PORTFOLIO THEORY Prof. Zambruno — Prova di

PORTFOLIO THEORY
Prof. Zambruno — Prova di accertamento 16/06/2014
1. Si consideri la matrice


5 −1 −1
A =  −1 5 −1 
−1 −1 5
(a) Veriﬁcare se essa ammette un autovettore la cui prima componente è 0, e in tal
caso determinarlo insieme all’autovalore associato.
(b) Calcolare gli altri autovalori, e le loro rispettive molteplicità algebriche e geometriche
(c) Stabilire il carattere della matrice con entrambi i metodi
(d) Supponendo che A rappresenti una matrice di varianze-covarianze, calcolare la
varianza di un portafoglio equiripartito (equally-weighted portfolio).
2. Si consideri la regione di piano deﬁnita dalle disuguaglianze
(x + 1)2 + y 2 ≥ 1
x2 + y 2 ≤ 2
(a) rappresentare graﬁcamente tale regione ammissibile
(b) determinare ivi gli estremanti della funzione F (x, y) = x
(c) dopo aver scritto il sistema completo
di Kuhn—Tucker, mostrare che esso non ha
√
soluzione nel punto x = 0, y = 2 e veriﬁcare se esso individua il massimo della
funzione obiettivo
√
(d) nello stesso punto x = 0, y = 2 indicare le direzioni ammissibili e dimostrare
mediante queste la non ottimalità del punto.
3. Una lotteria oﬀre, con uguali probabilità, vincite di importo X e Y . Si sa che il valore
atteso della vincità è 17 mentre
il suo equivalente di certezza, valutato secondo la
√
funzione di utilità u(w) = w vale 16.
√
(a) Calcolare
i
valori
di
X
e
Y
(suggerimento:
lavorare
con
le
incognite
x
=
X e
√
y = Y)
(b) Valutare il premio di rischio e approssimarlo con la formula opportuna.
1
SOLUZIONI
Es. 1
Bisogna risolvere il sistema


 
 
5 −1 −1
0
0
 −y − z = 0
 −1 5 −1   y  = λ  y  =⇒
5y − z = λy

−1 −1 5
z
z
−y + 5z = λz
da cui λ = 6 (si eclude infatti per deﬁnizione il caso che sia y = z = 0), e y = −z cioè ad es.
con y = 1 arbitrariamente si ottiene un autovettore:
x = 0 1 −1
L’equazione caratteristica risulta:


5 − λ −1
−1
det  −1 5 − λ −1  = −λ3 + 15λ2 − 72λ + 108 = 0
−1
−1 5 − λ
Mediante la regola di Ruﬃni si divide per il binomio (x − 6) ottenendo alla ﬁne la fattorizzazione
(x − 3) (x − 6)2 = 0
da cui si ottengono gli autovalori 3 (molt. alg. = 1) e 6 (molt. alg. = 2)
Per quanto riguarda la molteplicità geometrica, questa è 1 per λ = 3, mentre per λ = 6 la
matrice A − 6I vale


−1 −1 −1
 −1 −1 −1 
−1 −1 −1
che ha evidentemente rango 1. Pertanto la moltiplicità geometrica vale 2.
La varianza del portafoglio si ottiene esplicitando la forma quadratica associata:
5 x2 + y 2 + z 2 − 2 (xy + yz + xz)
e per un portafoglio equiripartito x = y = z =
1
3
si ottiene σ = 1.
Es. 2
y
2
1
0
-2
-1
0
1
2
x
-1
-2
2
L’insieme ammissibile è costituito dai punti interni e di frontiera nella "mezzaluna". La
funzione obiettivo è rappresentata da un fascio di rette verticali, crescenti verso destra.
Pertanto è chiaramente visibile che
√ l’obiettivo assume il minimo valore nei due punti [−1, 1]
e [−1, −1], e il suo massimo in
2, 0 .
Lagrangiana:
$ (x, y, λ, µ) = x − λ (x + 1)2 + y 2 − 1 − µ x2 + y 2 − 2
(nota sui segni dei moltiplicatori: se cerco il max della funzione obiettivo, richiedo λ ≤ 0 e
µ ≥ 0 a causa dei versi dei vincoli, e analogamente per gli altri casi).
Sistema di Kuhn—Tucker:

∂$

= 1 − λ (2x + 2) − µ (2x) = 0

∂x

∂$


= −λ (2y) − µ (2y) = 0

∂y


∂$
= (x + 1)2 + y 2 − 1 ≥ 0
∂λ
∂$
= x2 + y 2 − 2 ≤ 0


∂µ



λ · (x + 1)2 + y 2 − 1 = 0



µ · [x2 + y 2 − 2] = 0
√
√ −1
Nel punto
2, 0 il sistema fornisce la soluzione λ = 0, µ = 2 2
in conformità al fatto
che il punto è √
di massimo.
Nel punto 0, 2 le prime due equazioni sono incompatibili, pertanto il sistema di Kuhn—
Tucker non ammette soluzioni.
Nello stesso punto, le direzioni ammissibili riferite all’unico vincolo attivo sono:
√
h
h
2x 2y [0,√2]
≤ 0 =⇒ k ≤ 0, h qualsiasi
= 0 2 2
k
k
La variazione della funzione obiettivo è esattamente h, quindi essa può crescere o decrescere
a seconda del segno di h, che non è vincolato. Quindi non si può trattare di un punto
estremante.
Es. 3
Le condizioni del problema danno luogo alle seguenti relazioni:
1
X + 12√Y = 17
2
√
√
=⇒
1
X + 12 Y = 16
2
x2 + y 2 = 34
=⇒
x+y =8
x=3
=⇒
y=5
X=9
Y = 25
Il premio di rischio vale 1. Per approssimarlo con la nota formula occorre valutare la varianza
della vincita aleatoria:
σ 2 = 12 (9 − 17)2 + (25 − 17)2 = 64
e le derivate della funzione di utilità:
1
√ = 0.121
2 17
1
u′′ (17) = − √
= −0.0035
4 173
u′ (17) =
Pertanto
RP = −
1 u′′ 2
1 −0.0035
σ =− ×
× 64 = 0.925
′
2u
2
0.121
3

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