統計解析第６回第5章順列と組合せ再来週の中間テストの注意 • 定規を持参 • 電卓を持参（携帯電話は不可） • 教科書参照不可今日学ぶこと • 順列 • 組合せ • 組合せと確率すべての結果が同じくらい起こりそうな場合事象の大きさ事象の確率  標本空間の大きさ偶数の個数さいころの目が偶数になる確率  すべての目の個数 2,4,6 3 1    1,2,3,4,5,6 6 2 さいころを10個同時に投げたとき、1が2個出る確率は？ 1が2個出るすべての場合を列挙出る目のすべての組合せを列挙順列や組合せの計算方法を知る順列 A,B,C,Dの4人がリレーで走る順番 4×3×2×1 = 24通り n! = n×(n – 1)×・・・×1 nの階乗 4! = 4×3×2×1 10人の中から4人選んで、リレーで走る順番 10×9×8×7 ＝ 5040通り nPr nからr 選んだときの順列 = n×(n-1)×・・・×(n-r+1) 10P4 n! n Pr  n  r ! = 10×(10-1)×・・・×(10-4+1) = 10×9×・・・×7 組合せ 10人から4人選ぶ組合せ 10  9  8  7 10  3  7  4  3  2 1 1 n   nCrあるいは   であらわす r 10 C 4 10 10 9  8  7      4  4  3  2 1  n n!   n Cr    r  r!n  r !   ちょっと練習問題 27人の学生から3人選ぶやり方は何通り？  27 27 26 25 27 C3    3   3  2 1  9 13 25  2925   ? 確率と組合せさいころを10個同時に投げたとき、1が2個出る確率は？ 3 1 4 1 5 3 2 6 5 1 3 1 4 1 5 3 2 6 5 4 目の出方 = 6×6×・・・×6 = 610 1が2個出る組合せ＝ 10C2×58=45×58 さいころを10個同時に投げたとき、1が2個出る確率 8 45 5  10 6 同種のものを選ぶ場合袋の中に52個の玉 48個が黒 4個が白ランダムに5個取り出すときに2個が白い確率は？ 2個が白で3個が黒の場合の数  52個から 5個選ぶ組合せ 4個から 2個選ぶ組合せ 48個から 3個選ぶ組合せ  52個から 5個選ぶ組合せ 4  3 48 47  46  C  C 47  46 2  1 3  2  1 4 2 48 3    52 51 50 49 48 4917 13 5 52 C 5 5  4  3  2 1 ちょっと練習問題 13個の玉 8個が白で5個が黒ランダムに4個選ぶとき、白が2個、黒が2個となる確率は？ 4個が白になる確率は？ 8 7 5 4  C  C 7  4  2 56 8 2 5 2 2  1 2  1    13121110 1311 143 13 C 4 4  3  2 1 ? 8 7  6 5 2 7 14 4  3  2  1 8 C4    13121110 1311 143 13 C 4 4  3  2 1 ? 確率と直感の話あなたはクイズ番組の優勝者 3つの扉のうち1つが当たり（2つはハズレ）あなたが1つの扉を選ぶと、司会者が別の扉を「ちなみにこれはハズレです。」と言ってあける。そして「もう一度選びなおしますか？」と聞いてくる。どうするか？選択肢は3つ •そのまま •もう一つの扉を選ぶ •どっちでもいい確率と直感の話必ずそのまま→当たる確率1/3 どっちでもいい→当たる確率1/2 必ずもう1つの扉を選ぶ最初に当たりを選ぶ→最終的にはハズレ最初にハズレを選ぶ→最終的には当たり必ずもう1つの扉を選ぶ→当たる確率2/3