Esercizi

Esercizi
March 13, 2014
1) Si consideri la seguente equazione integrale
Z
1 2 −(x+y)
fη (x) −
e
cos[η(x + y)]fη (y) = g(x),
2 1
con g ∈ C([1, 2]). Si dimostri che tale equazione ammette una soluzione fη e si calcoli
lim fη .
η→0
2) Verificare che la funzione f (x) = 1−x ´e soluzione dell’equazione di Volterra omogenea
Z x
f (t)ex−t = x.
0
3) Risolvere, per serie, l’equazione di Volterra
Z x
K(x, y)f (y) = g(x),
f (x) − λ
0
per K(x, y) = a(x−y) , a > 0.
4) Risolvere
Z
f (x) − λ
π
cos(x + y)f (y) = cos 3x.
0
5) (Convergenza debole per oscillazioni) H = L2 ([0, 2π]). Dimostrare che la successione
fn = einx converge debolmente a zero. Si richiami il Lemma di Riemann-Lebesgue.
6) Sia H uno spazio di Hilbert e {ei }∞
i=1 una base (ortonormale). Sia fn una successione.
Allora fn → f debolmente se e solo se
(ej , fn ) → (ej , f )
per ogni j
6) (Convergenza debole per dispersione) H = `2 (N). Dato a = {ak }∞
k=1 ∈ H, si consideri
∞
∞
la successione an = {(an )k }k=1 = {ak+n }k=1 . Si dimostri che an → 0 debolmente.
1
7) Si rifletta sul fatto che i due tipi di convergenza debole esaminati descrivono in realt´a
lo stesso fenomeno.
8) Sia H = `2 (Z) e U l’operatore
(U a)k = ak−1
se a = {ak }k∈Z . Allora U ´e unitario. Dimostrare
9) Sia H = `2 (N) e U l’operatore
(U a)k = ak−1 ,
k > 0,
(U a)1 = 0
se a = {ak }k∈N . Allora U NON ´e unitario. Dimostrare.
10) Sia H = L2 (R) e PA l’operatore
(PA f )(x) = χA f (x),
dove χA ´e la funzione caratteristica dell’insieme misurabile A ⊂ R. Allora PA e’ un
proiettore ortogonale (P = P ∗ , P 2 = P ). Caratterizzare il sottospazio di H su cui proietta
PA .
11) Sia H = L2 (0, 1) e P l’operatore
Z 1
P f (x) =
f (x)dx · 1.
0
Allora P e’ un proiettore. Qual’e’ il suo rango? Cos’e’ il sottospazio su cui proietta I − P ?
12) Sia H e A un operatore limitato. Stabilire che
¯A
H = ker A∗ ⊕ R
13) Sia H = L2 (0, 1) e fn la successione
fn (x) =
√
n per x ∈ (0, 1/n),
fn (x) = 0 per x ∈ (1/n, 1).
Allora fn e’ debolmente convergente, ma non fortemente convergente. Dimostrare l’asserto.
14) Sia A limitato e simmetrico su H, un generico spazio di Hilbert. Allora l’operatore
definito, per ogni t ∈ R, da
X (itA)n
eiAt =
n!
n≥0
e’ unitario. Dimostrare.
15) Sia H = `2 (N) e A definito da
(Au)k = λk uk
2
dove λk ∈ R, |λk | ≤ 1 e limk→∞ λk = 0. Allora A e’ compatto. Dimostrare.
16) Nelle stesse ipotesi dell’esercizio 15) si assuma, in luogo di limk→∞ λk = 0, limk→∞ λk =
1. Allora A non e’ compatto. Dimostrare.
17) Sia H = `2 (N) e A definito da
(Au)k =
1
uk+1 ,
kα
α ∈ (0, 2).
per
Studiare la compattezza e la limitatezza di A.
18) Sia H = L2 (0, 1) e A l’operatore definito da
Z 1
1
f (y)dy
Af (x) =
α
0 |x − y|
per α ∈ (0, 1)
per quali valori di α e’ compatto? per quali valori di α e’ limitato? Sia α = 100. Qual’e’
il dominio di A? (Cioe’ esiste un sottospazio denso di H per cui A ha senso).
19) Sia H = L2 (R) e A l’operatore definito da
Z
Af (x) =
K(x, y)f (y)dy
R
con K(x, y) = p(x)q(y). Esistono coppie funzioni p e q per cui A e’ limitato, ma non
compatto?
20) Sia H = L2 (R) e A l’operatore definito da
Z
Af (x) =
R
2
e−(x−y)
p f (y)dy.
1 + |y|
Studiare l’eventuale limitatezza e compattezza di questo operatore.
21) Sia A compatto e simmetrico in H. Dimostrare che per z ∈ C tale che Imz 6= 0
(z − A)−1 esiste come operatore limitato e che
k(z − A)−1 k ≤
1
.
|Imz|
(z − A)−1 non puo’ essere compatto. Perche’ ?
22) Nelle stesse ipotesi dell’esercizio 21), rimuoviamo l’ipotesi che A sia compatto e
sostituiamo questa ipotesi con σ(A) = σp (A) (lo spettro e’ formato da soli autovalori).
Allora la tesi dell’esercizio 21) vale ancora.
3

Download Report