Tutoraggio di Algebra Lineare, Canale I

Tutoraggio di Algebra Lineare, Canale I-Z
Mercoled`ı 15 Ottobre 2014
→
−−→
2 due vettori non paralleli. Si considerino i vettori −
Esercizio 1. Siano ~i, ~j ∈ VO
OA = ~i + 7~j, OB = 3~i + 5~j,
−−→
−→ −−→
−−→
OC = 2~i − ~j. Determinare per quali valori del parametro a ∈ R il vettore ~v = 3OA + OB + aOC `e un
multiplo di ~j.
Esercizio 2. Studia questo sistema di equazioni :


 9x + y + z + t

8x + 2y + z + t
6x
+ 7y + 3t



6x + 5y + t
=
=
=
=
Esercizio 3. Studia questo sistema al variare del parametro

 3x + 2y + kz =
2x − 6y − 3z =

kx + 4y + 2z =
3
1
.
1
1
k∈R:
11
0 .
7
Esercizio 4. Sia V uno spazio vettoriale.
1. Dimostra che il vettore nullo OV `e unico.
2. Dimostra, usando solo gli altri assiomi di spazio vettoriale, che 0 · v = OV per ogni vettore v ∈ V.
3. Dimostra, usando solo gli altri assiomi di spazio vettoriale, che il vettore opposto di v ∈ V `e unico,
ed `e dato da (−1) · v = −v.
4. Dimostra che λ · v = OV se e solo se λ = 0 oppure v = OV .
Soluzioni
Soluzione.[Esercizio 1] Ilvettore ~v `e un multiplo di ~j se e sole se a = −3.
Soluzione.[Esercizio 2] Il sistema ammette un unica soluzione :
x=
9
11
51
11
, y=− , z=− , t= .
10
10
10
10
Soluzione.[Esercizio 3] Usando l’eliminazione di Gauss, troviamo
x =
21
,
3k + 4
(k − 1)z = (k − 1)
y =
x z
− .
3 2
33
,
3k + 4
Analisi : Se k = −4/3 il sistema non ha soluzioni. Se k = 1 il sistema ha una retta di soluzioni :
z ∈ R, x =
21
7
z
, y=
− .
3k + 4
3k + 4 2
Se k ∈
/ {−4/3, 1}, il sistema ha un’ unica soluzione :
x=
21
33
19
, z=
, y=−
.
3k + 4
3k + 4
2(3k + 4)
Soluzione.[Esercizio 4]
4.1 Supponiamo che OV a OV0 sono due vettori nulli. Allora, l’assiome del vettore nullo applicato a OV e
OV0 da :
OV + OV0 = OV ,
OV + OV0 = OV0 .
Ovviamente OV = OV0 .
4.2 Per distributivita viene
0 · v + 0 · v = (0 + 0) · v = 0 · v.
Aggiungiamo il vettore opposto −(0 · v), e otteniamo 0 · v = 0V .
4.3 Iniziamo con
v + (−1) · v = 1 · v + (−1) · v = (1 − 1) · v = 0 · v = OV ,
e aggiungiamo un vettore opposto −v. Otteniamo (−1) · v = −v per ogni vettore opposto −v.
4.4 Se λ = 0, allora abbiamo gi`
a visto che λ · v = 0 · v = OV . Se v = OV , allora per ogni w ∈ V
λ · OV + w = λ · OV + λ · (1/λ · w)
= λ · (OV + (1/λ · w))
= λ · (1/λ · w)
(associativita)
(distributivita)
(vettore nullo)
= w.
Quindi λ · OV `e il vettore nullo di V, cio`e λ · OV = OV . Adesso, facciamo l’altra implicazione. Se λ · v = 0,
o λ = 0, o λ 6= 0 e scriviamo v = (λ−1 · λ) · v = λ−1 · (λ · v) = λ−1 · OV = OV .

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