Per Disinfestazione: 31 Marzo 2015

IDENTIFICAZIONE DEI MODELLI E ANALISI DEI DATI 2 (Prof. S. Bittanti)
Ingegneria Informatica – 5 CFU. Appello 11 Settembre 2014
Cognome
Nome
Matricola
....................................................
....................................................
....................................................
Verificare che il fascicolo sia costituito da 4 pagine.
La chiarezza e precisione
nelle risposte saranno
oggetto di valutazione
Scrivere le risposte ai singoli esercizi negli spazi che seguono ogni domanda.
Non consegnare fogli addizionali. Non scrivere sul retro.
Non si possono consultare libri, appunti, dispense etc.
Esercizio
1
2
3
4
Voto
======================================================================================================================
1. Si ha il sistema con due variabili di stato:
e variabile d’uscita:
Dove
e
1.1 Scrivere la matrice dinamica
sono processi bianchi tra loro incorrelati.
, la matrice dell’uscita
e la matrice di varianza
del vettore dei disturbi
.
1.2 Dire se
e
sono processi stazionari
Non sono processi stazionari
1.3 Si considerino due casi:
A)
(ossia il caso in cui si misura solo
)
B)
(ossia il caso in cui si misura solo
)
Ai fini della stima del vettore di stato, quale delle due è la scelta più appropriata?
Matrice di osservabilità:
A)
B)
Meglio il caso B perché sistema è osservabile (oltre che raggiungibile), quindi la convergenza è garantita.
1
1.4 Per la scelta fatta al punto precedente, si imposti il problema di stima dello stato, scrivendo l’equazione di Riccati
nell’incognita
e disegnando lo schema a blocchi del predittore a un passo.
1.5 Qual è il significato degli elementi
e
Varianza dell’errore di predizione a un passo di
di
?
e
, rispettivamente
1.6 Per la scelta fatta al punto 2.3, si dica se la matrice
convergenza
converge o meno quando
, come di determina
Sì perché valgono le condizioni del secondo teorema di convergenza:

La coppia
è osservabile

La coppia
è raggiungibile (
)
è la soluzione semi definita positiva dell’equazione algebrica di Riccati:
Sostituendo e svolgendo i conti si arriva all’equazione matriciale:
Che equivale a risolvere il sistema:
Svolgendo i calcoli si trova:
2
. Nel caso si abbia
2. Si consideri il sistema
,
Dove
Si noti che il ritardo
prossimo ad un segnale di riferimento costante
con
è pari a 2. Si vuole progettare il controllore volto a imporre che
sia
minimizzando
.
2.1 Si determini il controllore ottimo a minima varianza (
) e si disegni il corrispondente schema a blocchi. Il
controllore ottenuto è stabile?
Modello ARMAX



Lunga divisione a due passi della parte ARMA
:


Schema a blocchi del sistema in anello chiuso:
Polinomio caratteristico del sistema in anello chiuso:
Il sistema in anello chiuso è stabile.
2.2 Si consideri poi il caso
(controllo penalizzato). Si disegni nel piano complesso il luogo descritto dai poli del
corrispondente sistema di controllo. Per quali valori di
il sistema è stabile?
Rispetto al controllore progettato al punto precedente, si sostituisce il blocco:
3
Con il blocco:
Polinomio caratteristico del sistema in anello chiuso:
1
0.8
0.6
0.4
Im(z)
0.2
 =0
 =
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
Re(z)
0.5
1
Luogo dei poli in anello chiuso:
3.
3.1 Data una variabile casuale incognita
formula di Bayes per la stima di
a valor medio nullo e una variabile casuale
a valor medio nullo, ricavare la
dato .
3.2 Dire come cambia la formula di cui sopra quando entrambe le variabili hanno valor medio non nullo.
3.3 Dire come diventa la formula quando
è scalare ma
è un vettore di due variabili casuali a valor medio
nullo.
4. Si consideri il seguente schema in retroazione:
dove
ed
. Calcolare il valore di
che minimizza la cifra di merito
4
L’equazione alle differenze del processo
La cifra di merito
è:
vale:
Minimizziamo la cifra di merito uguagliando a zero la sua derivata prima:
Studiamo il numeratore (il denominatore è sempre positivo):
Il numeratore si annulla per:

(punto di minimo)

(punto di massimo)

(punto di minimo)
Il punto di minimo globale corrisponde a
, tuttavia bisogna notare che con questa scelta il sistema in anello
chiuso è instabile. Infatti la funzione di trasferimento da
La scelta corretta è quindi
da
a
a
ha un polo con modulo maggiore dell’unità:
, che rende il sistema in anello chiuso stabile. Infatti la funzione di trasferimento
ha un polo con modulo minore dell’unità:
5

Download Report