Scheda 7

Corso di laurea in Fisica, a.a. 2014/15
Analisi (V. Nesi, C. Pinzari, A. Pisante, M.A. Pozio)
Scheda 7 – 21 novembre 2014
Esercizio 1. Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione arctan x = x3 + x.
Esercizio 2. Dimostrare che le seguenti funzioni sono strettamente crescenti
f (x) = e x (x2 − 2x + 4),
g(x) =
1 7 1 2
x − x + x + 1.
42
2
Esercizio 3. Provare che valgono le seguenti disuguaglianze
1 + x ≤ ex
x ∈ R,
ln(1 + x) ≤ x
Esercizio 4. Determinare il massimo di f (x) =
2
x
−
3
x2
x > −1,
in (0, +∞).
Esercizio 5. Determinare, se esistono, il massimo e il minimo delle seguenti funzioni nel corrispondente
intervallo (con a, b > 0)
x
x − x2
in [0, 1]
g(x) = (x2 − 1) e x in [−1, 1]
h(x) =
2
(x + a)(x + b)
2+x
Cosa succede se si considerano le funzioni nel loro dominio naturale?
f (x) =
Esercizio 6. Determinare l’andamento qualitativo del grafico delle funzioni
f (x) =
√
x2
+ x − x,
x
g(x) =
e−x ,
4x + 1
(
)
|x|
h(x) = arcsin
,
x+1
in [0, +∞).
(
)
1
ℓ(x) = exp − 2
.
x +1
e disegnarne il grafico.
Esercizio 7. Sia f : (a, b) → R una funzione derivabile due volte in (a, b) e tale che f ′′ (x) = 0 per ogni
x ∈ (a, b). Dimostrare che f = f (x) e` un polinomio di grado 1.
Esercizio 8. Usando il Teorema di Lagrange, dimostrare che
| arctan x − arctan y| ≤ |x − y|,
x, y ∈ R,
|e x − ey | ≤ 3 |x − y|
|e
−x2
−y2
−e
| ≤ |x − y|
x, y ∈ (−1, 1),
x, y ∈ R.
Esercizio 9. i. Dati a0 , . . . , an ∈ R, sia p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn . Dimostrare che
dk p
(0) = k!ak ,
dxk
k ∈ {0, 1, . . . , n}
e che
dk p
(x) = 0 ,
dxk
ii. Siano p, q due polinomi di grado n tali che
dk p
dk q
(0)
=
(0) ,
dxk
dxk
allora i due polinomi coincidono.
k > n , x ∈ R.
k ∈ {0, 1, . . . , n}
iii. Discutere la relazione che intercorre tra due polinomi p e q di grado n tali che
dk p
dk q
(x
)
=
(x0 )
0
dxk
dxk
per qualche x0 ∈ R.
k ∈ {0, 1, . . . , n}.
2
Esercizio 10. Determinare l’andamento qualitativo del grafico della funzione f (x) = g(x) sin(x) sia nel
caso g(x) = 1/(1 + x2 ) che nel caso g(x) = x e x .
Esercizio 11. Determinare tra i rettangoli di perimetro p assegnato quello di area massima.
Ripetere l’esercizio per i triangoli rettangoli.
Esercizio 12. Sia f : R → R una funzione dispari [pari] e derivabile. Dimostrare che f ′ e` pari [dispari].
Esercizio 13. Determinare i massimi ed i minimi relativi ed assoluti delle funzioni seguenti
(impegnativo)
f (x) = |x sin(x − 1)|
)
(
x − |x| √
|x| + x
1
|1 − x2 |
g(x) =
1 − sin x +
2x
2
2x
x ∈ [−1, 3/2]
x ∈ [−1, π].
e−3x
non ha n´e massimi, n´e minimi relativi.
1+ax
2
Esercizio 14. Dire per quali a > 0, la funzione f (x) =
Esercizio 15. Determinare il minimo assoluto delle funzioni
f (x) = |x − 1| + |x + 1|,
g(x) = |x − 1| + |x| + |x + 1|,
h(x) =
n
∑
|x − k| (n ∈ N).
k=−n
Esercizio 16. Trovare il valore minimo α > 0 per cui valga la disuguaglianza x ≤ eα x per ogni x ∈ R.
Esercizio 17. Classificare i punti critici della funzione fc (x) = (x2 +c) e−x al variare di c ∈ R. Disegnare
2
il grafico della funzione
g(c) := max{ fc (x) : x ∈ R}
e determinarne l’insieme di continuit`a e di derivabilit`a.

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