Scritto 3 del 2014. 1. Al variare dei parametri studiare il sistema

Scritto 3 del 2014.
1.
8 Al variare dei parametri studiare il sistema
< x y + (h 2) z = h + 1
hx + y z = 0
.
:
(h 2) x + 3y (2h + 1) z = k h
Determinare poi i valori di h e k per cui le soluzioni del sistema costituiscono
un sottospazio vettoriale di R3 , determinandone una base.
2. Determinare ple soluzioni dell’equazione complessa
3
exp(z) = 12
2 i.
Determinare poi, tra le soluzioni, quelle tali che z n è reale.
3. Si consideri la super…cie Q di equazione x2 + y 2 + 2xy + y z = 0 e la
sua sezione con il piano : x + z = 0.
a) Si classi…chi Q.
b) Si classi…chi precisando la posizione di rispetto a Q.
c) Si determini l’equazione cartesiana del cilindro Q0 avente come direttrice
0
, sezione di Q con : y = 1 e generatrici parallele al vettore d = t (1; 1; 0).
d) Quali sono le possibili sezioni piane di Q0 ?
4. Si0
considerino le matrici1
1+k k
1
A.
k
0
A=@ 0
1 k
k 1
a) Studiarne diagonalizzabilità e triangolabilità al variare del parametro.
b) Determinare i valori di k per cui esiste una matrice ortogonale Q tale che
t
QAQ sia diagonale e determinare in corrispondenza una matrice Q con tale
proprietà.
5. Si consideri il fascio di coniche generato da
2
x = 0,
1 :y
:
xy
3y + 2 = 0.
2
a) Classi…care 1 e 2 .
b) Determinare i punti base (propri ed impropri) del fascio.
c) Studiare il fascio.
d) Determinare un’eventuale iperbole del fascio avente un asintoto parallelo
alla retta
r : 2x 3y = 0.
1
Esempio di svolgimento.
1.
8 Al variare dei parametri studiare il sistema
< x y + (h 2) z = h + 1
hx + y z = 0
.
:
(h 2) x + 3y (2h + 1) z = k h
Determinare poi i valori di h e k per cui le soluzioni del sistema costiuiscono
un sottospazio vettoriale di R3 , determinandone una base.
La
0 matrice dei coe¢ cienti è1
1
1
h 2
@ h
A,
1
1
h 2 3
(2h + 1)
il cui determinante vale 4 (h + 1); dunque per h 6= 1 il sistema ammette
un’unica soluzione.
Per h = 1 la matrice
1 0dei coe¢ cienti e la matrice
1 completa sono
0
1
1
1
2
1
1
1
@ 1
1
1
0 A.
1
1 A, @ 1
1 3
1 k+1
1 3
1
La prima ha caratteristica 2, e la seconda ha caratteristica 2 quando si annulla
il determinante
di
1
0
1
1
2
@ 1
1
0 A,
1 3 k+1
ovvero per k = 5:
Dunque per h = 1 e k 6= 5 il sistema non ammette alcuna soluzione,
mentre per h = 1 e k = 5 il sistema ammette 11 soluzioni.
Le soluzioni di un sistema in n incognite costituiscono un sottospazio vettoriale di Kn solo quando il sistema è omogeneo; deve pertanto essere h = k = 1.
Il sistema
diviene allora
8
< x y z=0
x+y z =0
,
:
x + 3y 3z = 0
che sappiamo già ammettere un’unica soluzione, dunque quella nulla. Lo spazio
delle soluzioni pertanto non ammette alcuna base (meglio, ha per base l’insieme
vuoto).
2. Determinare ple soluzioni dell’equazione complessa
3
exp(z) = 12
2 i.
Determinare poi, tra le soluzioni, quelle tali che z n è reale.
1
2
p
3
2 i
ha modulo 1 e argomento 34 . Ne segue
z=
+ 2k i
(k 2 Z).
Un numero complesso è reale solo se il suo argomento (de…nito a meno di
multipli di 2 ) è un multiplo intero di . Poiché l’argomento delle soluzioni è
2 , occorre, qualunque sia k, che n sia pari (e positivo).
2
3
2
3. Si consideri la super…cie Q di equazione x2 + y 2 + 2xy + y z = 0 e la
sua sezione con il piano : x + z = 0.
a) Si classi…chi Q.
b) Si classi…chi precisando la posizione di rispetto a Q.
c) Si determini l’equazione cartesiana del cilindro Q0 avente come direttrice
0
, sezione di Q con : y = 1 e generatrici parallele al vettore d = t (1; 1; 0).
d) Quali sono le possibili sezioni piane di Q0 ?
a)
1 quadrica. La matrice associata è
0 Q è ovviamente una
1 1
0
0
1 C
B 1 1
0
2 C.
B
1 A
@ 0 0
0
2
1
1
0 2
2
e è 3, la caratteristica di A è 1, e dunque si tratta di
La caratteristica di A
un cilindro parabolico.
b) L’espressione di può scriversi
x+z =0
;
2
(x + y) + x + y = 0
è dunque costituita da due rette parallele, ed il piano è pertanto parallelo
alla direzione delle generatrici del cilindro, che hanno direzione (1; 1; 1).
c) La sezione di Q con ha espressione
y=1
;
x2 + 2x z + 2 = 0
è una parabola ed il cilindro Q0 è anch’esso parabolico.
0
Un
8 punto (x; y; z) appartiene a Q se esiste un punto (a; b; c) tale che
b=1
>
>
>
>
< a2 + 2a c + 2 = 0
x=a+t
,
t=1 y
a=x+y 1
>
>
> y=b t
>
:
z=c
da cui si ricava l’equazione di Q0 :
2
(x + y 1) + 2(x + y 1) z + 2 = 0.
d) Le possibili sezioni piane di Q0 sono delle parabole (se il piano non è
parallelo alle generatrici) o (seil piano è parallelo alle generatrici) delle coppie
di rette parallele, eventualmente coincidenti o immaginarie.
4. Si0
considerino le matrici1
1+k k
1
A.
k
0
A=@ 0
1 k
k 1
a) Studiarne diagonalizzabilità e triangolabilità al variare del parametro.
3
b) Determinare i valori di k per cui esiste una matrice ortogonale Q tale che
QAQ sia diagonale e determinare in corrispondenza una matrice Q con tale
proprietà.
t
a) Il polinomio caratteristico è
(k
) [(1 + k
)( 1 k
) 1] = 0,
ovvero
h
i
2
(k
) 2 (1 + k)
1 = 0,
e le radici caratteristiche
sono
q
2
(k
+
1) + 1
=
k;
=
1
2;3
La matrice è pertanto triangolabile per ogni valore di k, ed è certamente
diagonalizzabile per
k 2 6= k 2 + 2k + 2,
cioè per k 6= 1.
Per
con molteplicità doppia è 1; la matrice A + I è
1
0 k = 1 l’autovalore
1
1
1
@ 0
0
0 A,
1
1 1
la cui caratteristica è 2; pertanto per k = 1 la matrice non è diagonalizzabile.
b) I valori di k per cui esiste una matrice ortogonale Q tale che t QAQ sia
diagonale sono tutti e soli quelli per cui A è simmetrica. Deve dunque essere
k =00 e la matrice diventa
1
1 0
1
@ 0 0 0 A,
1 0
1
p
2.
i cui autovalori sono 0;
p
p
Autovettori relativi sono i vettori t (0; 1; 0) ;t 1; 0; 1
2 ; 1; 0; 1 + 2 .
Normalizzandolied a¢ ancandoli
essi vanno a formare la matrice cercata:
0
1
p 1p
0 p 1 p
4 2 2
4+2 2 C
B
B 1
C.
0p
0p
@
A
1
2
1+ 2
p
p
0
p
p
4 2 2
4+2 2
5. Si consideri il fascio di coniche generato da
2
x = 0,
1 :y
3y + 2 = 0.
2 : xy
a) Classi…care 1 e 2 .
b) Determinare i punti base (propri ed impropri) del fascio.
c) Studiare il fascio.
d) Determinare un’eventuale iperbole del fascio avente un asintoto parallelo
alla retta
r : 2x 3y = 0.
a) La prima è una parabola, la seconda un’iperbole equilatera.
4
b) Per i punti propri comuni deve essere x = y 2 e quindi y 3 3y + 2 = 0,
ovvero
y 3 y 2y + 2 = y (y + 1) (y 1) 2 (y 1) = (y 1) y 2 + y 2 = 0,
da cui si ricava
y = 1; y = 2.
I punti propri comuni sono pertanto (1; 1) e (4; 2).
I punti impropri comuni sono i punti (x; y; t) che veri…cano
y2 = 0
;
xy = 0
si ha pertanto l’unico punto improprio (1; 0; 0).
c) L’equazione del fascio è
2xy 6y + 4 + 2 y 2 x = 0,
a cui
1
0 è associata la matrice
0
1
@ 1
2
3 A.
3 4
La conica del fascio è pertanto degenere per = 1; 2; dovendo passare per
i punti comuni, le coniche corrispondenti sono due coppie di rette incidenti.
Le altre coniche del fascio (esclusa la parabola "all’in…nito") sono tutte delle
iperboli.
d) L’iperbole cercata deve passare per il punto improprio (3; 2; 0) e deve
quindi veri…care
12 + 8 = 0,
ed ha quindi equazione
2 (2xy 6y + 4) 6 y 2 x = 4xy 6y 2 + 6x 12y + 8 = 0.
5

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