ProveScritteGeom3 2013/2014

Prima prova scritta di Geometria 3, 23 giugno 2014
1. i) Dimostrare che la proiezione π : X × Y → X sulla prima coordinata `e un’
applicazione aperta.
ii) Se Y `e compatto, dimostrare che la proiezione π : X × Y → X `e un’applicazione
chiusa.
iii) Dimostrare che la proiezione π1 : R × R → R non `e un’applicazione chiusa.
iv) Dimostrare che un rivestimento p : E → B `e un’ applicazione aperta.
2, Generalizzare il tube lemma: Se A e B sono sottospazi compatti di X e Y e N `e
un intorno di A × B in X × Y , allora esistono insiemi aperti U e V in X e Y tale che
A × B ⊂ U × V ⊂ N (considerare primo il caso di {a} × B ⊂ X × Y , per un a ∈ A).
3. Sia K = {1/n : n ∈ N}. Indichiamo con RK (la K-topologia) la topologia sui numeri
reali che ha come base tutti gli intervalli aperti (a, b) e tutti gli insiemi della forma
(a, b) − K.
i) Dimostrare che RK `e connesso.
ii) Dimostrare che RK non `e regolare.
4. Dimostare che uno spazio metrico compatto `e second countable.
5. i) Sia π : S n → RPn la proiezione. Dimostrare che non esiste un’applicazione
continua σ : RPn → S n tale che π ◦ σ = idRPn , per n ≥ 1.
ii) Dimostrare che non esiste una retrazione del nastro di Moebius sul suo bordo.
6. i) Sia f : S 1 → R un’applicazione continua che preserve punti antipodali (f (−x) =
−f (x), per tutti s ∈ S 1 ). Dimostrare che esiste x ∈ S 1 tale che f (x) = 0.
ii) Se f : S 1 → R `e continua, dimostrare che esiste x ∈ S 1 tale che f (−x) = f (x).
7. Dimostrare che SΩ `e first countable ma non second countable.
Seconda prova scritta di Geometria 3, 7 luglio 2014
1. Sia p : E → B un’applicazione quoziente. Se B `e connesso e ogni fibra p−1 (b) `e
connessa, dimostrare che E `e connesso.
2. i) Dimostrare che una successione xn in un prodotto Πα∈J Xα converge a x se e solo
se πβ (xn ) converge a πβ (x), per ogni β ∈ J (”convergenza puntuale”).
ii) Dare un esempio di una successione in Rω che converge nella topologia prodotto ma
non nella topologia uniforme. Poi dare un esempio di una successione che converge nella
topologia uniforme ma non nella topologia box.
ω
iii) Dimostrare che nessuna successione in Rω
+ converge a 0 = (0, 0, 0, ...) ∈ R , nella
topologia box.
3. i) Dimostrare che SΩ `e first countable ma non second countable.
ii) Dimostrare che ogni successione in SΩ ha un limite superiore, e anche un estremo
superiore.
4. i) Dimostrare che uno spazio metrico con un sottoinsieme numerabile denso `e second
countable.
ii) Concludere che Rl non `e metrizzabile.
5. Siano q : X → Y e r : Y → Z rivestimenti. Se ogni fibra r−1 (z) `e finita, z ∈ Z,
dimostrare che anche la composizione p = r ◦ q : X → Z `e un rivestimento.
6. i) Dimostrare che uno spazio compatto `e limit point compact.
ii) Dimostrare che uno spazio metrico e limit point compact `e sequentially compact.
iii) Sia X uno spazio di Hausdorff. Dimostrare che X `e limit point compact se e solo se
X `e countably compact (ogni ricoprimento aperto numerabile ha un sottoricoprimento
finito) (suggerimento: se nessuna sottofamiglia finita di Un ricopre X, scegliere xn ∈
/
U1 ∪ . . . ∪ Un per ogni n ∈ N).
7. Siano x0 , x1 ∈ X e α, β : I → X due cammini in X da x0 a x1 .
i) Se X `e semplicemente connesso, dimostrare che α e β sono omotope.
ii) Definire α
ˆ : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x1 ), dimostrare che α
ˆ `e un omomorfismo di gruppi, e
anche un isomorfismo.
iii) Se π1 (X, x0 ) `e abeliano, dimostrare che α
ˆ = βˆ : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x1 ).

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