polinomi e numeri complessi

1
Esercizi di EML (con soluzioni),
C.S. in Informatica, a.a.2014-2015.
Polinomi
Es. 1. In Q[X] calcolare quoziente e resto della divisione di f (X) = 2X 4 +X 2 −X +1 per g(X) = 2X +1 .
√
√
Es. 2. In R[X] qual’`e il resto della divisione di X 3 − 2X + 1 per X − 3 ? Qual’`e il grado del quoziente?
Es. 3. In Q[X] il polinomio f (X) = X 3 − 2X 2 + 1 `e divisibile per X − 3 ?
Es. 4. In Q[X] siano a(X) = X 5 + 2X 4 + X 3 + X + 1 e b(X) = X 3 − X . Calcolare, usando l’algoritmo
euclideo, il massimo comun divisore di a(X) e b(X) e scrivere l’identit`a di Bezout.
Es. 5. Dati A[X] e due polinomi a(X), b(X) ∈ A[X] come specificato sotto, in A[X] si calcoli d(X) =
MCD(a(X), b(X)) e si determinino due polinomi f (X), g(X) ∈ A[X] tali che d(X) = a(X) f (X) +
b(X) g(X) .
A
f (X)
g(X)
1)
Q[X]
X8 − 1
X6 − 1
2)
Q[X]
X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1
2X 3 − 3X 2 + 2X + 2
3)
Q[X]
2X 4 − X 3 + X 2 + 3X + 1
X 3 + 2X 2 + 2X + 1
4)
C[X]
X 10 + 7X 5
2X 7 + 4X
5)
Q[X]
X 5 + 2X 3 + X 2 + X + 1
X4 − 1
6)
R[X]
X4 + X3 − X2 + X + 2
X 3 + 2X 2 + 2X + 1
Es. 6. In R[X] , calcolare il MCD di f (X) = X 2 − 1 e g(X) = X 157 + X 48 .
(si consiglia di non usare l’algoritmo euclideo.)
Es. 7. In R[X] siano f (X) = X 4 + 6X − 1 e g(X) = X 2 − 1 .
Calcolare MCD(f (X), g(X)) e mcm(f (X), g(X)) .
Numeri complessi
Es. 8. Scrivere i seguenti numeri complessi z nella forma a + b i e dire qual’`e la loro parte reale Re(z) , la
loro parte immaginaria Im(z) , il loro modulo | z | e il loro coniugato z .
√
√
√
√
4+i 3
1
1
√ ,
√ ,
( 2 + i)7 ,
(i 2 − i 3)3 ,
,
5
i(1 − i)
5+i 3
2
2i − 1 .
Es. 9. Siano z = −2 + 3 i , w = 3 − 5 i . Calcolare z + w , z − w , zw , z/w e, per ciascuno di essi, scrivere
il coniugato e il modulo.
Es. 10. Calcolare il modulo dei numeri complessi:
2
(4 + 3i)2 (cos 3 + i sin 3)45 .
(1 + 3i)(cos 7 + i sin 7);
Es. 11. Provare che: x, y ∈ C , x y ∈ R =⇒ yx ∈ R .
Es. 12. Sia z ∈ C . Provare che se z = | z | allora z = z . E’ vero il viceversa?
Es. 13. Determinare tutti i numeri complessi z di modulo 1 tali che (1 + 3 i)z ∈ R .
Es. 14. Determinare tutti i numeri complessi z tali che i z 3 ∈ R .
Es. 15. Determinare parte reale, parte immaginaria, modulo e argomento dei seguenti numeri complessi
z1 = (1 +
√
3 i)4 (cos(2π/5) + i sin(2π/5));
z2 =
(2 + 2 i)7
√
;
(−1 + 3 i)9
z3 = (4 − 4 i)2 (cos(π/9) + i sin(π/9))45
Es. 16. Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi:
2 + 2 i,
√
3 − i,
−4,
sin(π/4) − i cos(π/4),
−3 i,
1,
3 + 2 i,
cos(π) + i sin(π/2),
− cos(π/3) + i sin(π/3),
2 + i + 2 i2 − i3
.
1−i
1
1
−
,
2+i 2−i
Es. 17. Sia z = −1 + i , scrivere in forma trigonometrica i numeri complessi
z,
Es. 18. Calcolare z = (1 −
−z,
√
2z,
z,
z − z,
1/z,
(z + 1)2 ,
iz,
z 100 .
3 i)50 .
Es. 19. Determinare modulo e argomento del numero complesso
(1 + i)5
√
.
(1 − 3i)25
Es. 20. Calcolare:
(a) le radici seste di 1;
(c) le radici quinte di i;
√
2 − 2 3i
;
(e) le radici quinte di
−3 − 3i
(b) le radici quarte di −3i;
3
1+i
(d) le radici cubiche di
;
1−i
−3 − 3i
√ .
(f) le radici quinte di
2 − 2 3i
Es. 21. Determinare tutte le soluzioni complesse dell’equazione (X + 4)3 = −8i .
3
Soluzione di alcuni esercizi
Soluzione di alcuni esercizi
Es. 1
2X 4
+ X2 − X + 1
4
2X + X
2X + 1
3
X 3 − 21 X 2 + 34 X −
7
8
− X3 + X2 − X + 1
− X 3 − 12 X 2
3 2
2X
3 2
2X
−X +1
+ 34 X
− 74 X + 1
− 74 X −
7
8
15
8
Quindi in Q[X] si ha: 2X 4 + X 2 − X + 1 = (2X + 1)(X 3 − 12 X 2 + 34 X − 78 ) +
15
8
.
J
Es. 3 Il resto della divisione di f (X) per X − 3 `e f (3) = 34 − 2 · 32 + 1 = 10 , quindi X − 3 non divide
f (X) in Q[X] .
J
Es. 4 Si ha (algoritmo euclideo):
a(X) = b(X) (X 2 + 2X + 2) + (2X 2 + 3X + 1) ;
b(X) = (2X 2 + 3X + 1) ( 12 X − 34 ) + ( 34 X + 43 )
2X 2 + 3X + 1 = ( 34 X + 34 ) ( 83 X + 43 )
quindi (a meno di elementi invertibili) MCD(a(X), b(X)) = X + 1 e si ha
4 3
3
4
1
3
2
X +1=
X+
=
b(X) − (2X + 3X + 1)( X − )
3 4
4
3
2
4
1
3
4
b(X) − [a(X) − b(X)(X 2 + 2X + 2)]( X − )
=
3
2
4
4 1
3
4
1
3
= − ( X − ) a(X) +
(1 − (X 2 + 2X + 2)( X − ) b(X)
3 2
4
3
2
4
J
Es. 5 1) X 8 − 1 = X 2 (X 6 − 1) + (X 2 − 1) e X 6 − 1 = (X 2 − 1)(X 4 + X2 + 1) , quindi
MCD(X 8 − 1, X 6 − 1) = X 2 − 1
e
X 2 − 1 = a(X) · 1 − b(X) · X 2
2) Si ha a(X) = b(X) (X + 1) + 2(X 2 + X + 1) ; essendo 2 invertibile in Q[X] al passo successivo possiamo
dividere b(X) per X 2 + X + 1 invece che per 2(X 2 + X + 1) , cos`ı si ha b(X) = (X 2 + X + 1)(X − 1) ;
quindi MCD(a(X), b(X)) = X 2 + X + 1 e
1
1
X 2 + X + 1 = a(X) · ( ) + b(X) · ( (X + 1))
2
2
3) Si ha a(X) = b(X) (X +1)+(2X 2 −X −1) , b(X) = (2X 2 −X −1)(X −1)+(2X +1) ,
(2X + 1)(X − 1) ; quindi MCD(a(X), b(X)) = X +
X+
1
2
= 21 (2X + 1)
=
=
=
1
2
1
2
1
2
1
2
e
b(X) − (2X 2 − X − 1)(X − 1)
(b(X) − [a(X) − b(X)(X + 1)](X − 1))
b(X) + (X 2 − 1)b(X) − a(X)(X − 1)
= a(X) · 21 (1 − X) + b(X) · 12 X 2
2X 2 −X −1 =
4
Soluzione di alcuni esercizi
J
Es. 6 Si ha f (X) = (X − 1)(X + 1) , g(1) = 2 e g(−1) = 0 ; quindi g(X) `e divisibile per X + 1 ma non
per X − 1 . Ne segue che MCD(f (X), g(X)) = X + 1 . P
J
Es. 8 Si ha
√
√
√
√
√
4+i 3
3
4+i 3 5−i 3
23 + i 3
23
√ =
√ ·
√ =
=
+i
z1 =
28
28
28
5+i 3
5+i 3 5−i 3
Quindi
Re(z1 ) = 23/28 ,
√
Im(z1 ) =
√
3/28 , | z1 | =
q
p
√
√
(23/28)2 + ( 3/28)2 = 532/(28)2 = 2 133/28 , z1 =
− i 283 .
√
√
√
√
√
√
( 2 + i)2 = 2 − 1 + 2 2 i = 1 + 2 2 i ,
( 2 + i)4 = (1 + 2 2 i)2 = −7 + 4 2 i ,
√
√
√
√
√
√
( 2 + i)3 = ( 2 + i)(1 + 2 2 i)2 = ( 2 + i)(1 + 2 2 i) = − 2 + 5 i ,
√
√
√
√
z2 = ( 2 + i)7 = (−7 + 4 2 i)(− 2 + 5 i) = −13 2 − 43 i .
23
28
Quindi
q √
√
√
√
√
Re(z2 ) = −13 2 , Im(z2 ) = −43 , | z2 | = (13 2)2 + (43)2 = 2187 = 27 3 , z2 = −13 2 + i 43 .
Si ha (1 − i)2 = 1 − 1 − 2i = −2i ,
(1 − i)4 = (−2i)(−2i) = −4 ,
(1 − i)5 = −4(1 − i) = −4 + 4 i e
i(1 − i)5 = −4 − 4 i per cui z3 = 1/(−4 − 4 i) = (−4 + 4 i)/32 = −1/8 + 1/8 i .
Quindi
Re(z3 ) = −1/8 , Im(z3 ) = 1/8 , | z3 | =
p
p
(1/8)2 + (1/8)2 = 1/32 , z3 = −1/8 − 1/8 i .
I numeri complessi z4 = √12 e z6 = 2 i − 1 sono gi`a nella forma a + i b e per loro si ha:
√
√
√
Re(z4 ) = 1/ 2 , Im(z4 ) = 0 , | z4 | = 1/ 2 , z4 = 1/ 2 .
√
Re(z6 ) = −1 , Im(z6 ) = 2 , | z6 | = 5 , z4 = −1 − 2 i .
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Infine z5 = (i 2 − i 3)3 = i3 ( 2 − 3)3 = −i(2 2 − 6 3 + 9 2 − 3 3) = −i(11 2 − 9 3) ,
quindi
√
√
Re(z5 ) = 0 , Im(z5 ) = −i(11 2 − 9 3) , | z5 | = | Im(z5 ) | , z5 = −z5 .
J
Es. 9 Si ha:
z + w = (−2 + 3 i) + (3 − 5 i) = 1 − 2 i ;
z + w = (−2 + 3 i) − (3 − 5 i) = −5 + 8 i ;
zw = (−2 + 3 i) · (3 − 5 i) = 9 + 19 i ;
z/w =
−2+3 i
3−5 i
=
(−2+3 i)(3+5 i)
34
= − 21
34 −
1
36
i
e quindi:
|z + w| =
z+w =1+2i ,
z − w = −5 − 8 i ,
zw = 9 − 19 i ,
z/w = − 21
34 +
1
36
i,
√
1+4=
√
5,
√
| z − w | = 25 + 64 = 89 ,
√
√
| zw | = 81 + 361 = 442 ,
q
q
441
1
442
| z/w | = 1156
+ 1156
= 1156
√
J
Es. 13 Posto z = a + i b , si ha (1 + 3i)z = (1 + 3 i)(a + i b) = (a − 3b) + i (3a + b) ; quindi (1 + 3i)z ∈ R
se e solo se 3a + b = 0 se e solo se b = −3a se e solo se z = a − 3a i ; inoltre un tale numero complesso ha
p
modulo 1 se e solo se a2 + (3a)2 = 10a2 = 1 se e solo se a = ± 1/10 .
5
Soluzione di alcuni esercizi
Quindi i numeri complessi che soddisfano le condizioni date sono due e precisamente z1 =
p
p
e z2 = − 1/10 + 3 1/10 i .
p
p
1/10−3 1/10 i
J
Es. 15 Per z1 si ha:
√
(1 + 3 i)4 (cos(2π/5) + i sin(2π/5))
4
= (2(cos(π/3) + i sin(π/3))) (cos(2π/5) + i sin(2π/5))
= 24 ( cos(4π/3 + 2π/5) + i sin(4π/3 + 2π/5) )
= 16 ( cos(26π/15) + i sin(26π/15) )
Quindi la parte reale `e 16 cos(26π/15) , la parte immaginaria `e 16 sin(26π/15) , il modulo `e 16 e l’argomento
`e 26π/15 .
J
Es. 16 Si ha
√
2 + 2i = 2 2
√
√
3−i=2
1
1
√ +√ i
2
2
3 1
− i
2
2
√
=2 2
√
√ !
√ π
π 2
2
+
i = 2 2 cos( ) + i sin( ) ;
2
2
4
4
!
= 2 (cos(11π/6) + i sin(11π/6)) ;
−4 = 4(cos(π) + i sin(π));
−3 i = 3 (cos(3π/2) + i sin(3π/2)) ;
1 = cos(0) + i sin(0);
(
cos(α) = 3/5
4
3
+i
= 5 cos(α) + i sin(α) dove
3 + 4i = 5
5
5
sin(α) = 4/5
− cos π/3 + i sin π/3 = cos(2π/3) + i sin(2π/3);
sin(π/4) − i cos(π/4) = cos(−π/4) + i sin(−π/4);
√
√
√ √
cos(π) + i sin(π/2) = −1 + i = 2 − 2/2 + i 2/2 = 2 (cos(3π/4) + i sin(3π/4))
1
1
2−i−2−i
2
2
−
=
= − i = ( cos(−π/2) + i sin(−π/2) )
2+i 2−i
(2 + i)(2 − i)
5
5
J
Es. 18 Si ha
1−
√
√
1
3
5π
5π
3 i = 2( −
i) = 2 (cos( ) + i sin( ))
2
2
3
3
5π
250π
250π
quindi z ha modulo 250 e argomento 50 ·
=
ma anche
perch´e essendo 250 = 6 · 41 + 4 ,
3
3
3
250π
4π
si ha
=
+ 41 · 2π .
3
3
Allora
√
√
4π
4π
1
3
50
50
z = 2 (cos( ) + i sin( )) = 2 (− −
i) = −249 − 249 3 i
3
3
2
2
J
Es. 19 Si ha
√
√
√ π
π
2 ( 2/2 + i 2/2) = 2 cos + i sin
4
4
√
√
π
π w = 1 − 3i = 2(1/2 − i 3/2) = 2 cos(− ) + i sin(− )
3
3
z =1+i=
√
Soluzione di alcuni esercizi
6
Quindi
√
π
π
( 2)5 z5
π π =
cos 5 ( ) − 25 (− ) + i sin 5 ( ) − 25 (− )
25
25
w
2
4
3
4
3
√ 15
( 2)
15
cos( π) + i sin( π)
= 23
2
2
2
√
√
π
( 2) π ( 2)
= 23 cos( ) + i sin( ) = i 23
2
2
2
2
J
Es. 20(a) Poich´e 1 = cos(0) + i sin(0) , le radici seste di 1 sono:
zk = cos(2kπ/6) + i sin(2kπ/6)
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .
ovvero:
z0 = 1 ,
z1 = cos(π/3) + i sin(π/3) = 1/2 + i
√
3/2 ,
√
z2 = cos(2π/3) + i sin(2π/3) = −1/2 + i 3/2 ,
z3 = −1 ,
√
z4 = cos(4π/3) + i sin(4π/3) = −1/2 − i 3/2 ,
√
z5 = cos(5π/3) + i sin(5π/3) = 1/2 − i 3/2 .
Es. 20(b) Si ha −3i = 3(cos(3π/2) + i sin(3π/2) , quindi le radici quarte di −3i sono
√
3π/2 + 2kπ
3π/2 + 2kπ
4
zk = 3 cos(
) + i sin(
)
4
4
√
(4k + 3)π
(4k + 3)π
4
= 3 cos(
) + i sin(
)
8
8
per k = 0, 1, 2, 3 .
Es. 20(c) Poich´e i = cos π2 + i sin π2 , queste radici sono
zk = cos
π/2 + 2kπ
π/2 + 2kπ
+ i sin
5
5
k = 0, 1, 2, 3, 4
Es. 20(d) Si ha
3
3
1+i
(1 + i)2
(1 + i)6
1 √
=
=
=
( 2(cos(π/4) + i sin(π/4)))6
1−i
2
8
8
= cos(3π/2) + i sin(3π/2)
le sue radici cubiche sono quindi
3π/2 + 2kπ
3π/2 + 2kπ
zk = cos
+ i sin
= cos (π/2 + 2kπ/3) + i sin (π/2 + 2kπ/3)
3
3
per k = 0, 1, 2 cio`e:
z0 = i ,
√
z1 = cos(7π/2) + i sin(7π/2) = − 3/2 − i/2 ,
√
z2 = cos(11π/2) + i sin(11π/2) = 3/2 − i/2 .

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