(y)γ
ψ(y) :}T {Aµ (x)Aν (y)}
(71)
場の演算子の積に対する Wick の定理を用いると
T {Aµ (x)Aν (y)} =: Aµ (x)Aν (y) : + Aµ (x)Aν (y)
µ
ν
µ
ν
¯
¯
¯
¯
ψ(x) :: ψ(y)γ
ψ(y) :} =: ψ(x)γ
ψ(x)ψ(y)γ
ψ(y) :
T {: ψ(x)γ
(72)
µ
ν
µ
ν
¯
¯
¯
¯
ψ(x)ψ(y)γ
ψ(y) : + : ψ(x)γ
ψ(x)ψ(y)γ
ψ(y) :
+ :ψ(x)γ
µ
ν
¯
¯
ψ(x)ψ(y)γ
ψ(y) :
+ :ψ(x)γ
(73)
ここで、上に括弧の付いたペアは次のように定義されている。
Aµ (x)Aν (y) = −gµν DF (x − y) =
−igµν
d4 k
· 2
· e−ik·(x−y)
4
(2π) k + i0
ψ α (x)ψ¯β (y) = − ψ¯β (y)ψα (x) = SF (x − y)αβ = (i∂/x + m)αβ ∆F (x − y)
d4 k
i(k/ + m)αβ
· e−ik·(x−y)
=
·
(2π)4 k 2 − m2 + i0
i
d4 k
=
·
· e−ik·(x−y)
4
(2π)
k/ − m + i0 αβ
(74)
(75)
¯ と ψ(x) のペアは現れないことに
電流密度を正規積で定義したので、式 (73) には ψ(x)
注意する。それぞれの場に対する Wick の定理 (72)(73) を (71) に代入すると 8 個の項が
現れる。
その内で散乱振幅にきいてくるは場の演算子が 4 個残っている項である。まず、コン
プトン散乱などにきいてくる、電子演算子が 2 個、光子演算子が 2 個残っている項は
(2)
Seγ
=
(ie)2
2
∞
−∞
d4 x
∞
−∞
d4 y : Aµ (x)Aν (y) :
µ
ν
µ
ν
¯
¯
¯
¯
ψ(x)ψ(y)γ
ψ(y) : + : ψ(x)γ
ψ(x)ψ(y)γ
ψ(y) : .
× :ψ(x)γ
13
(76)
µ
ν
¯
¯
第１項では ψ(x)γ
ψ(x) と ψ(y)γ
ψ(y) を入れ替えても符号の変化はないので
µ
ν
ν
µ
¯
¯
¯
¯
:ψ(x)γ
ψ(x)ψ(y)γ
ψ(y) : = : ψ(y)γ
ψ(y)ψ(x)γ
ψ(x) :
(77)
これを (76) に代入し、µ と ν 、x と y を同時に交換すると (76) の第１項と同じになるので
✓
✏
コンプトン散乱
(2)
Seγ
= (ie)2
✒
∞
∞
d4 x
−∞
−∞
µ
ν
¯
¯
d4 y : Aµ (x)Aν (y) : : ψ(x)γ
ψ(x)ψ(y)γ
ψ(y) :
(78)
✑
ここで正規積の中に残っている演算子は、次の節で行うように始状態と終状態で S 行列
の行列要素を求めるときにきいてくる。
次に電子の演算子が 4 個残っている項は
✓
✏
電子電子、電子陽電子、陽電子陽電子散乱
(2)
See
=
(ie)2
2
✒
∞
d4 x
−∞
∞
−∞
µ
ν
¯
¯
d4 y Aµ (x)Aν (y) : ψ(x)γ
ψ(x)ψ(y)γ
ψ(y) :
(79)
✑
で電子・電子散乱等にきいてくる。
場の演算子が２個しか残っていない項は、後ほどくりこみの章で論じるように電子や
光子の自己エネルギーにきいてくる。例えば、電子場が２個残っているのは
✓
✏
電子の自己エネルギー
Se(2) = (ie)2
✒
∞
d4 x
−∞
∞
−∞
µ
ν
¯
¯
d4 y Aµ (x)Aν (y) : ψ(x)γ
ψ(x)ψ(y)γ
ψ(y) :
(80)
✑
同様に光子場が２個残っている項は
Sγ(2) = (ie)2
∞
d4 x
−∞
∞
−∞
µ
ν
¯
¯
d4 y : Aµ (x)Aν (y) : ψ(x)γ
ψ(x)ψ(y)γ
ψ(y)
(81)
電子の演算子はすべてペアになっており、すべて数なので正規積の記号はもはや必要で
はない。電子の演算子の順番を入れ替えると符号が変わるので、演算子の順序に注意し
て計算する必要がある。そのため、スピノールの成分を書いて計算すると
ψ¯α (x)(γ µ )αβ ψ β (x)ψ¯γ (y)(γ ν )γδ ψδ (y)
αβγδ
(γ µ )αβ ψ β (x)ψ¯γ (y)(γ ν )γδ ψ δ (y)ψ¯α (x)
=−
αβγδ
= − Tr (γ µ SF (x − y)γ ν SF (y − x))
14
(82)
となることが分かる。このように、フェルミ粒子が閉じたループを作るときにはいつで
もフェルミ粒子の演算子を奇数回入れ替える必要があるため、マイナスの符号が現れる。
したがって
✓
✏
光子の自己エネルギー
∞
Sγ(2) = −(ie)2
∞
d4 x
−∞
✒
−∞
d4 y : Aµ (x)Aν (y) : Tr (γ µ SF (x − y)γ ν SF (y − x))
(83)
✑
すべての演算子がペアになってしまった項
(2)
Svac
=
(ie)2
2
∞
∞
d4 x
−∞
−∞
µ
ν
¯
¯
d4 y Aµ (x)Aν (y) ψ(x)γ
ψ(x)ψ(y)γ
ψ(y)
(84)
は演算子が残っていないのでただの数である。(74)(82) を用いるとやはりフェルミ粒子の
ループから負符号がでて
(2)
Svac
=−
(ie)2
2
∞
∞
d4 x
−∞
−∞
d4 y (−gµν DF (x − y)) Tr (γ µ SF (x − y)γ ν SF (y − x))
(85)
２次の摂動では、以上の他にペアが１個も無い項
(2)
S0
(ie)2
=
2
∞
4
∞
dx
−∞
−∞
µ
ν
¯
¯
d4 y : ψ(x)γ
ψ(x)ψ(y)γ
ψ(y) :: Aµ (x)Aν (y) :
(86)
もでてくるが、この項はエネルギー保存則により自由粒子間の行列要素を持たないので
考える必要がない。結局次の５種類の S 行列が２次の摂動で得られる
(2)
(2)
(2)
S (2) = Seγ
+ See
+ Se(2) + Sγ(2) + Svac
4.2
(87)
電子および光子の波動関数
電子や光子など始状態の自由粒子が、相互作用の結果、粒子の生成消滅が起きた後、終
状態の自由粒子となって出てゆく確率を計算する。ここでは始状態および終状態にある
自由粒子の波動関数を求めておく。
まず始状態にある運動量 p、ヘリシティλ を持つ自由電子の１粒子波動関数は
0| ψ(x) e− (p, λ)
=
0| ψ(x)b†Ôλ |0 ,
= {ψ(y), b†Ôλ},
1
=
· uÔλ · e−ipx
0
2p V
15
(88)
(89)
で定義され、ディラック方程式の正エネルギー解で表される。終状態にある電子の場合
には
¯ |0
e− (p, λ) ψ(x)
¯ |0 ,
0| bÔλ ψ(x)
¯
= {bÔλ , ψ(x)},
1
=
· u¯Ôλ · eipx
0
2p V
=
(90)
(91)
で表される。同じように、始状態にある陽電子の１粒子波動関数は
¯
e+ (p, λ)
0| ψ(x)
†
¯
0| ψ(x)d
Ôλ |0 ,
†
¯
= {ψ(y),
dÔλ},
1
=
· v¯Ôλ · e−ipx
0
2p V
=
(92)
(93)
で表され、終状態にある陽電子の場合にはディラック方程式の負エネルギー解に対応し
ている
e+ (p, λ) ψ(x) |0
0| dÔλ ψ(x) |0 ,
=
= {dÔλ, ψ(x)},
1
=
· vÔλ · eipx .
0
2p V
(94)
(95)
光子の波動関数を表すために、運動量 k に垂直な平面内に単位ベクトル e(1) , e(2) をと
り、e(1) , e(2) , k/|k| の順番に右手系となるようにする。例えば、運動量が z 軸方向を向
いているときには
1
0
(1)
(2)
e = 0 , e = 1
(96)
0
0
にとればよい。そうすれば物理的な横波光子の偏りを表す４元ベクトルを
µ
(k, 1) =
0
e(1)
µ
,
(k, 2) =
0
e(2)
(97)
と書くことができる。残りの２つの独立な４元ベクトルとして
µ
i
ik¯µ
= √
(k, L) = √
2|k|
2|k|
|k|
−k
µ
−i
−ikµ
= √
(k, S) = √
2|k|
2|k|
|k|
k
,
(98)
(99)
を採用すると、k µ kµ = k¯µ k¯µ = 0, k µ k¯µ = 2|k|2 故
kµ µ (k, h) = 0 (h = 1, 2, S),
∗
µ
µ (k, L) (k, L)
∗
µ
µ (k, L) (k, S)
=
=
∗
µ
µ (k, S) (k, S)
∗
µ
µ (k, S) (k, L)
16
(100)
= 0,
(101)
= −1.
(102)
この４つのベクトルで −g µν を表すと
µ
(k, h)
∗ν
(k, h) +
µ
∗ν
(k, S)
(k, L) +
µ
(k, L)
∗ν
(k, S) = −g µν .
(103)
h=1,2
直線偏光 e(1) , e(2) の代わりに、円偏光の偏りベクトル
1
e(+) = √ (e(1) + ie(2) ),
2
1
e(−) = √ (e(1) − ie(2) )
2
(104)
を用いることもあり、この場合も４次元ベクトルを
µ
0
(k, +) =
µ
,
(+)
e
(k, −) =
0
(105)
(−)
e
で表す。g µν の分解は同様に
−g µν =
µ
(k, h)η(h, h)
ν∗
(k, h)
(106)
h,h
µ
=
(k, h)
ν∗
(k, h) +
µ
(k, S)
∗ν
(k, L) +
µ
(k, L)
∗ν
(k, S).
(107)
h=±
と書き表される。ここで、
η(h, h) = 1 (for h = 1, 2 or h = ±),
(108)
η(L, S) = η(S, L) = 1,
(109)
others = 0
とする。
これらの偏りのベクトルを用いると、電磁場のモード展開は次のように表わされる
1
Aµ (x) =
,h,h
2|k|V
a(k, h)η(h, h ) µ (k, h )e−ik·x + a† (k, h)η(h, h ) ∗µ (k, h )eik·x
(110)
このとき、生成・消滅演算子の交換関係は
[a(k, h), a† (k, h )] = δ
,
η(h, h )
(111)
となる。従って、1 光子状態を
|γ(k, h) ≡ a† (k, h) |0
(112)
で定義すれば、始状態の光子の波動関数は次のようになる
0| Aµ (x) |γ(k, h)
=
0| Aµ (x)a† (k, h) |0
= [Aµ (x), a† (k, h)]
1
=
· µ (k, h) · e−ik·x
2|k|V
17
(113)
ここで、
η(h, h )η(h , h ) = δh,h
(114)
h
を用いた。終状態の光子についても同様に
γ(k, h)| Aµ (x) |0
0| a(k, h)Aµ (x) |0
=
(115)
= [a(k, h), Aµ (x)]
1
=
· ∗µ (k, h) · eik·x
2|k|V
もちろん、実際に入射してくる粒子は横波光子だけである。物理的状態に属する null
状態は |γ(k, S) 、非物理的状態は |γ(k, L) である。null 状態の波動関数は
0| Aµ (x) |γ(k, S)
0| Aµ (x)a† (k, S) |0
1
=
· µ (k, S) · e−ik·x
2|k|V
−ikµ
· e−ik·x
=
2|k| |k|V
=
= ∂µ
1
2|k| |k|V
· e−ik·x
(116)
(117)
(118)
で与えられるが、これは微分の形に書かれるので電磁場をゲージ変換したことに対応し
ている。光子の波動関数にこのようなゲージ変換した形のものを付け加えても、物理的
粒子の S 行列は不変であることが後で示される。
4.3
S 行列の行列要素
(2)
始状態および終状態のどちらも電子と光子の場合には Seγ がきいてくる。正規積に残っ
ている ψ は始状態の電子を消し、ψ¯ は終状態の電子を作る。同じように、正規積に残っ
ている 2 つの電磁場は、それぞれ始状態の光子を消し終状態の光子を作るのに使われる。
始状態と終状態の電子の運動量とヘリシティを、それぞれ (p, λ), (p , λ ) とすれば
e− (p , λ ) : ψ¯α (x)ψβ (y) : e− (p, λ)
=
=
0| bÔ λ : ψ¯α (x)ψβ (y) : b†Ôλ |0
(119)
e− (p , λ ) ψ¯α (x) |0 0| ψβ (y) e− (p, λ)
†
ここで、bÔλ を左に持ってゆくときに問題になるのは ψβ (y) だけであり、bÔ λ を右に運
ぶときに反可換でないのは ψ¯α (x) だけであるので
ψβ (y)b†Ôλ = {ψ(y), b†Ôλ} − b†Ôλ ψβ (y)
と書き変えたとき、b†Ôλ が左に来た項は (119) において b†Ôλ を更に左には移動させると 0|
に作用して零になってしまう。このため、(119) において残ってくるのは、b†Ôλ と ψ(y) の
18
¯
反交換関係の項だけであり、bÔλ に関しても同様に ψ(x)
との反交換関係の項だけが残る
ことになる。生成・消滅演算子と場との反交換関係は (88)(90) で示されたように１粒子
状態の波動関数で書くことができるので、正規積の項を始状態と終状態ではさんだ項は
(119) のように波動関数の積で表すことができる。
同じように光子についても、始状態および終状態の光子の運動量と偏りをそれぞれ
(k, h), (k , h ) とすれば (113)(115) より
γ(k , h )| : Aµ (x)Aν (y) : |γ(k, h)
=
0| a(k , h ) : Aµ (x)Aν (y) : a† (k, h) |0
=
γ(k , h )| Aµ (x) |0 0| Aν (y) |γ(k, h)
+ γ(k , h )| Aν (y) |0 0| Aµ (x) |γ(k, h) (120)
以下では、例としてコンプトン散乱の散乱振幅を求めてみよう。(78) を電子と光子か
らなる始状態と終状態ではさむと
(2) −
e (p, λ), γ(k, h)
e− (p , λ ), γ(k , h ) Seγ
Sf i =
∞
2
4
∞
d x
= (ie)
−∞
−∞
d4 y γ(k , h )| : Aµ (x)Aν (y) : |γ(k, h)
µ
ν
¯
¯
ψ(x)ψ(y)γ
ψ(y) : e− (p, λ)
× e− (p , λ ) : ψ(x)γ
∞
= (ie)2
d4 x
−∞
∞
d4 y
−∞
γ(k , h )| Aµ (x) |0 0| Aν (y) |γ(k, h)
+ γ(k , h )| Aν (y) |0 0| Aµ (x) |γ(k, h)
¯ |0 γ µ SF (x − y)γ ν 0| ψ(y) e− (p, λ)
× e− (p , λ ) ψ(x)
(121)
この式で x, y の積分は相互作用ハミルトニアンから来たもので、電子と電磁場が相互作
用が起きる場所に関する積分である。上の式を図示するために、電子のプロパゲーター
SF (x − y) を y から x へ向かう矢印で、光子を波線で表す事にすれば、相互作用の起きる
点 x, y では電子の線と光子の線が交わっている。このような点をバーテックスと呼ぶ。
バーテックスには ieγ µ という因子と x 積分が対応している。
この式 (121) に波動関数の具体形 (89)(91)(113)(115) およびプロパゲーターの運動量表
示 (75) を代入すると
∞
(ie)2
Sf i =
2|k |V 2|k|V 2p 0 V 2p0 V
×
×
∗
µ (k
4
∞
d4 y
dx
−∞
, h ) ν (k, h) · eik ·x e−ik·y +
−∞
∗
ν (k
, h ) µ (k, h) · eik ·y e−ik·x
i
d4 q
γ ν uÔλ · eip x e−ipy e−iq·(x−y)
· u¯Ô λ γ µ
4
(2π)
/q − m + i0
ここで、x と y の積分を行うと第一項では
(2π)4 δ(p + k − q)(2π)4δ(q − k − p)
19
(122)
e− (p , λ )
e− (p , λ )
γ(k , h )
γ(k , h )
p−k
p+k
e− (p, λ)
e− (p, λ)
γ(k, h)
γ(k, h)
図 1: コンプトン散乱のファインマン図。上端は終状態、下端は始状態を表す。
第２項では
(2π)4 δ(p − k − q)(2π)4 δ(q + k − p)
となる。このデルタ関数は光と電子が相互作用するバーテックスにおいて４次元運動量
が保存することを表している。
これを (122) に代入し q 積分を行うと
(ie)2
Sf i =
2|k |V 2|k|V 2p
0V
2p0 V
(2π)4 δ(p + k − p − k)
i
γ ν uÔλ
p/ + k/ − m + i0
i
γ ν u Ôλ
+ ∗ν (k , h ) µ (k, h)¯
uÔ λ γ µ
p/ − k/ − m + i0
×
∗
µ (k
, h ) ν (k, h)¯
uÔ λ γ µ
(123)
最後に残ったデルタ関数は、始状態と終状態の４次元運動量が保存することを表してい
る。このように相互作用の４次元的記述では、相互作用の各段階で４次元運動量が保存
する。そのため下の図の中間段階で現れている電子のプロパゲーターでは、q 2 = m2 とい
う４次元運動量 q と質量 m の関係式を満たす事はできない。この４次元運動量と質量の
関係式を満たす粒子をオンシェルの粒子と呼び、４次元運動量と質量の関係を満たさな
い粒子をオフシェルの粒子と呼ぶ。下の図ではバーテックスは黒点で表しているが、バー
テックス間を繋ぐ電子がオフシェルの粒子である。それに対してバーテックスからでて
上端または下端で終わっている線は始状態や終状態の電子や光子を表している。上端は
終状態を表し、下端は始状態を表す。このような図をファインマングラフという。バー
テックスの個数 NV 個だけ四次元運動量保存を表すデルタ関数があり、プロパゲーター
の個数 NP だけの運動量積分があるので、結局 NL = NP − (NV − 1) 個の運動量積分が残
る4 。NL は独立なループの数である。
遷移振幅 Tf i は
f | S |i = δf i + i(2π)4 δ (4) (pf − pi )Tf i
4
NV − 1 となっているのはデルタ関数の内一つは全運動量の保存則になるからである
20
(124)
1
で定義されるが、始状態、終状態の粒子の波動関数からくる (2p0 V )− 2 を除いたものを不
変散乱振幅 Mf i と呼ぶ。
Tf i =
1
2|k |V 2|k|V 2p 0 V 2p0 V
· Mf i .
(125)
コンプトン散乱の不変散乱振幅は (123) の第２項で µ と ν を入れ替えると
iMf i = (ie)2 ∗µ (k , h ) ν (k, h)
i
i
γ µ uÔλ .
γν + γν
ׯ
uÔ λ γ µ
p/ + k/ − m + i0
p/ − k/ − m + i0
(126)
以上で電子コンプトン散乱の散乱振幅の導出を終わるが、これまでの導出法から図 (1) と
この不変散乱振幅 iM との間に一対一の対応があることがわかるであろう。
✓
✏
ファインマン規則
• バーテックスには ieγ µ が対応し、各バーテックスでは四次元運動量が保存する
• プロパゲーターには
電子： 光子： i
p/ − m + i0
−igµν
k 2 + i0
(127)
(128)
• 始状態および終状態の粒子
始状態の電子 ：
uÔλ
(129)
終状態の電子 ：
u¯Ôλ
(130)
始状態の陽電子：
v¯Ôλ
(131)
終状態の陽電子：
vÔλ
(132)
始状態の光子 ：
µ (k, h)
(133)
終状態の光子 ：
∗
µ (k, h)
(134)
• 符号： フェルミ粒子の閉じたループがあれば −1
• 積分の数： NL = NP − (NV − 1) 個の運動量積分 ✒
4.4
d4 k
(2π)4
✑
Ward-Takahashi 恒等式
光子の波動関数の所で触れたように、物理的な光子の波動関数に null state の波動関数
を付け加えても物理的な散乱振幅は変わらない。これを Ward-Takahashi 恒等式という。
ここではこの恒等式を導いておく。(116) のように横波光子の波動関数を、ゲージ変換の
形をした null state の波動関数で置き換えてみる。ここでは、前節で導いたコンプトン散
21
乱振幅 (126) を例に取ろう。散乱振幅 (126) で横波光子の偏り
ものを kν M ν と表す
kν M ν = (ie)2 ∗µ (k , h )¯
uÔ λ γ µ
ν (k, h) を kν
で置き換えた
1
1
k/ + k/
γ µ uÔλ (135)
p/ + k/ − m + i0
p/ − k/ − m + i0
ここで、４次元運動量の保存則 p + k = p + k を使って、第２項では p − k を p − k で
置き換えた。分子の k/ を第一項、第２項においてそれぞれ
k/ = (p/ + k/ − m) − (p/ − m)
k/ = (p/ − m) − (p/ − k/ − m)
(第一項)
(第二項)
(136)
に置き換え、運動方程式
(p/ − m)uÔλ = 0,
u¯Ô λ (p/ − m) = 0
を用いれば、第一項、第２項がキャンセルして
kν M ν = 0.
(137)
全く同じようにして、散乱振幅 (126) で横波光子の偏り ∗µ (k , h ) を kµ で置き換えた式も
零になる。これらの恒等式は、横波光子の波動関数をゲージ変換しても、物理的な散乱
振幅が影響を受けないことを保証するものであるが、その証明に運動方程式を用いたの
で、始状態および終状態のすべての粒子がオンシェルにある場合にのみ成り立つ性質で
ある。
4.5
散乱断面積の計算例
e− + e+ → µ− + µ+ の散乱断面積
電子場 ψ(e) (x) 及びミューオン場 ψ(µ) (x) と電磁場の相互作用ハミルトニアンは
Hint = −e ψ¯(e) γ λ ψ(e) + ψ¯(µ) γ λ ψ(µ) Aλ (x)
(138)
この相互作用ハミルトニアンの 2 次の摂動で、下図のように 4 元運動量 p1 の電子と、4 元
運動量 p2 の陽電子が消滅して、4 元運動量 p3 のミューオンと 4 元運動量 p4 の反ミューオ
ンが作られる散乱断面積を計算する。
µ− (p3 , λ3 )
µ+ (p4 , λ4 )
p1 + p2
e− (p1 , λ1 )
e+ (p2 , λ2 )
22
電子、陽電子、ミューオン及び反ミューオンのヘリシティをそれぞれ λ1 , λ2 , λ3 , λ4 とす
ると、
µ− (p3 , λ3 ), µ+ (p4 , λ4 ) S e− (p1 , λ1 ), e+ (p2 , λ2 ) =
Mf i
i(2π)4 δ (4) (p1 + p2 − p3 − p4 )
0
2p1 V 2p02 V 2p03 V 2p04 V
で定義される不変散乱振幅は
Mf i = u¯(p3 λ3 )γ µ v(p4 λ4 ) ·
e2 gµν
· v¯(p2 λ2 )γ ν u(p1 λ1 )
(p1 + p2 )2 + i0
(139)
で与えられる。
†
(¯
u(pλ)γ µ v(p λ )) = v¯(p λ )γ ν u(pλ)
(140)
を用いて振幅の絶対値の２乗を計算する。始状態の電子・陽電子のスピンの偏りが無いと
して、始状態のスピンについては平均をとることにし、終状態のミューオンと反ミュー
オンのスピンは測定しないことにして、和をとることにすると
1
4λ
|Mf i |2 =
1 ,λ2 ,λ3 λ4
e4
4
×
v¯(p4 λ4 )γ µ u(p3 λ3 )¯
u(p3 λ3 )γ ρ v(p4 λ4 ) ·
λ3 ,λ4
gµν gρσ
·
[(p1 + p2 )2 ]2 λ
u¯(p1 λ1 )γ ν v(p2 λ2 )¯
v(p2 λ2 )γ σ u(p1 λ1 )
1 ,λ2
ここで、スピンに関する和をとるのに
u(pλ)¯
u(pλ)
= p/ + m
v(pλ)¯
v(pλ)
= p/ − m
λ
λ
を用いると
= Tr [γ µ (p/3 + mµ )γ ρ (p/4 − mµ )]
v¯(p4 λ4 )γ µ u(p3λ3 )¯
u(p3 λ3 )γ ρ v(p4 λ4 )
λ3 ,λ4
= 4(pµ3 pρ4 + pρ3 pµ4 − g µρ p3 · p4 − g µρ m2µ )
= Tr [γ ν (p/2 − me )γ σ (p/1 + me )]
u¯(p1 λ1 )γ ν v(p2 λ2 )¯
v (p2 λ2 )γ σ u(p1 λ1 )
λ1 ,λ2
= 4(pν1 pσ2 + pσ1 pν2 − g νσ p1 · p2 − g νσ m2e )
Trace の計算には
Tr (γ µ γ ν ) = 4g µν ,
Tr (γ µ γ ν γ ρ ) = 0
Tr (γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = 4(g µν g ρσ − g µρ g νσ + g µσ g νρ )
23
(141)
を用いた。従って、
1
4λ
8e4
· {(p1 · p3 )(p2 · p4 ) + (p1 · p4 )(p2 · p3 )
(p1 + p2 )4
2
|Mf i | =
1 ,λ2 ,λ3 λ4
+m2µ (p1 · p2 ) + m2e (p3 · p4 ) + 2m2e m2µ
(142)
散乱断面積はメラーの公式より
d 3 p3
(2π)3 2p03
1
σ=
4 (p1 · p2 )2 − m4e
×(2π)4 δ (4) (p3 + p4 − p1 − p2 )
λ1 ,λ2
d 3 p4
(2π)3 2p04
1
|Mf i |2
4
,λ ,λ
3
(143)
4
で与えられるが、これを電子・陽電子衝突の重心座標系で計算しよう。下図の重心座標
系における入射粒子の４元運動量をそれぞれ
p1 = (E, p),
p2 = (E, −p) ただし
E=
me 2 + p2
と表せば、p1 + p2 = (2E, 0) なので、(143) の３次元運動量の保存則 δ (3) (p3 + p4 ) を p4 に
ついて積分すれば p4 = −p3 となる。
p3 = (E , p ),
p4 = (E , −p ) ただし
m2µ + p 2
E =
µ− (p3 )
e− (p1 )
θ
e+ (p2 )
µ+ (p4 )
ローレンツ変換に不変な変数を
s ≡ (p1 + p2 )2 = 4E 2
で定義すれば、2E =
√
s は重心系のエネルギーを表す。p21 = p22 = m2e であるから
p1 · p2 =
s − 2m2e
1
(p1 + p2 )2 − 2m2e =
2
2
となるので、メラーの公式に現れるフラックス因子は
4 (p1 · p2 )2 − m4e = 2
24
s(s − 4m2e )
(144)
√
と書くことができる。残ったエネルギー保存則 δ(2E − s) と d3 p 積分を次のような変
数変換を行って実行する。p の方向を z 軸に選び、p と p のなす角を θ として、p を極
座標を用いて表すと
=
=
1
2π
√
d3 p
· 2πδ(2E − s)
3
2
(2π) (2E )
√
p 2 dp dφd(cos θ)
δ(2E
−
s)
(2π)2 (2E )2
√
dp
p2
·
dE δ(2E − s)
d(cos θ)
2
(2E ) dE
(145)
E 2 − m2µ
p =
(146)
より
dp
E
=
dE
p
となるので (145) の E 積分を実行すると
d(cos θ) ·
1
16π
s − 4m2µ
s
従って、
p1 · p3
1
= (s − 2m2µ )
2
= p2 · p4 = E 2 − p · p = E 2 − pp cos θ
p1 · p4
= p2 · p3 = E 2 + p · p = E 2 + pp cos θ
p3 · p4
これらの式を (143) に代入すると、微分断面積を求めることができる。
dσ
d(cos θ)
=
4πα2
8s
s − 4m2µ
s − 4m2e
4(m2µ + m2e ) 4m2µ m2e
4(m2µ + m2e )
+ 1−
+
s
s
s2
4πα2
(1 + cos2 θ)
−→
8s
· 1+
cos2 θ
ただし、最後の式は高エネルギー s → ∞ における漸近形を表し、
α=
e2
4π
(147)
と定義した。これを角度について積分すると全断面積を求めることができる。
σtotal =
ここで、me
2m2µ
4m2µ
4πα2
· (1 +
) 1−
8s
s
s
mµ は無視した。
25
(148)
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