Esercizi per il corso di Algebra 2 Foglio 4

Esercizi per il corso di Algebra 2
Foglio 4
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Esercizi da consegnare
1. Sia K un campo e I ⊂ K[x1 , . . . , xm ] un ideale. Dimostrare che K[x1 , . . . , xn ]/I
`e un anello di tipo finito su K.
2. Sia I ⊂ R[x] un ideale e f ∈ R[x]. Determinare in quali, tra i casi seguenti,
si ha che f ∈ I:
(a) f (x) = x2 − 3x + 2, I = (x − 2);
(b) f (x) = x5 − 4x + 1, I = (x3 − x2 + x);
(c) f (x) = x2 − 4x + 4, I = (x4 − 6x2 + 12x − 8, 2x3 − 10x2 + 16x − 8);
(d) f (x) = x3 − 1, I = (x9 − 1, x5 + x3 − x2 − 1);
3. Mostrare che lex e grlex sono ordini monomiali.
4. Calcolare il resto della divisione di un dato polinomio f per un insieme
ordinato F nei casi seguenti. Calcolarlo sia con lex che con glrex.
• f = x7 y 2 + x3 y 2 − y + 1, F = (xy 2 − x, x − y 3 );
• f = xy 2 z 2 + xy − yz, F = (x − y 2 , y − z 3 , z 2 − 1).
Ripetere l’esercizio con i polinomi di F permutati ciclicamente.
5. Sia I ⊂ K[x1 , . . . , xn ] un ideale, mostrare che G = {g1 , . . . , gs } ⊂ I `e una
base di Groebner per I se e solo se il leading term di ogni elemento di I `e
divisibile per uno dei LT (gi ).
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Altri esercizi
1. Sia K un campo e I ⊂ K[x1 , . . . , xm ] un ideale. Dimostrare che ogni ideale
di K[x1 , . . . , xn ]/I `e finitamente generato. (Suggerimento: Dimostrare che
gli ideali di K[x1 , . . . , xn ]/I sono in corrispondenza biunivoca con gli ideali
di K[x1 , . . . , xn ] contenenti I.)
2. Si definisca l’ordine lessicografico inverso (o invlex) nel modo seguente:
per α, β ∈ Zn≥0 , α >invlex β se e solo se, in α − β la prima entrata non
nulla da destra `e positiva. Mostrare che invlex `e un ordine monomiale e
che `e equivalente a lex dopo una permutazione delle variabili (quale?).
3. Sia > un ordine monomiale su K[x1 , . . . , xn ].
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• Sia f ∈ K[x1 , . . . , xn ] e sia m un monomio. Mostrare che LT (m·f ) =
mLT (f ).
` sempre vero che LT (f · g) = LT (f ) ·
• Siano f, g ∈ K[x1 , . . . , xn ]. E
LT (g)?
4. Siano f = x3 − x2 y − x2 z + x, f1 = x2 y − z, f2 = xy − 1 ∈ R[x, y, z].
• Si considerino r1 il resto della divisione di f per (f1 , f2 ) (coppia
ordinata) e r2 il resto della divisione di f per (f2 , f1 ). Mostare che
r1 6= r2 . In quale punto dell’algoritmo della divisione interviene la
differenza?
• Dire se r = r1 − r2 appartiene all’ideale (f1 , f2 ). Se s`ı, trovare una
espressione esplicita per r = Af1 + Bf2 . Se no, dire perch´e.
• Trovare un altro polinomio g ∈ (f1 , f2 ) tale che il resto della divisione
di g per (f1 , f2 ) sia non nullo. (Suggerimento: (xy +1)·f2 = x2 y 2 −1,
mentre y · f1 = x2 y 2 − yz.)
• In questo caso, l’algoritmo della divisione fornisce una risposta certa
riguardo l’appartenenza di un polinomio a (f1 , f2 )? Motivare la
risposta.
5. Sia I = (x6 , x2 y 3 , xy 7 ) ⊂ K[x, y].
• Disegnare nel piano (m, n), l’insieme dei vettori (m, n) esponenti dei
monomi xm y n che appaiono negli elementi di I.
• Se applichiamo l’algoritmo della divisione a un elemento f ∈ K[x, y],
usando i generatori di I come divisori, quali termini possono apparire
nel resto?
6. Sia I = (x3 y 6 , x5 y 4 , x6 ) ⊂ K[x, y].
• Disegnare nel piano (m, n), l’insieme dei vettori (m, n) esponenti dei
monomi xm y n che appaiono negli elementi di I.
• La base con cui abbiamo definito I `e minimale o uno o pi`
u tra i
generatori forniti `e superfluo per generare I?
7. Una base {xα(1) , . . . , xα(s) } per un ideale monomiale si dice minimale se
nessuno degli xα(i) nella base divide un altro xα(j) con i 6= j. Mostrare
che ogni ideale monomiale ammettte una unica base minimale.
8. Sia I = (g1 , g2 , g3 ) ⊂ R[x, y, z] dove g1 = xy 2 − xy + y, g2 = xy − z 2
e g3 = x − yz 4 . Usando l’ordine lessicografico, dare un esempio di un
polinomio g ∈ I tale che LT (g) ∈
/ (LT (g1 ), LT (g2 ), LT (g3 )).
9. (Generalizzazione dell’esercizio precedente.) Supponiamo che I = (f1 , . . . , fs )
sia un ideale tale che (LT (f1 ), . . . , LT (fs )) sia strettamente pi`
u piccolo
di (LT (I)). Mostrare che esiste almeno un f ∈ I il cui resto della divisione per f1 , . . . , fs non `e zero. (Suggerimento: Mostrare prima che
LT (f ) ∈
/ (LT (f1 ), . . . , LT (fs )) per qualche f ∈ I).
10. Usando grlex con x > y > z, dire se l’insieme {x4 y 2 − z 5 , x3 y 3 − 1, x2 y 4 −
2z} `e una base di Groebner per l’ideale generato dai suoi polinomi e giustificare la risposta.
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11. Sia I ⊂ K[x1 , . . . , xn ] un ideale principale. Mostrare che ogni sottoisieme
finito di I contenente un generatore di I `e una base di Groebner per I.
12. Sia f ∈ K[x1 , . . . , xn ]. Mostrare che se f ∈
/ (x1 , . . . , xn ) allora (x1 , . . . , xn , f ) =
K[x1 , . . . , xn ].
13. Sia I = (x2 − y, y + x2 − 4) ⊂ C[x, y]. Mostrare che I = (x2√− y, x2 − 2).
Usando quanto appena mostrato, verificare che V (I) = {(± 2, 2)}.
14. Siano G, G0 due basi di Groebner diverse per il medesimo ideale I ⊂
K[x1 , . . . , xn ]. Sia f ∈ K[x1 , . . . , xn ] un qualunque polinomio. Mostrare
che il resto della divisione di f per G `e uguale al resto della divisione di f
per G0 .
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