PADIGLIONE 4 PASSIVHAUS IN ITALIA: A CHE PUNTO SIAMO?

FORMULARIO Matematica
RICHIAMI DI ALGEBRA
LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Un’equazione di secondo grado è riconducibile alla forma normale: ax 2 bx c 0, a 0
c
se 0: impossibile
a
c
2
2
● b 0, c 0 (equazione pura) → ax c 0 → x a
c
se 0 → x1,2 a
b
2
● c 0, b 0 (equazione spuria) → ax bx 0 → x(ax b) 0 → x1 0, x2 a
2
● b c 0 (equazione monomia) → ax 0 → x1 x2 0
2
● b 0, c 0 (equazione completa). Il discriminante è b 4ac.
冪莦莦a莦c
Δ = b2 − 4ac
●
Δ>0
Δ=0
Δ<0
due soluzioni reali distinte
due soluzioni reali coincidenti
− b ± √⎯Δ
x1,2 = —————
2a
non esistono
soluzioni reali
x1 = x2 = 0
冪莦莦
b
2
4
Formula ridotta: b pari → x1,2 .
a
LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Per risolvere le disequazioni ax2 bx c 0 e ax2 bx c 0 (con a 0), si considera l’equazione associata
ax 2 bx c 0.
Se 0, la disequazione:
2
● ax bx c 0 è verificata dai valori esterni all’intervallo individuato dalle radici dell’equazione associata;
2
● ax bx c 0 è verificata dai valori interni.
Se 0, la disequazione:
2
● ax bx c 0 è sempre verificata tranne che per il valore della radice doppia dell’equazione associata;
2
● ax bx c 0 non è mai verificata.
Se 0, la disequazione:
2
● ax bx c 0 è sempre verificata;
2
● ax bx c 0 non è mai verificata.
a>0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
ax + bx + c > 0
ax + bx + c > 0
ax + bx + c > 0
2
x1
x2
ax2 + bx + c < 0
1
2
x1 = x2
2
LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI CON IL VALORE ASSOLUTO
Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
se k 0: non ha soluzione
兩A(x) 兩 k
se k 0: A(x) k
se k 0: k A(x) k →
兩A(x) 兩 k
k
冦 A(x)
A(x) k
se k 0: non ha soluzione
se k 0: A(x) k ∨ A(x) k
兩A(x) 兩 k
se k 0: A(x) 0
se k 0: sempre verificata
LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
se n è dispari: A(x) [B(x)]n
兹A
苶(x
苶)苶 B(x)
n
se n è pari:
冦
A(x) 0
B(x) 0
A(x) [B(x) ]n
se n è dispari: A(x) [B(x)]n
兹A
苶(x
苶)苶 B(x)
n
se n è pari:
冦
A(x) 0
B(x) 0
A(x) [B(x) ]n
se n è dispari: A(x) [B(x)]n
兹A
苶(x
苶)苶 B(x)
n
se n è pari:
0
B(x) 0
∨
冦 B(x)
A(x) 0 冦 A(x) [B(x) ]
LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE
●
a a a
●
a m a n a mn con a 0
●
(a m) n a mn
●
a m b m (a b) m
●
am bm (a b)m con b 0
1
an con a 0
an
●
m
n
mn
n
I PRODOTTI NOTEVOLI E
LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
●
(A B)(A B) A2 B2
●
(A B)2 A2 2AB B2
●
(A B C )2 A2 B2 C 2 2AB 2AC 2BC
●
(A B)3 A3 3A2B 3AB2 B3
●
A3 B3 (A B)(A2 AB B2)
2
Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
LA FUNZIONE ESPONENZIALE E LA FUNZIONE LOGARITMO
La funzione esponenziale
y
y
y
y = ax
(0 < a < 1)
y = ax
(a > 1)
1
y = ax
(a = 1)
1
x
O
1
x
O
a. • C.E.: ;
+
• codominio: ;
• funzione crescente in ;
• corrispondenza biunivoca;
• ax → 0 per x → − ;
• ax → + per x → + .
x
O
c.• C.E.: ;
• codominio: {1};
• funzione costante;
• funzione non iniettiva.
b. • C.E.: ;
+
• codominio: ;
• funzione decrescente in ;
• corrispondenza biunivoca;
• ax → 0 per x → + ;
• ax → + per x → − .
La funzione logaritmo
y
Logaritmo di un prodotto
log a (b c) log a b log a c, (b 0, c 0)
y
y = logax
(a > 1)
O
x
1
O
Logaritmo di un quoziente
b
log a log a b log a c,
c
x
1
Logaritmo di una potenza
log a bn n log a b, (b 0)
y = logax
(0 < a < 1)
+
a.• C.E.: ;
• codominio: ;
+
• funzione crescente in ;
• corrispondenza biunivoca;
• loga x → − per x → 0;
• loga x → + per x → + .
+
b. • C.E.: ;
• codominio: ;
+
• funzione decrescente in ;
• corrispondenza biunivoca;
• loga x → + per x → 0;
• loga x → − per x → + .
Cambiamento di base nei logaritmi
log c b
log a b a 0, b 0, c 0
log c a
a 1, c 1
Disequazioni esponenziali
a1
y
t z
at az
y= a
(a > 1)
y=a
(0 < a < 1)
x
az
O z t
3
Disequazioni logaritmiche
0a1
at az ⇔
⇔
a1
y
y
logab
x
O
x
b
loga b loga c ⇔ b c
y
y = loga x
(a > 1)
x
az
t z O
0a1
loga b loga c ⇔ b c
t z
at
at
(b 0, c 0)
logac
c
y = logax
(0 < a < 1)
c
x
O
logac
b
logab x
RICHIAMI DI GEOMETRIA
Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
I punti notevoli di un triangolo
circocentro
ⵒⵒ
ⵒ
mediane
incentro
ⵒ
altezze o loro
prolungamenti
bisettrici
L’incentro è il centro
della circonferenza
inscritta.
ortocentro
baricentro
assi
Il circocentro è il centro
della circonferenza
circoscritta.
Il baricentro divide ogni
mediana in due parti di cui
quella contenente il vertice
è doppia dell’altra
I criteri di congruenza dei triangoli
1° criterio
A
2° criterio
B
B
3° criterio
B
C
A'
B'
B'
C
A
A
C'
A'
A'
B'
AB ≅ A'B'
BC ≅ B'C'
ˆ
Bˆ ≅ B'
C
AC ≅ A'C'
ˆ ≅ A'
ˆ
A
ˆ
Cˆ ≅ C'
ABC ≅ A'B'C'
C'
C'
AB ≅ A'B'
BC ≅ B'C'
AC ≅ A'C'
ABC ≅ A'B'C'
ABC ≅ A'B'C'
Il teorema di Talete
Teorema di Talete
A
Teorema della bisettrice
di un angolo interno di un triangolo
A'
B
C
r
B'
C' t
C
E
s
A
B
BE : CE = AB : AC
r // s // t ⇒ AB : BC = A'B' : B'C'
Conseguenza del teorema di Talete
C
AM ≅ MB
N
CN ≅ NB
A
M
MN
AC
1 AC
MN ≅ —
2
B
4
Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
L’equivalenza e la similitudine
Il teorema di Pitagora
I teoremi di Euclide
p1
c2
c1
Primo teorema di Euclide
c2
c1
i : c1 = c1 : p1
i : c2 = c2 : p2
p2
i
c12 + c22 = i 2
i
Secondo teorema di Euclide
p1 : h = h : p2
h
p1
p2
Relazioni fra i lati di triangoli notevoli
Formula di Erone
C
⎯2
√
45°
⎯3
√
——
2
30°
45°
⎯ (p − b) (p − c)
p (p − √
a)
√⎯
√⎯
a
a+b+c
con p = ————
2
60°
√⎯ √⎯
=
B
√⎯ —
2
Primo criterio
Secondo criterio
C'
C
C'
ⵒ
C
√⎯
Terzo criterio
C'
C
ⵒ
ⵒ
B
ˆ ≅ A'
ˆ
A
ABC
B
B'
A
A
A'
ˆ ≅ B'
ˆ
B
ˆ ≅ A'
ˆ
A
≈ A'B'C'
B
B'
A
A'
AB : A'B' = AC : A'C'
ABC
A
c
√⎯√⎯
√⎯ √⎯
Criteri di similitudine dei triangoli
√⎯
b
B'
A'
AB : A'B' = AC : A'C' = BC : B'C'
≈ A'B'C'
ABC
≈ A'B'C'
La similitudine nella circonferenza
Teorema delle corde secanti
Teorema delle secanti
P
P
Teorema della secante
e della tangente
A
A
D
B
E
C
C
E
A
C
AE : CE = ED : EB
5
F
PF : PE = PA : PC
F
PF : PA = PA : PC
La circonferenza
I teoremi sulle corde
A
B
K
C
H
Angoli alla circonferenza
e angoli al centro
A
B
ⵒ
O
V
V
O
O
ⵒ
C
D
O
B
D
OH ≅ OK
B
AB ≅ CD
A
D
A
D
H
C
D
A
Ogni angolo alla circonferenza è la
metà dell’angolo al centro corrispondente.
AH ≅ HB
O
Tangente a una circonferenza
da un punto esterno
B
P
a
H
C
ˆ ≅ COB
ˆ
AOC
O
O
A
Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
A
B
DC AB
O ∈ DC
H
C
D
H
C
O
B
B
b
Se da un punto esterno a una circonferenza
si conducono le rette tangenti, i segmenti
di tangente risultano congruenti
២ ២
AC ≅ CB
O
A
O
P
A
B
La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio
α
O
r
a. Misure della circonferenza (c) e dell’arco
di angolo al centro α ().
r
α
c = 2πr
α
= —— πr
180
r = —
p
O
a. Raggio del cerchio inscritto nel triangolo.
r
O
C = πr2
1
α
S = —— πr2 = — r
2
360
b. Misure dell’area del cerchio (C) e dell’area del settore
circolare di angolo al centro α (S).
c
b
O
R
abc
R = ——
4
a
b. Raggio del cerchio circoscritto al triangolo.
6
Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
Formule di geometria solida
PRISMA RETTO
PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO
A = 2p • h
At = A + 2Ab
V = Ab • h
Ab = ab
A = 2 (ac + bc)
At = 2(ac + ab + bc)
V=a•b•c
d = a2 + b2 + c2
c
d
h
CUBO
d
b
s
a
PIRAMIDE RETTA
a
h
A = (p + p') • a
At = A + Ab + A'b
1 h (A + A' +
V=—
b
b
3
+ Ab • A'b)
h
a
CONO
h
CILINDRO
TRONCO DI PIRAMIDE RETTA
A = p • a
A t = A + A b
1 A •h
V=—
3 b
a
h
Ab = πr2
A = 2 πr • h
At = 2πr (h + r)
V = πr2 • h
h
r
SFERA
TRONCO DI CONO
Ab = πr2
A = πra
At = πr (a + r)
1 πr2 • h
V=—
3
Ab = s2
At = 6 s2
V = s3
d=s 3
Ab = πr2
A'b = πr'2
A = πa (r + r')
a
At = A + Ab + A'b
1 πh (r2 + r'2 + r • r')
V=—
3
A = 4πr2
4 πr3
V=—
3
r
r
CALOTTA E ZONA SFERICA
SEGMENTO SFERICO A DUE BASI
SEGMENTO SFERICO A UNA BASE
calotta
h
zona
R
h
r1
r
R
R
h
r2
S = 2πRh
FUSO SFERICO
V = –4– π –h– 3+πr12 –h– +πr22 –h–
3 2
2
2
SPICCHIO SFERICO
α
α
R
V = –4– π –h– 3+πr 2 –h– = –1– πh 2 3R–h
2 3
3 2
ANELLO SFERICO
a
h
R
°
Sf = 2 R2 αrad = ––α––– πR 2
90°
α rad : ampiezza del diedro in radianti
α° : ampiezza del diedro in gradi
7
Vs = –2– α radR 3= –––α––°–– πR 3
270°
3
Va= –1– πa 2h
6
GEOMETRIA ANALITICA
Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
2
2
La distanza fra due punti A(xA; yA) e B(xB; yB) è data da: A
苶B
苶兹(x
苶苶
x苶
苶苶y
(苶苶
y苶
B 苶苶
A)苶
B 苶苶
A)苶.
x x
2
yA yB
yM .
2
A
B
Il punto medio del segmento AB è M(xM; yM) con: xM ,
Il baricentro di un triangolo di vertici A(xA ; yA), B(xB ; yB), C(xC ; yC ) è G(xG ; yG) con:
xA xB xC
yA yB yC
xG , yG .
3
3
兩ax0 by0 c兩
.
La distanza di un punto P(x 0; y0) da una retta r di equazione ax by c 0 è uguale a: d 兹a
苶2苶
苶
b2苶
Il piano cartesiano e la retta
L’equazione di una retta
y
y
y
y2
x=h
x=0
y=k
y1
A(0;k)
P2
P1
y=0
x
O
O
x
A(h;0)
O
x1
x2
x
y–y1
x–x1
–––––
y2–y1 = –––––
x2–x1
a. Retta parallela all’asse x.
b. Retta parallela all’asse y.
Coefficiente angolare
Rette parallele
y2 − y1
m = ———
x2 − x1
y2 − y1
P(x1;y1)
Rette perpendicolari
y = mx + q
y
Q(x2;y2)
y
c. Retta non parallela agli assi passante
per i punti P1(x1; y1) e P2(x2; y2).
y = mx + q
y
y = mx + q'
x2 − x1
x
O
O
x
1 x + q'
y=− —
m
O
x
I fasci di rette
y
y
r
P
x
a. Fascio proprio di rette per un punto P: insieme di tutte
le rette del piano passanti per P. P è detto centro del fascio.
x
b. Fascio improprio di rette parallele a una retta r.
8
Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
Le coniche
La parabola con asse parallelo all’asse y
y
y = ax2 + bx + c (a 0)
b
asse: x = − —
2a
(
x = ay2 + by + c
y
)
b
asse: y = − —
2a
1− Δ − —)
b
F (——;
2a
4a
Δ
x
−—
4a
Δ
direttrice: x = − 1+
——
4a
b
−—
2a
)
O
1+Δ
direttrice: y = − ——
4a
O
se a 0 la concavità è rivolta nel verso opposto
se a 0 la concavità è rivolta verso il basso
La circonferenza
L’ellisse
(x – α)2 + (y – β)2 = r2
y
(a 0)
V
1−Δ
b ——
F − —;
2a 4a
Δ
b −—
V − —;
2a
4a
(
La parabola con asse parallelo all’asse x
x2 y2
—2 + —2 = 1, a > b
a
b
P
y
B2(0 ; b)
P
O
A1(−a ; 0)
PC = r
C(α; β)
A2(a ; 0)
F1(−c ; 0)
O
F2(c ; 0)
x
x
B1(0 ; −b)
L’iperbole
La funzione omografica
ax + b
y = ———
cx + d
x2 y2
—2 − —2 = 1, a < c
a
b
b x
y=—
a
y
b x
y=−—
a
B2(0 ; b)
F1(−c ; 0)
y
d
x=−—
c
F2(c ; 0)
P
O
x
a
y=—
c
x
O
A2(a ; 0)
A1(−a ; 0)
B1(0 ; −b)
IL SEGMENTO PARABOLICO
Tracciamo la retta parallela ad AB e tangente alla parabola, e consideriamo su di
2
essa le proiezioni A′ e B′ di A e B. L’area del segmento parabolico è uguale a 3
dell’area del rettangolo AA′B′B.
y
B
A
B'
O
9
S=2
–A
3 AA'B'B
S
A'
x
LA SIMMETRIA ASSIALE
P
Fissata nel piano una retta r, la simmetria assiale rispetto alla retta r è quella isometria che a ogni punto del piano P fa corrispondere il punto P′ del semipiano opposto rispetto a r, in modo che r sia l’asse del segmento PP ′, ossia:
●
●
Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
r
P'
r passa per il punto medio di PP ′;
PP ′ è perpendicolare alla retta r.
La retta r è detta asse di simmetria.
Nel piano cartesiano prendiamo in esame le seguenti simmetrie assiali, fornendo le relative equazioni.
a. Simmetria con asse x a (asse parallelo all’asse y)
x′ 2a x
y′y
冦
y
y = y'
O
b. Simmetria con asse y b (asse parallelo all’asse x)
x′ x
y ′ 2b y
冦
P
P'
x
a x' x
x=a
y
y'
b
P'
y
P
y=b
O
c. Simmetria con asse y x (bisettrice del primo e terzo quadrante)
x = x'
y
y
x′ y
y′x
冦
P
y=x
y'
P'
O
x
y
P
y=–x
ⵒ y
P’
y’
ⵒ
冦
x
x'
d. Simmetria con asse y x (bisettrice del secondo e quarto quadrante)
x′ y
y′x
x
e. Simmetria con asse x 0 (asse y)
x′ x
y′y
冦
x
x O
x’
y
x=0
P'
P
Due punti simmetrici rispetto all’asse y hanno ascisse opposte e la stessa ordinata.
x' O
f. Simmetria con asse y 0 (asse x)
x′ x
冦y ′ y
Due punti simmetrici rispetto all’asse x hanno la stessa ascissa e ordinate opposte.
x
y
y
P
O
y=0
y'
P'
x
x
10
Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA
Le funzioni goniometriche
La prima relazione fondamentale
sen2 cos2 1
y
x2 + y2 = 1
B
La seconda relazione fondamentale
sen α = yB
cos α = xB
yB
α
O xB A
sen tg cos x
1
y
tg α = —B
xB
xB
cotg α = —
yB
I grafici delle funzioni goniometriche
y
1
3π
—
2
O
−1
π
—
2
Periodicità: ∀ R, ∀k Z
y = sen x
1
2π x
O
−1
sen( 2 k) sen
π
—
2
LA COSINUSOIDE
π
π
π
—
2
Periodicità: ∀ R, ∀ k Z
LA TANGENTOIDE
y
π
−—
2
y
LA SINUSOIDE
5π
—
2
−π
O
O
π
2π x
y = cotg x
y = tg x
Periodicità: ∀ R, ∀ k Z
cos( 2 k) cos
LA COTANGENTOIDE
y
3π
—
2
y = cos x
2π x
3π
—
2
tg( k) tg Periodicità: ∀ R, ∀ k Z
cotg( k) cotg Seno, coseno e tangente su un triangolo rettangolo
cateto opposto
sen α = ———————
ipotenusa
cateto adiacente
cos α = ————————
ipotenusa
B
B
cateto opposto
tg α = ————————
cateto adiacente
B
ipotenusa
ipotenusa
cateto
opposto
α
a
11
O
cateto
opposto
α
A
b
O
cateto adiacente
A
α
O cateto adiacente A
Le funzioni goniometriche inverse
y
π
—
2
Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
y
π ARCOCOSENO
ARCOSENO
y = arcsen x
π
—
2
x
1
• C.E.: [− 1; 1]
;—
• codominio: 冤− —
2 2冥
π
–—
2
y = arccos x
O
–1
y ARCOCOTANGENTE
y ARCOTANGENTE
π
—
2
y = arccotg x
y = arctg x
O
π
–—
2
x
1
• C.E.: [−
−1; 1]
• codominio: [0; π]:
O
–1
x
π
π
—
2
O
• C.E.: • codominio: 冥− — ; —冤
2 2
x
• C.E.: • codominio: ]0; [
Seno, coseno, tangente e cotangente di angoli notevoli
radianti
gradi
seno
coseno
tangente
cotangente
0
0
0
1
0
non esiste
12
15°
兹6
苶兹2
苶
4
兹6
苶兹2
苶
4
2 兹3
苶
2 兹3
苶
10
18°
兹5
苶1
4
8
6
22°30′
30°
4
兹苶2苶
苶
兹苶
2
2
1
2
兹苶2苶
苶
兹苶
2
2
兹3
苶
2
兹1苶0苶苶
苶
2兹
苶5苶
苶
4
5
36°
4
45°
兹2
苶
2
3
10
54°
兹5
苶1
4
3
60°
2
5
72°
5
12
2
兹1苶0苶苶
苶
2兹
苶5苶
苶兹2苶5苶苶
苶
10
苶兹
苶5苶
苶
5
兹5苶苶
苶
2兹
苶5苶
苶
兹2
苶1
兹2
苶1
兹3
苶
3
兹3
苶
兹5
苶1
4
兹5苶苶
苶
2兹
苶5苶
苶
兹2苶5苶苶
苶
10
苶兹
苶5苶
苶
兹2
苶
2
1
1
兹1苶0苶苶
苶
2兹
苶5苶
苶兹2苶5苶苶
苶
10
苶兹
苶5苶
苶
5
兹5苶苶
苶
2兹
苶5苶
苶
4
5
兹3
苶
2
1
2
兹3
苶
兹3
苶
3
兹1苶0苶苶
苶
2兹
苶5苶
苶
4
兹5
苶1
4
兹5苶苶
苶
2兹
苶5苶
苶
兹2苶5苶苶
苶
10
苶兹
苶5苶
苶
75°
兹6
苶兹2
苶
4
兹6
苶兹2
苶
4
2 兹3
苶
2 兹3
苶
90°
1
0
non esiste
0
5
12
Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
Funzioni goniometriche di angoli associati
e e 2
sen () sen
sen (2 ) sen
y
y
cos () cos
α
−α
O
x
tg ()
cos (2 ) cos
α
tg 2π − α
cotg () cotg
e tg (2 ) tg
x
O
cotg (2 ) cotg
e sen ( ) sen
y
π−α
cos( ) cos
α
x
O
tg( )
sen( ) sen
π+α
y
cos( ) cos
α
tg
tg( )
x
O
cotg( ) cotg
e 2
sen cos
2
冢
y
α
π −α
—
2
α
O
x
冣
cos sen
2
冢
冣
cotg( ) cotg
e 2
π +α
—
2
sen cos
2
冢
y
冢
x
O
冣 cotg
3
e 2
冢
α
O
3 π– α
—
2
α
冢
冣
冢
冣
3
e 2
冢
冣
冢
α
冣
α
3 π+ α
—
2
冣
冢
冣
冢
冣
3
sen cos
2
y
O
3
tg cotg 2
3
cotg tg 2
13
冢
3
cos sen
2
x
冣
cotg tg
2
冣
3
sen cos
2
y
冣
tg cotg
2
cotg tg 2
冢
冣
cos sen
2
α
tg 2
冢
tg
3
cos sen 2
x
冢
冣
3
tg cotg 2
冢
冣
3
cotg tg 2
Le formule goniometriche
Le formule di addizione
sen( ) sen cos cos sen cos( ) cos cos sen sen tg tg tg( ) 1 tg tg con , , k
2
Le formule di sottrazione
Le formule parametriche
2tg 2
sen 1 tg2 2
1 tg2 2
cos , con k2
1 tg2 2
sen( ) sen cos cos sen Le formule di prostaferesi
cos( ) cos cos sen sen pq
pq
sen p sen q 2 sen cos 2
2
pq
pq
sen p sen q 2 cos sen 2
2
pq
pq
cos p cos q 2 cos cos 2
2
pq
pq
cos p cos q 2 sen sen 2
2
tg tg tg( ) 1 tg tg con , , k
2
Le formule di duplicazione
sen 2 2 sen cos Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
cos 2 cos2 sen2 2tg tg 2 1 tg2 Le formule di Werner
Le formule di bisezione
os 冪
莦1莦莦2c
莦莦莦
1 cos cos 冪
莦
莦莦2
莦莦莦
2
1 cos tg 冪
莦
2
1莦
莦c莦
o莦
s莦
sen 2
1
sen sen [cos( ) cos( )]
2
1
cos cos [cos( ) cos( )]
2
1
sen cos [sen( ) sen( )]
2
L’angolo fra due rette
r y mx q,
con m tg s y m′x q′,
con m′ tg y
r
s
m m′
tg tg( ) .
1 mm′
γ
π–γ
γ
B
β
O
C
π–γ
α
A
x
14
Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
Equazioni goniometriche elementari
Un’equazione si dice goniometrica se contiene almeno una
funzione goniometrica dell’incognita. Si chiamano elementari
le equazioni goniometriche del tipo:
x = (π−
− α) + 2kπ
x = α + 2kπ
Y
sen x a, cos x b, tg x c.
a
α
O
determinata se 1 a 1
X
sen x a
impossibile se a 1 ∨ a 1
cos x b
determinata se 1 b 1
impossibile se b 1 ∨ b 1
tg x c
determinata ∀c R
x = β + 2kπ
x = γ + kπ
Y
Y
c
β
b
O
O
X
γ
X
x = − β + 2kπ
Ci sono particolari equazioni elementari che si possono risolvere con le proprietà della seguente tabella.
15
Tipo di equazione
Proprietà
sen sen ′
sen sen ′ ⇔ ′ 2k
∨ ′ 2k
sen sen ′
sen ′ sen (′)
sen cos ′
cos ′ sen ′
2
sen cos ′
cos ′ sen ′ sen ′
2
2
cos cos ′
cos cos ′ ⇔ ′ 2k
cos cos ′
cos ′ cos ( ′)
tg tg ′
tg tg ′ ⇔ ′ k
tg tg ′
tg ′ tg (′)
冢
冣
冢
冣
冢
冣
LE EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO
a sen x b cos x c 0
Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
a 0, b 0
Metodo algebrico
●
●
b
c 0 → si divide per cos x → tg x .
a
c 0 → si determinano le eventuali soluzioni di tipo x 2k;
se x 2k, applicando le formule parametriche si ottiene
冦
t 2(c b) 2at b c 0
x
t tg 2
Metodo grafico
Si sostituisce Y sen x e X cos x e si risolve quindi il sistema seguente:
冦 XaY YbX1c 0
2
2
Metodo dell’angolo aggiunto
Si risolve il sistema seguente:
冦
c
sen(x ) r
r 兹a
苶2苶
苶
b 2苶
b
tg a
LE EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO
a sen2x b cos x sen x c cos2x 0
Primo metodo
●
●
a 0 → cos x (b sen x c cos x) 0
a 0 → si divide per cos2x → a tg2x b tg x c 0
Secondo metodo
冦
sen 2x
sen x cos x 2
1
c
os2x
Sostituendo sen2x si ottiene un’equazione lineare.
2
1
c
os2x
cos2x 2
Un’equazione lineare della forma
a sen2x b sen x cos x c cos2x d
(d 0)
è riconducibile a un’equazione omogenea sostituendo d d(cos2x sen2x).
16
Matematica
UNITUTOR MEDICINA 2015
Disequazioni goniometriche
Primo metodo
Secondo metodo
Si studia la posizione reciproca tra il grafico della
funzione goniometrica e la retta y a.
Si disegna la circonferenza goniometrica, si risolve l’equazione associata, si determinano gli archi
in cui è soddisfatta.
La funzione seno
y
sen x > a
sen x > a
y=a
α2
α1
α2
sen x < a
a
α1
x
sen x < a
sen x a → 1 2k x 2 2k; sen x a → 0 2k x 1 2k ∨ 2 2k x 2 2k
La funzione coseno
y
cos x > a
cos x > a
cos x < a
a
α2
α1
α1
α2
y=a
x
cos x < a
cos x a → 0 2k x 1 2k ∨ 2 2k x 2 2k; cos x a → 1 2k x 2 2k
La funzione tangente
y
tg x > a
tg x > a
a
y=a
tg x < a
α1 + π
α1
α1
x
tg x < a
tg x < a
tg x > a
tg x a → 1 k x k; tg x a → k x 1 k
2
2
17

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