東京工業大学大学院経営工学専攻 2010/6/11 年金数理第8回財政方式２講師：渡部善平((株)ＩＩＣパートナーズ) 2010/6/11 年金数理第8回 1 Ｅｘｃｅｌシートが開けない人へ経営工学専攻掲示板の2009年アップ分を見てください。それでも駄目なら講師渡部までメールすること！ [email protected] 2010/6/11 年金数理第8回 2 第8回の目的 • Trowbridgeモデルと諸概念の算式を理解する • 引き続き典型的な財政方式の計算を理解する – 単位積立方式 – 加入年齢方式 2010/6/11 年金数理第8回 3 心がけてほしいこと • 算式を用いた定義の意味を頭に叩き込む • その定義を覚える • 算式の展開を我慢強く行うことをいとわない • 数種類の算式表現を自由自在にできるようにする • 同時にそれらが何を意味するかを考える • ひとに説明するつもりで反芻する • 実際の数値にあてはめて計算する（Excel sheetの有効活用） 2010/6/11 年金数理第8回 4 財政方式とは年金制度から支払われる給付金（年金や一時金）の財源を確保するための準備計画＝具体的にいつ、どれだけ積み立てていくか据置期間積立期間入社 (加入 ) 完全積立方式加入時積立方式支給期間脱退 (退職 ) 単位積立方式平準積立方式支給開始退職時年金支給終了賦課方式現価積増方式積立方式事前積立方式 2010/6/11 年金数理第8回 5 Trowbridge-モデル 2010/6/11 年金数理第8回 6 Trowbridgeモデルの定義 1952年Charles L.Trowbridge氏により紹介。以下の前提に基づく年金制度で、この制度の上で各種財政方式の考察がなされた ① 給付種類：退職年金 ② 受給資格：定年年齢に到達して年金制度を脱退した時 ③ 年金年額：毎年1（年1回期始払い） ④ 給付期間：即時支給開始終身（保証期間無） ⑤ 掛金払込時期：年1回期始払い（毎年度の新規加入者の加入後、毎年度の給付支払前に払込む） ⑥ 加入者被保険者集団：定常人口 ⑦ 新規加入員の見込み：定常人口を保つように最低年齢における人数と同数が毎年加入する 2010/6/11 年金数理第8回 7 Trowbridgeモデルにおける給付現価  年金受給権者の給付現価  S   l・ x ax p x  xr xr : : 2010/6/11 定年年齢最終年齢（考えられる最高齢）年金数理第8回 8 Trowbridgeモデルにおける給付現価加入員の給付現価（現在加入員全期間分） S  a 据え置き年金現価 S  xr 1 (T )  x x  xe  xr 1 T   x x  xe a l l xr axr v lx l l x1  ( x2 xr  x  l x1  (( Dx2  ax2 ) / Dx1 )  l x1  ( N x2 / Dx1 ) (T ) axr  Dx・ r l ・  Dx l x1  v x2  x1  ax2 )  l x1  ( Dx2 / Dx1  ax2 )  xr 1 T  N xr xr 1 (T )    l x ・   l xr axr v xr  x D x x  xe  x  xe xe : 新規加入年齢重要据え置き年金現価 2010/6/11 年金数理第8回 9 Trowbridgeモデルにおける給付現価加入員の給付現価（現在加入員過去期間分） axr  x  xe   Dx・ r ・ S  l ・  xr  xe   Dx xr 1 x  x (T ) e   l xr axr v xr  x x  xe x  x r e a PS xr 1 T   x x  xe  S a PS   xr 1 T   x  xe  N xr    l x ・ ・  x  xe  xr  xe  Dx （全期間分再掲） S  a 2010/6/11 axr  Dx・ r l ・  Dx xr 1 T   x x  xe  xr 1 T  N xr xr 1 (T )    l x ・   l xr axr v xr  x Dx x  xe  x  xe 年金数理第8回 10 Trowbridgeモデルにおける給付現価給付現価４加入員の給付現価（現在加入員将来期間分） S a FS axr  xr  x   Dx・ r ・  l ・  xr  xe   Dx xr 1 x  x (T )   r l xr axr v xr  x x  xe x  x r e xr 1 T   x x  xe S  a FS  xr 1 T   xr  x  N xr    l x ・ ・  x  xe  xr  xe  Dx （全期間分再掲） S  a 2010/6/11 axr  Dx・ r l ・  Dx xr 1 T   x x  xe  xr 1 T  N xr xr 1 (T )    l x ・   l xr axr v xr  x Dx x  xe  x  xe 年金数理第8回 11 Trowbridgeモデルにおける給付現価給付現価５加入員の給付現価（将来加入員）   Sf 据え置き年金現価定常人口を仮定しているため、次年度以降期始に毎年 lx e T  名の加入が見込まれる毎年度の新規加入員の加入時点における給付現価： lx e T   Nxr  ・   Dx e  翌期始から永久に加入してくる新規加入員の給付現価：上記× 上記の期末払い無限年数年金現価 N xr v T   S   ・l xe ・  Dx d   e f 2010/6/11     年金数理第8回＝上記× v・a v d 詳しくは次ページ 12 Trowbridgeモデルにおける給付現価 S  (v  v    )l xe f 2 前頁の説明ちなみに  (v / d )l xe (T )  (v / d )l xe (T ) (T )  l xr l xe (T ) axr v xr  xe Dx r N x r D x e Dx r  ( N xr / Dxe )  (v / d )l xe (T ) ( D xr axr / Dxe )  1 v  v    v(1  v  v   )  v( )  v/d 1 v v  v 2    v(1  v  v 2   )  va 2 もしくはごく単純に 2010/6/11 2 S  (v  v    )l xe f 2 (T )  l xr l xe (T ) axr v xr  xe  (v xr  xe 1  v xr  xe  2    )l xr axr 年金数理第8回 13 Trowbridgeモデルにおける給付現価上記の①～③を合計したものが制度全体の給付現価 S である S S S S p 2010/6/11 a 年金数理第8回 f 14 給付現価の間の関係式制度全体の給付現価 S  B･a  B / d 現在加入員および将来加入員の合計であることに注意（現在加入員のみでは、「永久」にはならない） 2010/6/11 年金数理第8回 15 給付現価の間の関係式給付現価のブレイクダウン１ S  a xr 1  x x  xe r l axr v S  (v S S a f xr  xe 1 ＝ f xr  x v  (v  v    v x r  xe  2 2 xr  xe    )l xr axr v   (v  v  v    )･l xr･a x   ･l xr･ax r r d  2 3 現在加入員および将来加入員の給付現価の和は、毎年新たに生まれる年金受給者の給付現価の総現価である 2010/6/11 )l xr axr 年金数理第8回年金受給者が順番待ちしているイメージ 16 給付現価及び人数現価の間の関係式５給付現価のブレイクダウン３ S S a であり、 f v   ･l xr･ax r d  S S S S p a f S  B･a  B / d なので、結局 2010/6/11 v S  S  ( S  S )  B / d   ･l xr･ax r d  p a f 年金数理第8回 17 単位積立方式 2010/6/11 年金数理第8回 18 単位積立方式（Unit Credit Method,Accrued Cost Method）１考え方：毎年年金額 1 xr  xe の現価を保険料として払っていく 1 xr  xe 1 xr  xe 1 xr  xe 1 xr  xe xe xr  1 xe  1 xe  2 2010/6/11 年金数理第8回 1 xr  xe xr 19 単位積立方式（Unit Credit Method, Accrued Cost Method）１考え方：毎年年金額 1 xr  xe の現価を保険料として払っていく X歳の加入者１人当たりに毎年要する掛金制度全体の掛金 U U U  1   Dxr  axr  px      x  x D  r  e  x  1  xr 1 (T )  Dxr  axr    l x    C l  Px    xr  xe  x  xe  Dx  (T )  1  xr 1 (T )  l xr  axr  xr  x  l xr  axr   l x   (T ) v      x  x  xr  xe  xr  xe  e  lx   xr 1 (T ) U  x x  xe  xr 1 x  x   vr  x  xe  C / d  (現在加入員分現価 )  (将来加入員分現価 ) 2010/6/11 年金数理第8回 20 単位積立方式（Unit Credit Method,Accrued Cost Method）１単位積み立て方式の年金資産の積立水準を求めてみよう 2010/6/11 年金数理第8回 21 単位積立方式（Unit Credit Method,Accrued Cost Method）１ U C / d  (現在加入員分収入現価 )  (将来加入員分収入現価 ) 現在加入員分収入現価 xr 1 xr 1 U   x  xe X  x PX l X (T ) v X x  xr 1 xr 1   x  xe X  x Dx r xr 1 xr 1 1 Dx r 1 (T ) X  x (T ) X  x   axr l X v    a l v xr X (T ) X x  x X  x e xr  xe DX xr  xe l X v  xr 1 xr 1   x  xe X  x xr 1 x  x xr 1 x  x 1 x x r Dxr axr v   Dxr axr v   r l xr axr v xr  x x  xe x  x x  xe x  x xr  xe r e r e これは、現在加入員の給付現価のうち将来期間分に相当するものであるすなわち現在加入員分収入現価 2010/6/11  S FS 年金数理第8回 S FS a １０ページ参照 a 22 単位積立方式（Unit Credit Method,Accrued Cost Method）１ここで現在加入員の責任準備金は現在加入員の給付現価－現在加入員の収入現価すなわち S a  現在加入員の収入現価 S PS  S FS  S FS  S PS a a a a つまり単位積立方式における現在加入員の責任準備金は、過去分の給付現価に等しい 2010/6/11 年金数理第8回 23 単位積立方式（Unit Credit Method,Accrued Cost Method）１なお、過去分の給付現価はつぎのように展開できる S PS  a 2010/6/11 xr 1  x  xe x  xe x 1 x 1 l xr axr v xr  x  r  l xr axr v xr  x x  xe X  xe 1 x  x xr  xe r e  xr 1 x   x  xe X  xe 1 1 l xr axr v xr ( X 1) v X 1 x xr  xe  xr 1 x   x  xe X  xe 1 1 l xr axr v xr ( X 1) (1  i ) x ( X 1) xr  xe  xr 1 x   x  xe X  xe 1 x  ( X 1) 1 l xr axr v r (T ) x  ( X 1) l ( 1  i ) X 1 (T ) xr  xe l X 1  xr 1 x U   x  xe X  xe 1 PX 1l X 1 (1  i ) x ( X 1) (T ) 年金数理第8回 24 単位積立方式（Unit Credit Method,Accrued Cost Method）１ここで x U  X  xe 1 (T ) X 1 X 1 P l (1  i) x ( X 1)  Ax これは現在ｘ歳の加入員が加入から積み立てた掛金の今までの元利合計であることがわかる S PS  xr 1  x  xe Ax であるから、過去分の給付現価は、現在加入員の掛金の元利合計の総合計になる Ax  Ax 1 (1  i ) P U (T ) x 1 x 1 l (1  i) の漸化式を利用してexcel sheetにて計算 2010/6/11 年金数理第8回 25 単位積立方式（Unit Credit Method,Accrued Cost Method）１ U C / d  (現在加入員分現価 )  (将来加入員分現価 ) 将来加入員分現価  t xr 1 U   t 1 X  xe v( PX l X (T ) v X  xe  t xr 1   t 1 X  xe ) v ( 1 Dxr axr (T ) X  xe lX v ) xr  xe DX 1  v l xr axr v xr  xe ( xr  xe ) xr  xe  t  t 1  t  t 1  v (l xr axr v xr  xe ) f S これは、将来加入員の給付現価に相当するものであるしたがって 2010/6/11 U ある意味当たり前 C / d  S FS  S f a 年金数理第8回 26 単位積立方式（Unit Credit Method,Accrued Cost Method）１ F  B / d U C / d  S p  S a  S f U C / d  S  S PS  S FS  S  ( S  S FS ) p  S  S PS p a a f f a a すなわち、単位積立方式の年金資産（結局責任準備金）は、年金受給者の給付現価および現在加入員の収入現価のうち過去勤務分に相当するものを足したものに等しい 2010/6/11 年金数理第8回 27 単位積立方式（Unit Credit Method,Accrued Cost Method）１結局、単位積立方式のもとでは給付現価年金受給者現在加入員 S p S a マイナス収入現価＝マイナス 0 ＝ S FS マイナス a ＝これは現在加入員の掛金収入現価でもある将来加入員合計 S S f マイナスマイナス S S PS p a これは現在加入員の掛金元利合計でもある f ＝ 0 C/d ＝ S  S PS S U 責任準備金 p a これは年金資産でもある 2010/6/11 年金数理第8回 28 単位積立方式（Unit Credit Method,Accrued Cost Method）現在加入員（ひとりあたり）の給付現価・掛金収入現価・掛金元利合計の関係将来加入期間分掛金収入現価単位積立方式では加入員毎・期間毎に収支相等が成立給付現価過去加入期間分 2010/6/11 掛金元利合計年金数理第8回この加入員ひとりに対応する年金資産 29 単位積立方式を考える意義 • 実務的には主流ではないが、 – 勤続に伴って発生した給付の現価を積み立てるという、自然な考え方 ⇔すなわち会計における費用そのものを積み立てる 2010/6/11 年金数理第8回 30 加入年齢方式 2010/6/11 年金数理第8回 31 Trowbridgeモデルにおける人数現価人数現価１ G 掛金を毎年一人あたり１ずつ払い込んでいく場合の掛金収入現価（すなわち、人数現価にひとりあたりの掛金を乗ずれば掛金収入現価がでる）：単位掛金現価ともいうべきもの一人当たりの掛金が一定の制度の事前積立方式の場合に使い勝手がある（つまり事前積立制度であっても単位積立方式ではこの概念は使えない） 2010/6/11 年金数理第8回 32 Trowbridgeモデルにおける人数現価人数現価２加入員の人数現価   Ga Ｘ歳開始有期年金現価率現在ｘ歳の加入員一人が将来掛金を１ずつ払う場合の現価 (T ) (T ) (T ) l xr 1 l x 1 lx2 2 1  (T ) v  (T ) v     (T ) v xr 1 x  lx lx lx 加入員全体では 2010/6/11 xr 1 yx  y yx (T ) x lv l  xr 1   Dy xr 1 T   y  x G a   l x ・ Dx x  xe    年金数理第8回 xr 1  l v   Dy  yx    D l v  x    xr 1 y  y yx (T ) x x   x 1 x 1   r   x r     v ・ D y  yx   x  xe    33 Trowbridgeモデルにおける給付現価及び人数現価等９人数現価３将来加入員の人数現価 G  f 新規加入年齢 xe 歳時点の人数現価を翌期始以降、永久に見込んだもの  xr 1    Dx  xr 1 v v       x  x  T  e G f   ・l xe ・ e    ・v  x・ Dx  D xe d d   x  xe       2010/6/11 1年あたり年金数理第8回 34 Trowbridgeモデルにおける給付現価及び人数現価等 10 人数現価４上記の①②を合計したものが制度全体の人数現価 G G  G G a 2010/6/11 年金数理第8回 f 35 加入年齢方式（Entry Age Normal Cost Method）制度加入から定年まで平準的（一人当たりの金額が一定）に掛金を積立て、年金開始時にちょうど必要原資が積み立てられるように掛金額を決定掛金額の求め方 E P( xr 1 (T )  x x xe l (1  i ) xr  x )  l x・ axr r これを、年齢0歳時における現価で考えると E xr 1 xr   P(  l (T ) x (1  i) xr  x )v xr  l (T ) x・ a v  Dxr axr r xr x xe 左辺は E xr 1 xr 1 xr 1 x xe x xe x xe P(  l (T ) x v x  xr )v xr  E P(  l (T ) x v x ) E P(  Dx ) 2010/6/11 年金数理第8回 36 加入年齢方式（Entry Age Normal Cost Method）すなわち E xr 1 P  Dx  Dx・ axr r E より x  xe また P Dx・ axr r xr 1 D x x x e xr 1     D   x       v  T   Dxr  a xr   v  T   x  xe f f S / G     l xe   /    l xe      d D d D   xe xe           Dxr  axr / より E xr 1  x  xe Dx  E P P  S f /Gf が成立すなわち、ひとりあたりの保険料額 E E P PG f  S f の将来加入員の収入現価（左辺）が将来加入員の給付現価（右辺）にひとしくなるように、ひとりあたりの保険料 E P が定められる 2010/6/11 年金数理第8回 37 加入年齢方式（Entry Age Normal Cost Method）現在加入員にかかる責任準備金は給付現価から収入現価を引いてつぎのようになる： S a EP  G a  E P xr1 D X xr  xr 1 T   xr 1 T   Dx  a X  xe a r    l x   S   l x   x  xe Dx  D x  x  xe    xr 1 E  x  xe  xr 1 E  x  xe P( xr 1 (T )  X X  xe ( P( l v X x ) x 1 (T )  X X  xe l      (1  i ) x X ) P( E xr 1 (T )  X X x l v X  x )) 第1項のΣの中：年齢群団x歳の現在加入員が入社から現在まで積み立ててきた掛金の元利合計第2項のΣの中：年齢群団x歳の現在加入員が現在から定年時まで積み立てる掛金の収入現価つまり現在加入員の給付現価は、掛金の元利合計と収入現価の和 2010/6/11 年金数理第8回 38 加入年齢方式（Entry Age Normal Cost Method）現在加入員にかかる責任準備金は給付現価から収入現価を引いてつぎのようになる： S a EP  G a E P G  P  a E  xr 1 T   x x  xe xr 1  X x l ・ xr 1 xr 1 E   x  xe X  x P  lX DX Dx (T )  P E xr 1 T   x x  xe xr 1  X X x (T ) x x l ・ l D v v X x この最初のシグマで囲われた項は、年齢群団x歳の現在加入員が現在から定年時まで積み立てる掛金の収入現価をあらわす。よって収入現価合計はそれら年齢xに関する総和 2010/6/11 年金数理第8回 39 加入年齢方式（Entry Age Normal Cost Method）現在加入員にかかる責任準備金は給付現価から収入現価を引いてつぎのようになる： S a EP  G a Sa 現在加入員が入社から現在まで積み立ててきた掛金の元利合計および現在から定年時まで積み立てる掛金の収入現価をあらわす E P  Ga 現在加入員が現在から定年時まで積み立てる掛金の収入現価をあらわす S a EP  G a 上記より、現在加入員が入社から現在まで積み立ててきた掛金の元利合計になる 2010/6/11 年金数理第8回 40 加入年齢方式（Entry Age Normal Cost Method）一方、すでに年金受給者なっているものに支払う原資として必要な年金資産は、年金受給者分の給付現価であり  P   l  ax  S  x x  xr したがって、加入員および年金受給者全体の責任準備金は、結局加入員の掛金元利計および年金受給者に必要な年金資産の合計（＝すなわち年金資産額）に等しくなる。一方将来加入員に関しては、給付現価と収入現価が一致しているので責任準備金はゼロ、また年金資産もゼロなので結局、将来加入員、現在加入員、年金受給者全体で年金資産と責任準備金が等しいことがわかる 2010/6/11 年金数理第8回 41 加入年齢方式（Entry Age Normal Cost Method）極限方程式より検証すると B/d  S S S p a f B / d  E C / d  F  S f  EPG a  F これより F  S  S  PG p a E a これは加入年齢方式において成立している年金資産＝責任準備金の関係式 2010/6/11 年金数理第8回 42 単位積立方式と加入年齢方式比較 U C E  1  xr 1 (T )  Dxr  axr   l x   l  Px    xr  xe  x  xe  Dx xr 1 (T ) U  x x  xe C P E xr 1 (T )  x x  xe l  Dx・ axr r xr 1  x  xe Dx    xr 1 (T )  x x  xe l 住宅ローンの返済で言えば、元利均等返済（＝加入年齢方式）と、負債額を返済時期別に均等分割してその現価を返していく場合の比較（年金制度の場合は、毎年の人数が減少していく要素が加わる） 2010/6/11 年金数理第8回 43 単位積立方式と加入年齢方式比較 (T )  l  axr x U r C   xr  xe  E C  EP xr 1 (T )  x x  xe  l xr axr l Dx・ axr r xr 1  x  xe Dx xr 1 (T )  x x  xe l  l xr v ・axr xr xr 1  x  xe Dx xr 1 (T )  x x  xe l  l xr axr xr 1 xr  x  x x  xe xr 1  x x  xe Dv D Dxr 1v  Dxr 2 v 2     Dxr  xe v xr  xe 今なぜなら 2010/6/11  xr  xe 2  xr 1 x  x v  v     v ( T )   v r l  axr xr  x  xe 1  1    1  Dxr 1  Dxr 2     Dxr  xe v  v 2    v xr  xe 1  1    1 Dx ＞ Dxr 1v  Dxr  2 v 2     Dxr  xe v xr  xe Dxr 1  Dxr  2     Dxr  xe はｘの減少関数であるから年金数理第8回 44 単位積立方式と加入年齢方式比較したがって U C C E したがって逆に単位積立方式の年金資産水準は加入年齢方式の年金資産水準より低い 2010/6/11 年金数理第8回 45 単位積立方式と加入年齢方式比較項目掛金年金資産（責任準備金）単位積立方式 U C  l xr 加入年齢方式 (T )  axr xr 1  x  xe v xr  x E xr  xe F  S  S PS p a C  l xr axr xr 1  x x  xe xr 1  x  xe D v xr  x F  S p  S a EPG a （1年あたり）給付額 109,909 109,909 年金受給者給付現価 994,084 994,084 現在加入員給付現価 1,974,139 1,974,139 65,805 62,056 2,045,305 2,236,472 掛金額年金資産額 2010/6/11 年金数理第8回 Dx 46 加入年齢方式と単位積立方式現在加入員（ひとりあたり）の給付現価・掛金収入現価・掛金元利合計の関係将来加入期間分掛金収入現価掛金収入現価給付現価過去加入期間分掛金元利合計 (年金資産）単位積立方式 2010/6/11 年金数理第8回掛金元利合計（年金資産）加入年齢方式 47 単位積立方式と加入年齢方式比較保険料額比較（単位積立vs加入年齢） 3,500 3,000 保険料額 2,500 2,000 1,500 単位保険料方式保険料額 1,000 加入年齢方式保険料額 500 0 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 年齢 2010/6/11 年金数理第8回 48 単位積立方式と加入年齢方式比較保険料元利合計比較 100,000 90,000 80,000 70,000 元利合計額 60,000 50,000 40,000 30,000 単位積立方式加入年齢方式 20,000 10,000 0 30 2010/6/11 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 年金数理第8回 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 年齢 49 質問（講義の内容およびアクチュアリーの件でもOK) はつぎのメールアドレスおよび電話へ株式会社ＩＩＣパートナーズ渡部善平電話： 03-5501-3795（直通） 2010/6/4 年金数理第8回 50