Masculinités : Enjeux sociaux de l`hégémonie

Numero dei polinomi irriducibili a coefficienti in un campo finito
Maurizio Cornalba
3/5/2014
Sia q = ph , dove p `e un numero primo e h `e un intero positivo. Indichiamo con µ la funzione di
M¨obius:

se m = 1
 1
k
µ(m) =
(−1)
se m `e prodotto di k primi distinti

0
altrimenti
Vogliamo dimostrare il seguente risultato, dovuto a Gauss.
Teorema 1. Il numero dei polinomi monici irriducibili di grado n a coefficienti in Fq `e
1 X n d
µ
q
n d
dn
Sia P un polinomio monico irriducibile di grado n e sia α una sua radice. Allora Fq [α] ha grado
n su Fq e quindi `e isomorfo a Fqn . Poich´e Fqn `e una estensione galoisiana di Fq ne segue che P
ha n radici distinte in Fqn . Osserviamo anche che se due polinomi monici irriducibili hanno una
radice comune essi coincidono, per l’unicit`
a del polinomio minimo. Dunque il numero che dobbiamo
calcolare `e
1
Rn
n
dove Rn `e il numero degli elementi di Fqn che hanno grado n su Fq . In altre parole
[
Rn = # Fqn r
K
K sottocampo
proprio di Fq n
Q
Scriviamo n = `i=1 pei i , dove p1 , . . . , p` sono primi distinti. Notiamo che i sottocampi di Fqn
contenenti Fq sono quelli della forma Fq(n/d) , dove d `e un divisore di n, e che tra questi i sottocampi
propri massimali sono i campi Fi = Fq(n/pi ) . Dunque
`
[
Rn = # Fqn r
Fi
(1)
i=1
Per calcolare la cardinalit`
a dell’unione degli Fi useremo un risultato combinatorio classico. Siano
X1 , . . . , X` insiemi finiti. Se i1 , . . . , is ∈ {1, . . . , `} poniamo Xi1 ... is = Xi1 ∩ Xi2 ∩ · · · ∩ Xis . Il
risultato di cui faremo uso `e il seguente
Lemma 1.
#
`
[
i=1
`
X
Xi =
(−1)s−1
X
s=1
i1 <i2 <···<is
#(Xi1
... is )
Dimostrazione. Ragioniamo per induzione su `. Se ` = 2 l’enunciato si riduce a #(X1 ∪ X2 ) =
#(X1 ) + #(X2 ) − #(X1 ∩ X2 ). Se supponiamo il risultato dimostrato per unioni di meno di `
insiemi possiamo scrivere
#
`
[
`−1
`−1
[ [ Xi = #
Xi + #(X` ) − #
Xi ∩ X`
i=1
i=1
=
`−1
X
i=1
(−1)
s=1
=
`−1
X
=
`
X
#(Xi1
... is )
+ #(X` ) − #
X
(−1)s−1
`−1
[
Xi ∩ X`
i=1
i1 <···<is <`
s=1
−
X
s−1
#(Xi1
... is )
+ #(X` )
i1 <···<is <`
`−1
X
X
(−1)s−1
#(Xi1
s=1
i1 <···<is <`
(−1)s−1
X
s=1
#(Xi1
... is ` )
... is )
i1 <i2 <···<is
Applichiamo il lemma appena dimostrato alla (1) osservando che, quando i1 , . . . , is sono distinti,
Fi1
Si ottiene
... is
= Fi1 ∩ Fi2 ∩ · · · ∩ Fis = F
q
`
X
Rn = q +
(−1)s
X
n
s=1
= qn +
`
X
i1 <···<is
s=1
= qn +
X
(−1)s
`
X
# F
n
pi ···pis
1
n
p ···p
q i1 is
n
q pi1 ···pis
i1 <···<is
X
n
µ(pi1 · · · pis )q pi1 ···pis
s=1 i1 <···<is
n
pi1 ···pis
Ponendo
= d e ricordando che µ(m) = 0 quando nella fattorizzazione di m vi sono primi
ripetuti, ci`o equivale a
n
X
X n
Rn = q n +
µ
µ
qd =
qd
d
d
dn,d6=n
dn
che `e quanto andava dimostrato.

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