46 π 26. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE DEGLI ARCHI DI π8 (22° 30') E 10 (18°) Le formule di bisezione ci permettono di calcolare le funzioni goniometriche dell’arco π 2 1 − cos 1− 1 − cos α α π 4 2 sen = ± = = → sen = 2 2 8 2 2 π 1+ cos 1+ cos α α π 4 = ... = cos = ± → cos = 2 2 8 2 2− 2 1 ⋅ = 2 2 π 8 2− 2 = 4 = 1 π ⋅ : 2 4 2− 2 2 2+ 2 2 π 2 2− 2 α 1 − cos α π 1 − cos 4 1 − 2 2 = 2− 2 ⋅ 2 = 2− 2 ⋅ 2 = 2 2 −2 = tg = = = → tg = 2 sen α 8 π 2 2 2 2 2 2 2 sen 4 2 2 π Il valore tg = 2 − 1 8 può anche essere determinato mediante il Teorema della Bisettrice: “In un triangolo, la bisettrice di un lato divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati”. 2 −1 Applicando questo teorema al triangolo AOT1 della figura, l = 45° e quindi AT = OA = 1, OT = 2 , nel quale AOT 1 1 1 si ottiene AT2 : T2T1 = OA : OT1 x : (1 − x) = 1: 2 ( x = tg 8π ) x 2 + x =1 x ( 2 + 1) = 1 1− x = x 2 Per quanto riguarda le funzioni dell’arco di π 10 x= 1 2 −1 2 −1 ⋅ = = 2 −1 2 −1 2 +1 2 − 1 (18°) possiamo approfittare del fatto che in un decagono regolare inscritto in una circonferenza gli angoli al centro che insistono sui lati misurano 360°:10=36°. E’ noto che il lato del decagono regolare inscritto è uguale alla sezione aurea del raggio, cioè vale A10 = 52− 1 r (nella circonferenza goniometrica, di raggio 1, 1 1 5 −1 5 −1 Avremo allora sen18° = A10 = ⋅ = 2 2 2 4 A10 = 52− 1 ). A questo punto, cos18° (che corrisponde all’apotema del decagono regolare) potrà essere determinato con Pitagora (o, il che è praticamente lo stesso, con la Prima Relazione Fondamentale): cos18° = 1 − sen 2 18° = 1 − ( 5 −1 4 ) 2 = 1− ( 5 − 1) 16 − ( 5 + 1 − 2 5 ) 10 + 2 5 = = = 16 16 16 2 10 + 2 5 4 Infine sarà 5 −1 ( 5 − 1)2 sen18° 5 −1 5 +1 − 2 5 6−2 5 4 = tg18° = = = = = = cos18° + +2 5 10 2 5 10 10 + 2 5 10 + 2 5 10 + 2 5 4 = 3− 5 3− 5 5− 5 15 − 3 5 − 5 5 + 5 = ⋅ = = 25 − 5 5+ 5 5+ 5 5− 5 20 − 8 5 = 20 5−2 5 oppure 5 25 − 10 5 5