Matematica - C.d.L. in Scienze Biologiche A.A. 2013/2014 Università dell’Aquila Prova Scritta di Matematica del 2 settembre 2014 - Canale B Nome e Cognome: Matricola: Per evitare la valutazione del compito scrivere qui RITIRATO/A e firmare: Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 Es. 6 Es. 7 Totale Esercizio 1. Considerare, al variare del parametro k ∈ R, la funzione quadratica f (x) = (k + 1)x2 + 3x + k. Per quali k ∈ R la funzione f (x) è costantemente maggiore di 1? 1 √ Esercizio 2. Si consideri il vettore bidimensionale v = (3, − 3). a) Calcolare il modulo di v. √ b) Determinare l’angolo formato da v col vettore u = (1, 3). c) Trovare un vettore w parallelo a v e avente lo stesso modulo di u. d) Trovare un’equazione cartesiana per la retta perpendicolare a v e passante per il punto (−2, 2). 2 Esercizio 3. Si consideri la funzione f (x) = ln(3x) − x. a) Studiare la funzione f (x), in particolare determinandone dominio, comportamento agli estremi, ed eventuali massimi e minimi. b) A posteriori, cosa si può dire del numero degli zeri di f (x)? 3 Esercizio 4. a) Trovare tutte le funzioni ovunque positive f (x) tali che 2f 0 (x) + f (x) = 0. (Suggerimento: considerare la funzione g(x) = ln f (x) e calcolarne la derivata). b) Fra tutte le funzioni trovate al punto precedente, individuare quella tale che f (0) = 2 . Esercizio 5. Disegnare il grafico della funzione f (x) = cos 2x per 0 ≤ x ≤ π2 . Considerare poi la regione limitata di piano racchiusa dal grafico appena disegnato e dalle rette y = 12 e x = 0 e calcolarne l’area. 4 Esercizio 6. Determinare, al variare di α ∈ R il numero di soluzioni del sistema lineare Ax = b, ove α −1 x 3 A= , x= , b= . −1 2α + 1 y α+4 Risolvere infine il sistema Ax = b nel caso α = 2. 5 Esercizio 7. a) Disegnare il grafico di una funzione derivabile f : (0, +∞) → R che sia monotona decrescente e tale che Im (f ) = (1, +∞). b) Dare un esempio esplicito di funzione che soddisfi le caratteristiche sopra descritte (Attenzione: l’insieme naturale di definizione di f non deve necessariamente coincidere con (0, +∞)). 6