mg - Infn

Laboratorio di Sperimentazione di Fisica Corso di Laurea in Matematica Dr. R. Cerulli Guide di laboratorio (versione 0.9) 1
Esperienza n. 2 Cannoncino balistico (misura della gittata) Materiale a disposizione:
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Cannoncino ad alzo variabile
pedana
pallina di acciaio
carta millimetrata
metro a nastro
carta copiativa
pc
software di analisi dati LoggerPro
Scopo dell’esperienza:
A. Misura della gittata, x g , a vari alzi, α , ed a velocità iniziale, v0 , fissata.
v02
sen(2α ) .
g
C. Misura della velocità iniziale del proiettile.
B. Verifica della legge x g =
Montaggio:
Fissare il cannoncino al tavolo di lavoro. Montare la pedana sull’asta e fissarla alla stessa altezza
del punto di partenza del proiettile. Fissare la carta millimetrata sulla pedana. Posizionare senza
fissarla la carta copiativa sopra la carta millimetrata.
O
P
d1
d2
A. Procedura per la misura della gittata a vari alzi ed a velocità iniziale fissata.
1. Si scelga una velocità iniziale tra le tre disponibili sul cannoncino balistico.
2. Effettuare misure della gittata, x g , (e relativo errore) per almeno cinque valori dell’alzo, α
(~ 10o, ~ 20o, ~ 30o, ~ 35o, ~ 45o) alla velocità iniziale scelta. Valutare l’errore di lettura su
α.
2
Procedura per la misura di x g e relativo errore.
1. Posizionare la carta copiativa ed il foglio di carta millimetrata sulla pedana.
2. Alla velocità iniziale scelta e per ciascun valore dell’alzo effettuare almeno 10 lanci del
proiettile.
3. La gittata, x g i , di ciascun lancio è data dalla somma xgi = d1 + d2i , dove d1 è la distanza
misurata con il metro a nastro tra il punto di sparo ed un punto fisso di riferimento sul foglio
di carta millimetrata. La grandezza d2i è la distanza tra il punto di impatto della pallina sulla
carta millimetrata (segnata dalla carta copiativa) ed il punto fisso di riferimento sul foglio di
carta millimetrata. Naturalmente d1 può essere misurato una sola volta per ciascun alzo,
mentre d2i varierà per ciascun lancio; questo è dovuto alle fluttuazioni statistiche associate
alla determinazione della gittata. Commentare.
4. Valutare l’incertezza (massima) Δ𝑑! considerando la sensibilità del metro a nastro.
5. Si calcoli media ( d2i ), deviazione standard della distribuzione delle misure (𝜎!! ) e
deviazione standard della media (𝜎!! ). Quale errore (massimo o statistico) si associa a 𝑑! ?
6. Calcolare quindi 𝑥! = 𝑑! + 𝑑! . Determinare l’errore massimo, ∆𝑥! , o statistico (𝜎!! ) da
associare a x g .
v02
B. Verifica della legge x g = sen(2α ) e misura di v0 .
g
1. Costruire la seguente tabella con i dati misurati e relativi errori:
α ± Δα
sen(2α ) ± Δsen(2α )
x g ± Δx g
(m)
o
~ 10
~ 20o
~ 30o
~ 35o
~ 45o
2. Riportare i dati su di un grafico con LoggerPro: x g vs sen(2α ) .
3. Stampare il grafico e verificare qualitativamente che si è in presenza di una dipendenza
lineare.
C. Misura della velocità iniziale del proiettile.
1. Utilizzare il software LoggerPro per eseguire il fit lineare dei dati e ricavare i parametri
della retta di interpolazione con i relativi errori: x g = a + b ⋅ sen(2α ) .
2. a risulta compatibile con zero? Commentare.
v2
3. Sapendo che b = 0 , ottenere la migliore stima di v0 e del suo errore a partire dal valore di
g
b ottenuto dal fit. Si ricordi che se si è in presenza di errori massimi:
3
⎛ 1 Δb 1 Δg ⎞
⎟⎟ ,
Δv0 = v0 ⋅ ⎜⎜ ⋅
+ ⋅
⎝ 2 b 2 g ⎠
mentre
se
si
è
in
presenza
di
errori
casuali:
2
2
⎛ 1 σ (b) ⎞ ⎛ 1 σ ( g ) ⎞
⎟⎟ .
σ (v0 ) = v0 ⋅ ⎜ ⋅
⎟ + ⎜⎜ ⋅
⎝ 2 b ⎠ ⎝ 2 g ⎠
... un pò di Fisica: il cannoncino balistico ...
!
Un proiettile di massa m viene lanciato da un cannoncino balistico con velocità iniziale v0 .
y
!
mg
v0 y
o
!
v0
!
mg
v0α
x
xg
x
!
!
Esso è soggetto alla sola forza peso e il suo moto è descritto dall’ equazione: F = mg . Questa
equazione può essere riscritta nel sistema di coordinate x,y: Fx = m!x! = 0 ; Fy = m!y! = −mg da cui,
per integrazioni successive, e considerando le condizioni iniziali:
x(t = 0) = 0 ; x! (t = 0) = v0 cos(α )
y (t = 0) = 0 ; y! (t = 0) = v0 sen(α )
si ottiene:
⎧ x! (t ) = v0 cos(α )
⎨
⎩ y! (t ) = v0 sen(α ) − g ⋅ t
x(t ) = v0 cos(α ) ⋅ t
⎧
⎪
e ⎨
1
2
⎪⎩ y (t ) = v0 sen(α ) ⋅ t − 2 g ⋅ t
Quindi, la traiettoria seguita dal proiettile è una parabola nel piano x,y descritta dall’equazione
parametrica precedente.
La gittata, x g , è definita dalle condizioni: x(t = t * ) = xg e y(t = t * ) = 0 . Cioé:
⎧
x g = vo cos(α ) ⋅ t *
2v
⎪
⇒ t * = 0 sen(α )
1
⎨
*
*2
g
⎪⎩0 = v0 sen(α ) ⋅ t − 2 g ⋅ t
(la soluzione t * = 0 è triviale).
e
4
xg =
2v02
v2
sen(α ) ⋅ cos(α ) = 0 sen(2α ) c.v.d.
g
g
Esperienza n. 3 Misura statica e dinamica della costante elastica di una molla Materiale a disposizione:
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!
!
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!
!
!
!
Una molla di costante elastica k
Vari pesi di massa mi
Una asta con scala graduata
Una bilancia di precisione
Un cronometro
Pc
Sistema di acquisizione dati
Software di analisi dati LoggerPro
Scopo dell’esperienza:
!
!
!
!
!
Misura della costante elastica, k, di una molla mediante misure statiche.
Misura della costante elastica equivalente di un sistema di 2 molle in parallelo e in
serie mediante misure statiche.
g
Verifica della legge x = m + x0 .
k
Misura della costante elastica di una molla mediante misure dinamiche.
m
Verifica della legge T = 2π
k
Montaggio:
x0
x1
!
mg
5
Misura della costante elastica, k, della molla mediante misure statiche.
1. Misurare con la bilancia di precisione la massa della calamita e dell’indicatore e le masse
date in dotazione.
2. Misurare l’allungamento della molla per almeno sei valori diversi della massa m. Lo zero
della scala dell’asta graduata può essere fissato come si preferisce (la sua definizione
rinormalizza il valore di x0).
3. Per ciascun caso, la lettura dell’allungamento sull’asta graduata avviene con l’aiuto di un
indice montato su una calamita.
4. Stimare l’errore per ogni lettura di x.
5. Costruire la seguente tabella con i dati misurati e relativi errori:
m ± Δm
m1
m2
m3
m4
m5
m6
x ± Δx
(g)
(cm)
6. Riportare in un grafico “ x vs m” utilizzando il software LoggerPro
Verifica della legge x =
g
m + x0
k
7. Verificare qualitativamente che si è in presenza di una dipendenza lineare.
8. Utilizzare il software LoggerPro per eseguire il fit lineare dei dati e ricavare i parametri
della retta di interpolazione con i relativi errori: x = a + b ⋅ m .
9. a risulta compatibile con x0? Commentare.
g
10. Sapendo che b = , ottenere la migliore stima di k e del suo errore a partire dalla
k
determinazione di b e del valore noto dell’accelerazione di gravità.
Misura della costante elastica, k, di un sistema di due molle in serie e in parallelo mediante misure
statiche.
1. Si dispongano due molle in serie, fissando la seconda all’estremità della prima e si ripeta
quanto fatto nei punti precedenti per ricavare ks (costante elastica equivalente del sistema).
2. Si verifichi la relazione: 1/ks=1/k1+1/k2
3. Si dispongano due molle in parallelo e si ripeta quanto fatto nei punti precedenti per ricavare
kp (costante elastica equivalente del sistema).
4. Si verifichi la relazione: kp=k1+k2
6
Misura della costante elastica, k, della molla mediante misure dinamiche.
1. Effettuare misure del periodo di oscillazione della massa m per almeno sei valori di m
utilizzando il sistema di acquisizione dati col sensore di posizione ed il software LoggerPro
di analisi dei dati registrati.
2. Costruire la seguente tabella con i dati misurati e relativi errori:
m ± Δm
m1
m2
m3
m4
m5
m6
(g)
T1 ± ΔT1
(s)
T12 ± ΔT12 (s2)
3. Riportare in un grafico T12 vs m
4. Lo stesso si esegua anche per il caso di un sistema di due molle in serie e in parallelo
Procedura per la verifica della legge T = 2π
m
e misura di k.
k
5. Verificare qualitativamente che si è in presenza di una dipendenza lineare.
6. Utilizzare il software LoggerPro per eseguire il fit lineare dei dati e ricavare i parametri
della retta di interpolazione con i relativi errori: T12 = a + b ⋅ m .
7. a risulta compatibile con zero? Commentare.
4π 2
8. Sapendo che b =
, ottenere la migliore stima di k e del suo errore a partire dalla
k
Δb
determinazione di b. Si ricordi che Δk = k ⋅
.
b
9. Si verifichi che i valori di ks e kp ricavati siano compatibili con quelli attesi a partire dai
valori di k1 e k2
... un pò di Fisica: le forze elastiche ...
Caso statico.
Una massa, m, è appesa ad una molla di massa trascurabile e costante elastica k. Assumiamo come
asse x l’asse verticale orientato verso il basso. Con x0 si indica la posizione di riposo della molla. Le
forze che agiscono sulla massa m sono la forza peso e la forza di richiamo della molla. Si può,
quindi, scrivere:
m
d 2x
= −k ( x − x0 ) + mg
dt 2
g
m + x0 .
k
Quindi, misurando gli allungamenti della molla, x, al variare della massa m si ottiene un andamento
In condizioni di equilibrio (condizione statica) si ha: 0 = −k ( x − x0 ) + mg ; cioè x =
7
lineare il cui coefficiente angolare è g/k. La stima di tale coefficiente permette di ottenere una stima
della costante elastica della molla, k.
Molle in parallelo
Nel caso di due molle in parallelo di costanti elastiche rispettivamente k1 e k2, si ha:
𝑑! 𝑥
𝑚 ! = −𝑘! 𝑥 − 𝑥! − 𝑘! 𝑥 − 𝑥! + 𝑚𝑔
𝑑𝑡
ovvero
𝑑! 𝑥
𝑚 ! = −(𝑘! + 𝑘! ) 𝑥 − 𝑥! + 𝑚𝑔
𝑑𝑡
Pertanto, dal confronto con un sistema equivalente composto da una sola molla di costante kp che si
elonga di una quantità x quando ad essa è appesa una massa m, si ottiene che la costante elastica
equivalente è data da
𝑘! = 𝑘! + 𝑘!
Molle in serie
In questo caso si possono scrivere due equazioni per le due molle:
𝑚
! ! !!
!! !
= −𝑘! 𝑥! − 𝑥! + 𝑚𝑔
Nel caso statico si ottiene
𝑚
𝑘! 𝑥! = 𝑚𝑔
! ! !!
!! !
= −𝑘! 𝑥! − 𝑥! + 𝑚𝑔
𝑘! 𝑥! = 𝑚𝑔
per il sistema equivalente composto da una sola molla di
che si elonga di una quantità x=x1+x2 quando ad essa è appesa una massa m risulta
costante
ks,
k s x = k s (x1 + x2 ) = mg
Sostituendo x1 e x2 con le loro espressioni in funzione di mg si ottiene il valore dalla costante
elastica equivalente:
1 / k s = 1 / k1 + 1 / k 2
Caso dinamico.
Posizionando la massa m fuori della posizione di equilibrio e rilasciandola, si avrà un moto
armonico oscillatorio (condizione dinamica) intorno alla posizione di equilibrio. La soluzione
dell’equazione differenziale:
d 2x
m 2 + kx = kx 0 + mg
dt
si ottiene dalla somma della soluzione dell’equazione differenziale omogenea ( A ⋅ sin(ωt + φ ) ) e di
g
una soluzione particolare dell’equazione differenziale disomogenea ( x0 + m ):
k
g ⎞
⎛
x(t ) = A ⋅ sin(ωt + φ ) + ⎜ x0 + m ⎟
k ⎠
⎝
8
2π
k
. Le costanti A e φ sono le due costanti di integrazione dell’equazione
=
T
m
differenziale omogenea del secondo ordine da determinarsi in base alle condizioni iniziali.
Misurando per varie masse m il periodo di oscillazione T, si può ricavare il valore della costante
4π 2
m
2
elastica k. Infatti: T = 2π
o T =
⋅ m ; cioè esiste una dipendenza lineare tra T2 e m.
k
k
Determinando il coefficiente di proporzionalità si ha una stima della costante elastica k.
con ω =
9

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