(8)―特殊な高次の連立方程式 - 数学のいずみ

―私の数学散歩道(8)―
2011/08/08
特殊な高次の連立方程式―遊び心の観点から別解を探る
数実研会員村田
洋一
今回は自作の１．三元四次連立方程式(問題-１)を考え、それに途中から遊び心で 4 個の
異なる解を与え、また別の 2．三元二次連立方程式(問題-2)では 3 個の別解を示しました。
(同-１)の後半は 2 次式 f (t )  0 の判別式の正負で f (t )  0 実数解の個数が容易に判断
でき、1), 2)の 2 組の 3 次方程式を解けばよいが、敢えて 2) ニュートンの逐次近似法、
3) カルダノの公式、 4) Sturm の定理により解(答)を求め論証の根拠としました。
1) a  d , a  d に着目し b の方程式に変形、 2) b( a  d )  0 に注目し b の
(同-2)は
方程式に変形、3) 行列の定義から行列・行列式の考えに帰着させたものです。
注) (同-１) の 4)は“数学のいずみ”新着情報 2011.03.26. 安田富久一先生の「解の
~
(Sturm 問題)」を参照して作成しました。記号 V , V の使い方も同様です。
問題と別解の検討
【問題-１】
次の連立方程式を解き a, b, c のすべてが実数の解を、必要があれば小数
第 5 位まで求めよ。
a  b  c 2  14 ・・・①
2
2
a 3  b 3  c 3  20 ・・・②
a 4  b 4  c 4  98 ・・・③
定石の基本対称式に着目し
a  b  c  x, ab  bc  ca  y, abc  z として
①～③を x, y , z で表す方針でいく。
①より
②より
(a  b  c) 2  2(ab  bc  ca )  14
(a  b  c) (a  b  c) 2  3(ab  bc  ca )  3abc  20

また③より
(a  b  c) 2  2(ab  bc  ca)2  2(ab  bc  ca) 2  2abc(a  b  c)  98
これらから
1
x 2  2 y  14 ・・・・・・・・・・④
x( x 2  3 y )  3 z  20 ・・・・・・・⑤
( x 2  2 y ) 2  2( y 2  2 zx)  98 ・・・⑥
④より
z
y
1 2
x 7
2
1 3
20
x  7x 
6
3
これを⑤に代入
x(21 
1 2
x )  3 z  20
2
④と y, z を各々⑥へ代入して
1
1
20
14 2  2( x 2  7) 2  4 x( x 3  7 x  )  98
2
6
3
整理して
よって
x 4  84 x 2  160 x  x( x  2)( x  8)( x  10)  0
x  2,0,8,10
この時各々
z  6,
y  5,7,25,43
20
,36,90
3
1） x  2 ， y  5 ， z  6 のときこれを 3 解とする 3 次方程式は
t 3  2t 2  5t  6  0 これは容易に因数分解できて (t  1)(t  3)(t  2)  0
従って (a , b, c )  (1,3,2), (1,2,3), (3,2,1), (3,1,2), (2,1,3), (2,3,1)
2） x  0 ， y  7 ， z 
20
20
3
のときは同様に t  7t 
0
3
3
f (t ) とおき f (t )  0 から t  
この左辺を
7
14 21  60
で極大値
 0.46  0,
3
9
7
14 21＋60
で極小値 
 13.79  0 より f (t )  0 は 3 個の実数解をもつ。
3
9
ここで f (t )  0 の 3 個の実数解を大きな順に各々  ,  ,  とし Newton の
t
逐次近似法で求めてみる。
f (3)  
7
2
88
2
 0 , f ( 4) 
 0 また  2  
 1 , f (1)  f (2)  
3
3
3
3
 0 , 極大値
f (
7
)  0 から 3    4 ,  2   ,   1
3
初期値を各々  0 ,  0 ,  0 で表し、また f (t )  3t  7
2
2 1
91
1  3  ・ 
3 20 30
91
271
91
6181
91
271
300
f( )
f ( ) 
2 

・
 3.03285
30
27,000
30
300
30 27,000 6,181
   3.03285
（参考 f ( )  0.00008 ）
 0  3 として
 0  1 として
2
f (3)  
2
3
f (1)  
f (3)  20
2
3
f (1)  4
1  1 
1
7

6
6
7
19
7
35
7 19 12
377
f ( )  
f ( )  
2   
・ 
 1.196825
6
216
6
12
6 216 35
315
f (
377
208,272,142 20
377
426,387
)

 0.00321 f (
)
7
315
31,255,875
3
315
99,225
0.00321
 1.19801
2.70283
   1.19801 （参考 f (  )  0 ）
 2.70283  3  1.19682 
      0 であるから   1.83484
従って (a , b, c )  ( ,  ,  ), ( ,  ,  ), (  ,  ,  ), (  ,  ,  ), ( ,  ,  ), ( ,  ,  )
3） x  8 ， y  25 ， z  36 のときこれを 3 解とする 3 次方程式は
t 3  8t 2  25t  36  0 これをカルダノの公式で解いてみよう。
8
8
8
8
t  y  ( ) として ( y  ) 3  8( y  ) 2  25( y  )  36  0
3
3
3
3
y3 
これを整理して
u 3  v 3  (3uv 
11
196
y
0
3
27
11
196
)(u  v) 
3
27
u 3 , v 3 を解とする分解方程式は
ものをとると
u
3
u3 

uv  
s2 
と置きまとめると
11
196
3
3
にとって u  v 
9
27
196
11
s  ( ) 3  0
27
9
u 3 に根号＋の
98
98
11
98  27 15
 ( )2  ( )3 
27
27
9
27
98  27 15
として
3
実数解は u  v 
y uv
v
11
33 98  27 15
求める 3 個の解は
8
 1.9576  0.6243  2.6666  3.9993
3
 1  3i
として
2
複素数解は
8
 1.9993  2.2358i
3
8
 2 u  v   1.9993  2.2358i
3
u   2 v 
しかし実数解 3.9993 がほぼ 4 なので、 t  4 を代入すると与式  0 となり、
(t  4)(t 2  4t  9)  0 から解は 4、 2  5i となる。 (t  4) を因数に持つ
ことに気がつかなかったもの。
3
4） x  10 ， y  43 ， z  90 のときも同様に t  10t  43t  90  0
3
2
これの実数解の個数を Sturｍの定理から求めてみよう。

f 0 (t )  t 3  10t 2  43t  90 として f1 (t )  f 0 (t )  3t 2  20t  43
f 0 (t ) 
1
58
380
(3t  10) f1 (t )  t 
9
9
9
2
 f 2 (t )   (29t  190)
9
27
45
45・380
t
)(58t  380)  387 
58
29・29
29・29
f 1 (t )  (
これから
~
V ()  V (,,,)  1
 f 3 (t )  
308,367
841
~
V ()  V (,,,)  2
V ()  V ()  2  1  1 従って 1 個の実数解と 2 個の複素数解を持つ。。
以上のことから a, b, c のすべてが実数の解の組は 1）、2）からの 12 組に限る
【問題-2】
次の連立方程式を解け。
a  b  17 ・・・①
ab  bd  6 ・・・②
2
2
b 2  d 2  5 ・・・③
1) ①  ③
a 2  d 2  (a  d )(a  d )  12
これらを加えて a  b 
②より a  d 
3
3
, d   b ・・・④
b
b
6
b
また a  d  2b
3
a を ①に代入 (b  ) 2  b 2  1
b
2b 4  11b 2  9  0 この複二次方程式を解いて b  1, 
b  1 のとき ④から a  4, d  2
(a, b, d )  (4,1,2), (4,1,2), (
2
より
ⅱ） b  0
4
以下、同様にして次の 4 解を得る。
5  b 2 とすると
b( 17  b 2  5  b 2 )  6
ⅰ） b  0 の時
2
5 2 3 2
2
5 2 3 2 2
,
,
), (
,
,
)
2
2
2
2
2
2
2) ①，③より a  17  b ， d 
②より
3
ad 0
ad 0
ad
この式で b と(
または
)内の無理式の積＞0
ad 0
または  a  d  0 でこれはⅰ）に同じ
b( 17  b 2  5  b 2 )  6 を考えれば十分である。この時、両辺＞0
従って
b 2 (22  2b 2 )  2 (17  b 2 )(5  b 2 )
より平方して
 2b 2 b 4  22b 2  85  2b 4  22b 2  36
144(b 2  1)(2b 2  9)  0
これから
  36
再度平方して整理すると
b  1, 
3
2
以下省略
1)同様の解の組 (a, b, d ) を得る。
3) 方程式の形から
B
a
b
b d

B2  (
とすると
a2  b2
ab  bd
17 6
ab  bd
)(
)( C )
2
2
6 5
b d
ケーリー・ハミルトンの定理より
17 6
C  B 2  (a  d ) B  (ad  b 2 ) I  (
)
6 5
の自乗が 17・5 - 6・6  49
また B の行列式 ( ad  b )
2
に等しいことから
ad  b 2  7
ⅰ) ad  b  7 の時
2
17 6
1 0
4 1
4 1 2
17 6
(a  d ) B  (
)  7(
)  6(
) また 6 2 (
)  36(
)
6 5
0 1
1 2
1 2
6 5
より
(a  d ) 2 B 2  36C
(
すなわち
4 1
1 2
これから
) : ( a  d  6)
a  d  6 ， B   (
またはその負 (
4
1
1  2
4 1
1 2
)
) が得られる。
ii） ad  b  7 の時
2
同様に
5 3
( a  d ) B  2(
)
3 1
a  d  2 2 より B  
5 2
すなわち ( 2
3 2
2
2
5
17 6
) 2  8(
)
3 1
6 5
また 2 (
3
1 5 3
(
)
2 3 1
3 2
5 2

2 ) : (a  d  2 2 ) またはその負 ( 2
2
3 2


2
2

3 2
2 )
2
2
が得られる。
従って 1),2)同様の解の組が求められる。
以上
5

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