周波数の世界 • 画像の周波数を音とのアナロジー（類推）で 説明する。 – 低い周波数：おおまかな絵 – 高い周波数：細かい絵 出典：ユーザーズディ ジタル信号処理 音と画像の周波数 出典：ユーザーズディ ジタル信号処理 1 フーリエ変換の性質（１） 画像のフーリエ変換 電波や音波などのように時間的変動する波 動に対して使われる周波数は： ・フーリエ級数→周期関数に適用 cycles/sec → ・有限な区間で定義された非周期 関数f(x)は 左図に示すように周 関数f(x)は、左図に示すように周 期関数fL(x)の周期Lを無限大にし た場合に相当すると考えることが できる。 Hz ・フーリエ変換→非周期関数 (時間周波数) 画像の場合は、空間的変動： Lines pair/mm → LP/mm, cycles/mm ,1/mm, (mm)-1 (空間周波数) フーリエ変換の性質（2） ●空間周波数 u （cycles/mm)で表すと w=2πu +∞ + F (u ) = ∫ f ( x )e −i 2πux dx (1) −∞ +∞ F ( w) = +∞ f ( x) = ∫ f ( x )e −iwx dx (角各周波数) −∞ ∫ F (u )e i 2πux du (2) −∞ 1 f ( x) = 2π +∞ ∫ F ( w)e −∞ iwx dw (角各周波数) ●f(x) は左の(1)式によっ て空間周波数成分の分布 （スペクトル）F(u)に分解で きる （フ リ 変換） きる。（フーリエ変換） ●また、 f(x) は左の(2) 式によって、スペクトル F(u)から合成できると考え る。言い換えるとF(u)は、 (2)式によって、f(x)に逆 戻りができる （逆フーリエ変換） 偶関数および奇関数のフーリエ変換 偶関数：y軸に対称な関数 で、次のような関係がある f (− x) = f ( x) ∫ +∞ −∞ ∞ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx 0 cos(wt) → 奇関数：原点に対称な関数 で、次のような関係がある f (− x) = − f ( x) ∫ +∞ −∞ f ( x)dx = 0 偶関数 sin(wt) →奇関数 偶×偶＝偶、 奇×奇＝偶 偶×奇＝奇、 奇×偶＝奇 したがって、偶関数のフーリエ変換 は実数に、奇関数のフーリエ変換は 純虚数になる。 （証明を）：課題 2 パーシバル(Parsebal)の定理 フーリエ変換の対称性 f ( x) = 1 2π +∞ ∫ F ( w)e iwx dw −∞ x→-x f ( − x) = 置き換える 1 2π ∫ +∞ −∞ 関数f(x)のフーリエ変換F(w)は、一般に複素数となる。F(w) の共役複素数をF*(w)とすれば： F ( w)e −iwx dw 1 2π ∫ +∞ −∞ 2 x と w を入れ替えると 1 2π f (− w) = ∫ +∞ −∞ 1 2π 1 = 2π ∫ +∞ ∫ +∞ F ( w) dw = +∞ −∞ =∫ [ F ( x )e −iwx dx −∞ −∞ F ( w) F ∗ ( w)dw +∞ F ( w) ∫ f ( x)e iwx dxdw −∞ 1 +∞ F ( w)e iwx dw] f ( x)dx 2π ∫−∞ +∞ = ∫ f ( x) 2 dx −∞ +∞ F ( w) = ∫ f ( x )e −iwx dx F(w)=F[f(x)] F[F(x)]=f(-w) −∞ F[F(x)]=f(-w) 0=(iwτ)+(-iwτ) f ( x) ∗ g ( x) = ∫ f (τ ) g ( x − τ )dτ +∞ F [ f ( x) ∗ g ( x)] = ∫−∞ [ f (τ ) ∗ g ( x − τ )dτ ]e −iwx dx = ∫ f (τ )e −∞ +∞ dτ ∫ g ( x − τ )e −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ 1 2π ∫ +∞ −∞ 2 F ( w) dw = ∫ f (τ )e −iwt ∫ g ( x)e −iwx dx −iw ( x −τ ) F [ f ( x ) ∗ g ( x )] = F ( w)G ( w) ●畳み込み積分のフーリエ変換は、それぞれの関数 のフーリエ変換の積で表されことを示している。 −∞ −iwτ −∞ f ( x ) 2 dx = 畳み込み積分定理(2) ２つの関数f(x)とg(x)が与えられたとき、f(x) と g(x) の畳 み込み積分（あるいは、コンボリューション積分ともい う）は、 f ( x ) ∗ g ( x ) で表される。 +∞ +∞ ｜F(w)|2 はパワースペクトルと呼ばれる 畳み込み積分定理(1) +∞ ∫ トータルのパワー（エネルギー）は実空間領域でも、空間周波数領域で 求めても同じであることを示している。 フーリエ変換の対称性 F(w)=F[f(x)] Parsebal dx ●したがって、画像処理では実空間で畳み込み演算 がよく行われるが、まったく同等の画像処理が、空 間周波数領域では単純な積で行えることを、畳み込 み積分定理は示している。 = F ( w) × G ( w) 3 畳み込み積分(Convolution Integral)のイメージ フーリエ変換の応用 証明： 教科書：p 17 sinc シンク関数と 呼ばれている F ( w) = sin( wd ) wd F ( w) = 出典：わかりやすい ディジタル信号処理 デルタ関数のフーリエ変換 ∫ ∫ sin( wd ) wd 方形パルス幅dを狭く すれば、フーリエ変換 の幅は大きくなる デルタ間数列のフーリエ変換 +∞ −∞ δ ( x) = 1 +∞ −∞ デルタ関数のフーリエ変 換は、wの値にかかわら ず常に１である f ( x)δ ( x)dx = f (0) +∞ F ( w) = ∫ δ ( x)e −∞ −iwx dx = e −iw 0 =1 ・一定の周波数スペクト ル→白色スペクトル 図に示されているように、デルタ関数が周期 x0で無限に繰りさえる関数f(x)はデルタ関数 列あるいはコム（comb）関数と呼ばれる。 4
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