第 7 章柱部材座屈 : 鋼構造物の圧縮部材の設計において最も重要な

第 7 章柱部材
1
第7章
柱部材
座屈 : 鋼構造物の圧縮部材の設計において最も重要な事項
図 7.1
座屈実験
図 3.5 (b)
応力 – ひずみ曲線
第 7 章柱部材
2
7.1
• 短柱 −→
断面積に比べ部材の長さが比較的短い柱
• 座屈は生じない． −→
図 7.2
短柱
力学的挙動は引張部材と同じ
部材図心軸に集中力が作用したときの
応力分布
図 7.3
部材図心軸に偏心して集中力が作用し
たときの応力分布
第 7 章柱部材
3
7.2
弾性座屈
• 比較的短い柱 −→ 断面の降伏により柱の耐荷力が決定される．
• 比較的長い柱 −→ ある荷重になったとき，それが降伏荷重よりかなり低くても，突然荷重作用方向と直交
した方向に変位が生じる．
図 7.4
弾性座屈
短柱と長柱に圧縮力が作用したときの挙動
第 7 章柱部材
4
•任意点xでの曲げモーメント
M = Pw
(7.3)
•曲率ρと曲げモーメント M の関係(EI : 曲げ剛性)
EI
d2 w
M =−
= −EI 2
(7.4)
ρ
dx
•つり合い方程式 (式(7.3)および (7.4)を等値)
d2 w
(7.5)
EI 2 + P w = 0
dx
•P/EI = α2とおくと，式(7.5)の一般解
w = A sin αx + B cos αx
•支持条件 :
図 7.5
図 7.6
B = 0,
•したがって，
x = 0, l で w = 0
A sin αl + B cos αl = 0
A sin αl = 0
このときの柱の変形形状
(7.7)
w = A sin αx
•A = 0 −→ 自明な解，
図 7.7
弾性座屈の発生
•A = 0 −→ sin αl = 0
αl = nπ (n = 1, 2, · · · , n)
2
(nπ) EI
P =
l2
•n = 1 最小限界荷重値
オイラーの座屈荷重
π 2 EI
P = 2 = PE
l
第 7 章柱部材
5
7.3
• オイラーの座屈応力
EI
PE
= π2 2 =
σE =
A
Al
• 細長比パラメータ
λ
λc =
=
λY
図 7.8
細長比，細長比パラメータ
π2 E
π2E
= 2
(l/r)2
λ
σY
σE
柱の細長比と圧縮応力
r = I/A : 断面二次半径，
(∵ λY = π E/σY ,
図 7.9
λ = l/r : 細長比
λ = π E/σE )
無次元表示された座屈曲線
第 7 章柱部材
6
7.4
有効座屈長
(端末条件の影響)
座屈後の部材の微小要素 dx
• x 方向の荷重 P による部材直角方向の分力


dw d2w 
dw
d2 w
−P 
+ 2 dx = −P 2
P
dx
dx
dx
dx
d2 w
単位長さ当りの横荷重
q = −P 2
dx
• 部材の横たわみ w と横荷重 q(x) 関係
d4 w
EI 4 = q(x)
dx
• 一般的な柱の座屈後のつりあい方程式
EI
d4 w
d2 w
+
P
=0
dx4
dx2
両端固定
lef : 有効座屈長， β : 有効座屈長係数
x=0
端末条件
両端ピン支持
π 2 EI
π 2 EI
PE =
=
(βl)2
(lef )2
w(0) = 0,
d2 w
=0
dx2
dw
=0
θ(0) =
dx
M(0) = −EI
w(0) = 0,
x=l
w(l) = 0,
d2 w
=0
dx2
dw
=0
θ(l) =
dx
M(l) = −EI
w(l) = 0,
第 7 章柱部材
7
表 7.1
柱の有効座屈長 (道示: 鋼橋編)
l : 部材長 (cm)
第 7 章柱部材
8
図 7.10 a
座屈モードと有効座屈長
第 7 章柱部材
9
図 7.10 b
座屈モードと有効座屈長
第 7 章柱部材
10
7.5
(1)
不完全さのある柱
偏心載荷を受ける柱
d2 w
EI 2 + (w + e)P = 0
dx
2
α = P/EI とおくと，一般解は，
w = A sin αx + B cos αx − e
支持条件 : x = 0, l で w = 0
e(1 − cos αl)
sin αl


 (1 − cos αl) sin αx + cos αx sin αl

− 1
w = e
sin αl
sin αl cos αx − cos αl sin αx + sin αx
−1
=e
sin
αl


 sin(αl − αx) + sin αx

− 1
= e
sin αl




1
− 1
中央点のたわみ
wc = e 
cos(αl/2)
Pe
曲げモーメント
Mc = P (wc + e) =
cos(αl/2)
B = e,
A=
図 7.11
偏心載荷を受ける圧縮材
第 7 章柱部材
11
図 7.13
図 7.12
偏心載荷を受ける柱の荷重たわみ関係
偏心載荷を受ける柱の荷重と縁応力の
関係 (e=0.01k)
第 7 章柱部材
(2)
12
元 (初期) たわみのある柱
d2 w
EI 2 + P (w + w0) = 0
dx
元たわみw0を正弦半波曲線と仮定
πx
w0 = A0 sin
l
2
α = P/EI とおくと，一般解は，
α2
w = A sin αx + B cos αx − 2
w0
α − (π/l)2
支持条件 : x = 0, l で w = 0
x = 0 −→ B = 0
x = l −→ A sin αl = 0
∴
A=0
(sin αl = 0は元たわみの仮定に反する)
sin(πx/l)
w = A0 α 2
(π/l)2 − α2
A0 α 2
A0 P
中央点のたわみ
wc =
=
2
2
(π/l) − α
PE − P
曲げモーメント


1

Mc = P (wc + A0 ) = A0P 
1 − P/PE
図 7.14
元たわみのある柱
第 7 章柱部材
図 7.15
13
元たわみのある柱の荷重たわみ関係
図 7.16
元たわみ A0 の変化に伴なう σcr の変化
第 7 章柱部材
14
7.6
非弾性座屈
土木構造物 : 実際の橋の座屈 −→ 非弾性域で生じる
図 7.17
残留応力を有する短柱を圧縮したときの応力 – ひずみ挙動
第 7 章柱部材
15
接線係数理論 (tangent modulus theoty)
• 弾性座屈理論の E を Et に変えること
により非弾性域にまで拡張したもの．
π 2 Et
• σ = P/A > σcr =
(l/r)2
−→
分岐
• Et : 応力 σ での接線係数
l
Et
•
=π
(7.33)
r cr
σcr
ステップ 1 実験により σ − ε を求める
ステップ 2 σ − Et 曲線を求める
ステップ 3 (7.33) より座屈細長比の計算
図 7.18
接線係数理論
第 7 章柱部材
16
等価係数理論 (reduce modulus theoty)
仮定
1
たわみは微小
2
平面保持
3
座屈時に荷重は変化しない
π 2 Er
座屈応力 σcr =
(l/r)2
Er : 等価係数
• 等価係数法 : 載荷側，除荷側の剛性考慮
• 座屈荷重 : 等価係数法 > 接線係数法
• 実験結果は接線係数法に近い
図 7.19
等価係数理論
合理的！
第 7 章柱部材
17
外力モーメント
:
内部モーメント
:
Mext = P w
(応力) × (断面積) × (中立面からの距離)
y
σ = Eε = E = Eφy
R
φ = 1/R (R : 曲率半径)
2
2
1
1
Mint = (φEt d1)d1b d1 + (φEd2)d2b d2
2
3
2
3
Er I
1 b
(Etd31 + Ed32 ) =
=
R 3
R
1 b
(Etd31 + Ed32)
(7.39)
Er =
I
3
限界断面でのつり合い式
1
1
× φEt d1 × d1 × b = × φEd2 × d2 × b
2
2
E
E 2
d1
∴ d21 =
d2 ,
=
(7.41)
Et
d2
Et
式(7.41)とI =
1
b(d1 + d2)3を式(7.39)に代入すると
12
4EEt
√
Er = √
(7.42)
( E + Et ) 2
図 7.20 等価係数理論の適用 (矩形断面柱)
第 7 章柱部材
18
Shanley モデル
接線係数荷重 −→ 柱の強度の下限値
等価係数荷重 −→ 柱の強度の上限値
図 7.22 柱の非弾性座屈挙動
図 7.21 Shanley の柱モデル
第 7 章柱部材
19
図 7.23 座屈の進行と応力分布 (接線係数理論)
第 7 章柱部材
20
残留応力
• フランジやウェブなどの板要素内
• 圧縮残留応力
−→
−→
単純な形に仮定
一様分布，直線分布
降伏応力 σY の 1/3 程度に仮定
図 7.24 圧延 H 形鋼の残留応力の測定例
図 7.25 溶接組立部材の残留応力の測定例
第 7 章柱部材
21
7.7
• 柱の耐荷力
柱の耐荷力，設計許容応力
設計基準値
– 許容応力度設計法
:
設計許容応力 = 設計基準値 / 安全率
– 荷重・抵抗係数設計法
:
設計値 = 設計基準値 × 抵抗係数
• 柱の強度
π 2 Et
Pcr =
Ag = σcr Ag
(βl/r)2
Et : 接線弾性係数，Ag : 部材断面積，
βl/r : 有効細長比，β : 有効座屈長係数，
l : 部材長，r : 断面二次半径
• 実験 : 部材の初期不整，部材端の拘束，
残留応力，荷重の偏心
−→ 解析モデルの確立
困難！
図 7.26 柱の強度
第 7 章柱部材
22
残留応力が存在する H 断面柱の耐荷力曲線
接線係数法，細長比，短柱載荷試験による応力 – ひずみ関係
曲げモーメント
1
R=
θ
(dA要素)
1
M
θ= =
R EI
dM = (θEty)(dA)(y)
M
EI=
=
θ
A
図 7.18 接線係数理論
−→
1
E =
I
A
A
θEt y 2 dA = θ
Ety 2 dA
E
Ie
y 2 dA = E
I A:elastic 
I



2
2
2
π E y dA 
π E(Ie/I) 

Pcr = 
A
=
Ag
g
(βl/r)2I
(βl/r)2
座屈強度は弾性域の断面二次モーメント : Ie
柱が曲がり始まる応力
Et y 2 dA
(全断面) M =
E =
図 7.27 残留応力が存在する柱の耐荷力の求め方
A
Et y 2 dA
第 7 章柱部材
23
H 断面柱の座屈
ケース A
ケース B
弱軸まわりの座屈
Ae
2x0
=
b
Af


tf (2x0)3  12 
Ie
E =E
= Ek 3
3
I
12
tf b
公称応力増分量
Ae E
dP/A
=
Et =
=
dP/Ae
弾性ひずみ増分量
A
E
∴ Et A = Ae E = (Aw + 2kAf )E
(7.54)
弾性域の割合
k=
Aw : ウェブ断面積，Af : フランジ断面積，A : 総断面積
式(7.54)をkについて解く．
k=
Et A
Aw
−
2EAf 2Af

3
Aw 
π 2 Ek 3
π 2 E  AEt
−
σcr =
=
(βl/r)2
(βl/r)2 2Af E 2Af
強軸まわりの座屈
•ウェブを無視したとき
2Ae(d/2)2
Ie
E =E
= Ek
I
2Af (d/2)2
π 2 Ek
σcr =
(7.61)
(βl/r)2
•ウェブを考慮したとき


2
3
2kA
(d
/4)
+
t
d
/12
Ie
f
w

E =E
I
2Af (d2/4) + tw d3 /12




2kA
+
A
/3
E
A/E
−
2A
/3
f
w
t
w
 =

=E
2Af + Aw /3
2Af + Aw /3
(式(7.54)より，2kAf = Et A/E − Aw )


π 2 E  Et A/E − 2Aw /3 
σcr =
(7.62)
(βl/r)2
2Af + Aw /3
図 7.28 H 断面柱の弱軸まわりの座屈
第 7 章柱部材
24
[例 –1] 下図に示す H 断面柱の耐荷力曲線 (σcr − βl) を求
めよ．断面内の残留応力分布は図 (a) のとおりとする．
•弾性範囲内
•塑性域
P =
A
σdA = σA
P = (A − Ae )σY +
•σcr = P/A ≤ (2/3)σY
−→
Et = E, E = EIe/I,
2
π2 E
σcr = σY =
3
(βl/r)2
Ae
σdA
全断面が弾性域
Ie = I
βl
π 2 (200000)
=
= 65.4
r
2/3(690)
•σcr = P/A > (2/3)σY → フランジ端 : 塑性域
Ie /I = (b/2)3/b3 = 1/8
2
π 2 E(Ie/I)
π2E
=
σcr = σY =
3
(βl/r)2
8(βl/r)2
βl
= 23.2
r
•σcr = P/A = σY
π2E
βl
= 18.9
σcr = σY
8(βl/r)2
r
βl
•残留応力がないときσcr = σY
= 53.5
r
図 7.30 [例 -1] の耐荷力曲線
第 7 章柱部材
25
[例 –2] H 型断面の柱の弱軸まわりの耐荷力曲線を，残留応力がより現実的なケースとして下図
に示すような線形分布をする場合について求めよ．
図 7.31 座屈強度の計算例 2
第 7 章柱部材
26
•σcr = P/A ≤ (2/3)σY −→ 全断面が弾性域
2
π2E
Et = E, σcr = σY =
3
(βl/r)2
•σcr = P/A > (2/3)σY → 断面の一部 : 塑性域
π 2 EIe/I
σcr =
(βl/r)2
Ie
2(1/12)(2z 0)3t 8(z0)3
=
=
I
2(1/12)b3t
b3
8π 2 E(z0/b)3
ウェブを無視すると σcr =
(βl/r)2
•弾塑性状態での荷重
2
1
1 z0
−
Pcr = 2 σbt − 2
σ − σY
bt
2
3
2
b
2
σ − 23 σY
z0 4
3 σY
σY
−→ σ = 1 −
1
z0 = b
b
3
−
2
b
2
1 z0
z0 4
z0 4
2
σY − 1 −
σY − σY
−
Pcr = 2bt 1 −
b 3
b
3
3
2
b

3
4 z0 
= Af σY 1 −
3 b
図 7.32 H 断面柱の弱軸まわりの座屈強度

Pcr
4 z0
σcr =
= σY  1 −
Af
3 b
3


第 7 章柱部材
27
図 7.34 SSRC 耐荷力曲線
図 7.33 柱の耐荷力曲線


βl 2 
σY
βl σY

σcr = σY 1 − 2
, λc =
4π E r
r π2E
√
√
σcr
λ2
1
= 1 − c (λc ≤ 2),
(λ
≥
2)
c
σY
4
λ2c
第 7 章柱部材
28
柱の強度曲線 : ECCS Eurocode 3
σcr
= 1.0
(λ ≤ λ0 )
σY


2
σcr
1 
2
2
2 
= 2 1 + α(λ − λ0 ) + λ − {1 + α(λ − λ0 ) + λ − 4λ }
σY
2λ
λ0 : 限界細長比パラメータ
図 7.35 ECCS の複数柱曲線
(λ > λ0 )
第 7 章柱部材
29
座屈設計ガイドライン
図 7.36 座屈設計ガイドラインの複数柱曲線
第 7 章柱部材
30
道路橋示方書
σ = 1.0
(λc ≤ 0.2)
σ = 1.109 − 0.545λc
(0.2 < λc ≤ 1.0)
σ = 1.0/(0.773 + λ2c )
(1.0 < λc )
図 7.37 耐荷力曲線 (道路橋示方書)
第 7 章柱部材
道路橋示方書
31
構造用鋼材の許容軸方向圧縮応力度
基準耐荷力曲線 (図 7.37), 安全率 1.7
σca = σcag · σcal /σcao
σca : 許容軸方向圧縮応力度，σcag : 局部座屈を考慮しない許容軸方向圧縮応力度，
σcal : 局部座屈に対する許容応力度，σcao : 局部座屈を考慮しない許容軸方向圧縮応力度の上限値，
表 7.2 局部座屈を考慮しない許容軸方向圧縮応力度 (道路橋示方書)

Download Report