Foglio 2

Teoria algebrica dei numeri Esercizi 2. Anelli di interi.
Roma, 13 ottobre 2014.
1. Sia F un campo di numeri.
(a) Dimostrare che per ogni x ∈ F esiste un intero 0 6= m ∈ Z tale che mx ∈ OF .
(b) Dimostrare che il campo delle frazioni di OF `e F .
(c) Dimostrare che esiste un elemento α ∈ OF tale che F = Q(α).
2. Sia F un campo di numeri. Dimostrare che ogni ideale I 6= 0 di OF contiene un intero
non nullo m ∈ Z.
3. Sia F un campo di numeri e sia α ∈ OF . Dimostrare che si ha che N (α) = ±1 se e
solo se α `e invertibile nell’anello OF .
4. Sia F ⊂ K un’estensione di campi di numeri. Dimostrare che OK ∩ F = OF .
5. Sia d 6= 1, 0 un intero senza fattori quadrati.
√
(a) Calcolare il discriminante del campo di numeri of F = Q( d).
(b) Per d √
< 0 determinare il gruppo degli elementi invertibili dell’anello degli interi
di Q( d).
6. Siano F e K due campi quadratici (i.e. grado 2 su Q). Dimostrare che ∆F = ∆K se
e solo se F ∼
= K.
√
√
7. L’anello Z[ 1+ 2−23 ] `e l’anello degli interi del campo di numeri Q( −23). Dimostrare
√
che l’ideale (2, 1+ 2−23 ) e il suo quadrato non sono principali ma che invece la sua
terza potenza `e principale.
8. Consideriamo le tre propriet`
a “Noetheriano”, “integralmente chiuso” and “dimensione
di Krull uguale a 1” che caratterizzano i domini di Dedekind. Esibire esempi di domini
che hanno due di queste propriet`a, ma non la terza.
9. Sia R un dominio di Dedekind e siano p e p0 due ideali primi non nulli distinti di R.
(a) Dimostare che p + p0 = R.
(b) Dimostrare che l’anello R/pp0 `e isomorfo a R/p × R/p0 .
10. Sia R un dominio di Dedekind e sia p un suo ideal primo non nullo. Dimostrare
che p 6= p2 .
11. Sia F un campo di numeri di grado n e siano ω1 , . . . , ωn ∈ OF . Abbiamo che
∆(ω1 , . . . , ωn ) = det(Tr(ωi ωj )). Dimostrare che si ha che ∆(ω1 , . . . , ωn ) = m2 ∆F
per qualche m ∈ Z.
12. Sia α uno zero del polinomio X 3 − X + 3.
(a) Calcolare la traccia di αi per 0 ≤ i ≤ 4.
(b) Dimostrare che Z[α] i`e l’anello degli interi di Q(α).
13. Sia k un campo e sia n ≥ 1. Il prodotto k n di n copie di k `e un anello con addizione
e moltiplicazione coordinata per coordinata. Dimostrare che le proiezioni k n −→ k
sono omomorfismi di anelli. Dimostrare che non ci sono altri.

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