Esercizi sui limiti di funzioni utilizzando le formule di Taylor.

Corso di Analisi Matematica T-1
Ingegneria Edile, Anno Accademico 2014/15
M. Manfredini
LIMITI DI FUNZIONI: seconda parte
Formule di Taylor per x → 0
x5
x3
+
+ o(x5 ),
sin x = x −
6
120
ex = 1 + x +
x2 x3
+
+ o(x3 ),
2
3!
(1 + x)α = 1 + αx +
x2 x4
cos x = 1 −
+
+ o(x4 ), x → 0
2
24
log(x + 1) = x −
x2 x3
+
+ o(x3 ), x → 0
2
3
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
x +
x + o(x3 ), x → 0,
2
3!
∀α ∈ R \ N
1
= 1 − x + x2 − x3 + o(x3 ), x → 0,
1+x
arctgx = x −
x3
+ o(x3 ),
3
x3
+ o(x3 ), x → 0.
3
tan x = x +
Utilizzando eventualmente le precedenti formule di Taylor calcolare (qualora esistano) i seguenti limiti:
e2 cos x−x − e2
;
1) lim+
x→0
x2
2
√
sen 3 x6 + x8
√
4) lim
;
x→0 log(1 +
x2 + x3 )
log(2x + 1)
3) lim
;
x→+∞
x
(
5) lim (1 + x) e
x→+∞
2x−1
x+1
−e
2
log(cos x)
;
x→0 log(1 + x2 )
2) lim
√
)
;
6) lim+
x→0
(√
)
√
3
7) lim x
x6 + 2x4 − x9 + 3x7 ;
x→+∞
√
x2 + x3 − 4 x4 + 3x5
;
x2
(
)
1
8) lim x 1 − cos 2 ;
x→+∞
x
5
x2 − sen2 x
;
x→0 x3 (ex − cos x)
x4 + x3
x3 + 1 2x2 + x
log 3
log 2
;
x→+∞ x + 1
x −1
x +1
9) lim
x − senx
11) lim
;
x→0 x log(cos x)
10) lim
√
4
1 − 4x2 + x4 − 1 + x2
12) lim
;
x→0
x4
1 − e−x + x3 sen x1
14) lim
;
x→0
x2
2
15) lim+
x→0
17) lim+
x→0
xx − 1 − xlogx
;
xlog 2 x
16) lim+
x→0
log(1 + x + x2 ) − x
;
(1 − cos(x + x3 + x4 ))xx
log(2 − cosx)
;
x→0 sen2 x + 2x2 + 4x3
21) lim
1
23) lim+ (e5x + x2 ) x ;
x→0
Soluzioni: 1) −2e2 , 2) − 12 , 3) log2,
9) 2log2
10) 13 , 11) − 13 , 12) − 54 ,
21) 16 , 22) +∞, 23) e5 ,
26) − 61 .
log(cosx)
;
x→0 tgx senx
20) lim
22) lim+
x→0
26) lim+
x→0
4) 0,
14) 1,
log(1 + x + x2 )
;
1 − cos(x + x3 )
(1 + x)6 − esenx
;
1 − cos(x2 + 3x)
sen(x + x2 ) − x − x2
;
x3
5) −3e2 , 6) − 41 , 7) 12 ,
15) 0,
16) +∞, 17) 1,
8) +∞,
20) − 12 ,

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