Slides College 12

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
College 12
25 maart 2014
Challenge the future
1
Opbouw college
Vandaag behandelen we rest 3.2 en deel van 3.3.
• Voor de pauze: hoofdstuk 3.2
• Na de pauze: hoofdstuk 3.3
Challenge the future
2
Herhaling
• In het algemeen geldt dat 𝐴 inverteerbaar en dus nietsingulier is als det 𝐴 ≠ 0. Als det 𝐴 = 0 dan is matrix 𝐴 singulier
en dus niet inverteerbaar.
• De deelmatrix 𝐴𝑖𝑗 wordt verkregen door rij 𝑖 en kolom 𝑗 te
schrappen van matrix 𝐴.
• De determinant van een 𝑛 × 𝑛 matrix 𝐴 kan worden berekend
door een cofactor ontwikkeling naar elke rij of kolom.
• Als 𝐴 een driehoeksmatrix is dan wordt det 𝐴 gegeven door
het product van de elementen op de diagonaal van 𝐴.
Challenge the future
3
Eigenschappen determinanten
Stelling
Als 𝐴 een 𝑛 × 𝑛 matrix is, dan det 𝐴𝑇 = det 𝐴.
Challenge the future
4
Eigenschappen determinanten
Stelling
Als 𝐴 en 𝐵 𝑛 × 𝑛 matrices zijn, dan det 𝐴𝐵 = (det 𝐴)(det 𝐵).
Challenge the future
5
Eigenschappen determinanten
Stelling
Als 𝐴 en 𝐵 𝑛 × 𝑛 matrices zijn, dan det 𝐴𝐵 = (det 𝐴)(det 𝐵).
Voorbeeld
𝐴=
1
3
2
5
en 𝐵 =
4
7
6
8
Challenge the future
6
Eigenschappen determinanten
Stelling
Als 𝐴 en 𝐵 𝑛 × 𝑛 matrices zijn, dan det 𝐴𝐵 = (det 𝐴)(det 𝐵).
Voorbeeld
Laat 𝐴 en 𝐵 𝑛 × 𝑛 matrices zijn met det 𝐵 ≠ 0 en det 𝐴𝐵 = 0.
Wat kun je zeggen over de matrix 𝐴?
Challenge the future
7
Eigenschappen determinanten
Vraag
Geldt ook dat det 𝐴 + 𝐵 = det 𝐴 + det 𝐵?
Challenge the future
8
Opgaven maken
Hoofdstuk 3.2
Opgaven: 21, 24, 25, 31 – 36, 39
Challenge the future
9
Cramer’s regel
Voorbeeld
𝑠𝑥1 − 2𝑠𝑥2 = −1
3𝑥1 + 6𝑠𝑥2 = 4
Challenge the future
10
Cramer’s regel
Stelling
Laat 𝐴 een inverteerbare 𝑛 × 𝑛 matrix zijn. Voor elke 𝒃 in ℝ𝑛 is
de unieke oplossing 𝑥 van 𝐴𝒙 = 𝒃 gelijk aan
det 𝐴𝑖 𝒃
𝑥𝑖 =
,
det 𝐴
𝑖 = 1,2, … , 𝑛
Challenge the future
11
Cramer’s regel
Stelling
Laat 𝐴 een inverteerbare 𝑛 × 𝑛 matrix zijn. Voor elke 𝒃 in ℝ𝑛 is
de unieke oplossing 𝑥 van 𝐴𝒙 = 𝒃 gelijk aan
det 𝐴𝑖 𝒃
𝑥𝑖 =
,
det 𝐴
𝑖 = 1,2, … , 𝑛
waarbij 𝐴𝑖 𝒃 de matrix is die je krijgt door kolom 𝑖 van 𝐴 te
vervangen door 𝒃:
𝐴𝑖 𝒃 = [𝒂1
⋯
𝒃
⋯
𝒂𝑛 ]
Challenge the future
12
Inverse matrix
Stelling
Laat 𝐴 een inverteerbare 𝑛 × 𝑛 matrix zijn. Dan
−1
𝐴
𝐶11
𝐶12
met adj 𝐴 =
⋮
𝐶1𝑛
𝐶21
𝐶22
⋮
𝐶2𝑛
⋯
⋯
⋯
1
=
adj 𝐴
det 𝐴
𝐶𝑛1
𝐶𝑛2
.
⋮
𝐶𝑛𝑛
Challenge the future
13
Oppervlakte parallellogram
Laat 𝒖 en 𝒗 twee niet-nul vectoren zijn. Dan bestaat er een
bijbehorend parallellogram, namelijk het parallellogram met de
hoekpunten 𝟎, 𝒖, 𝒗 en 𝒖 + 𝒗.
u
u+v
0
v
Challenge the future
14
Oppervlakte parallellogram
Stelling
Als 𝐴 een 2 × 2 matrix is, dan is de oppervlakte van het
parallellogram dat wordt bepaald door de kolommen van 𝐴
gelijk aan det 𝐴 .
Challenge the future
15
Oppervlakte parallellogram
Stelling
Als 𝐴 een 2 × 2 matrix is, dan is de oppervlakte van het
parallellogram dat wordt bepaald door de kolommen van 𝐴
gelijk aan det 𝐴 .
Als 𝐴 een 3 × 3 matrix is, dan is het volume van het
parallellepipedum dat wordt bepaald door de kolommen van 𝐴
gelijk aan det 𝐴 .
Challenge the future
16
Oppervlakte parallellogram
Laat 𝒖 en 𝒗 twee niet-nul vectoren zijn en 𝑐 een constante. Dan
is de oppervlakte van het parallellogram dat wordt bepaald door
𝒖 en 𝒗 gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram bepaald
door 𝒖 en 𝒗 + 𝑐𝒖.
𝒗 + 𝑐𝒖
𝑐𝒖
𝟎
𝒗
𝒖
Challenge the future
17
Oppervlakte parallellogram
Voorbeeld
Bepaal de oppervlakte van het parallellogram met hoekpunten
(3,1), (6,3), (7,5) en (4,3).
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Challenge the future
18
Oppervlakte parallellogram
Voorbeeld
Bepaal de oppervlakte van het parallellogram met hoekpunten
(3,1), (6,3), (7,5) en (4,3). Verschuiven over (−3, −1) geeft de
hoekpunten (0,0), (3,2), (4,4) en (1,2).
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Challenge the future
19
Lineaire transformaties
Stelling
Als 𝑆 een parallellogram in ℝ2 is en 𝑇: ℝ2 → ℝ2 een lineaire
transformatie gegeven door een 2 × 2 matrix 𝐴, dan
oppervlakte van 𝑇 𝑆
= det 𝐴 ⋅ oppervlakte van 𝑆 .
Challenge the future
20
Lineaire transformaties
Stelling
Als 𝑆 een parallellogram in ℝ2 is en 𝑇: ℝ2 → ℝ2 een lineaire
transformatie gegeven door een 2 × 2 matrix 𝐴, dan
oppervlakte van 𝑇 𝑆
= det 𝐴 ⋅ oppervlakte van 𝑆 .
Als 𝑆 een parallellepipedum in ℝ3 is en 𝑇: ℝ3 → ℝ3 een lineaire
transformatie gegeven door een 3 × 3 matrix 𝐴, dan
volume van 𝑇 𝑆
= det 𝐴 ⋅ volume van 𝑆 .
Challenge the future
21
Lineaire transformaties
Gevolg
Als 𝑆 in ℝ2 een eindige oppervlakte heeft en 𝑇: ℝ2 → ℝ2 een
lineaire transformatie is gegeven door een 2 × 2 matrix 𝐴, dan
oppervlakte van 𝑇 𝑆
= det 𝐴 ⋅ oppervlakte van 𝑆 .
Als 𝑆 in ℝ3 een eindig volume heeft en 𝑇: ℝ3 → ℝ3 een lineaire
transformatie is gegeven door een 3 × 3 matrix 𝐴, dan
volume van 𝑇 𝑆
= det 𝐴 ⋅ volume van 𝑆 .
Challenge the future
22
Samenvatting
• Cramer’s regel: Voor elke 𝒃 in ℝ𝑛 is de unieke oplossing 𝑥 van
𝐴𝒙 = 𝒃 met 𝐴 een inverteerbare 𝑛 × 𝑛 matrix gelijk aan
det 𝐴𝑖 𝒃
𝑥𝑖 =
,
det 𝐴
𝑖 = 1,2, … , 𝑛
• Als 𝐴 een inverteerbare 𝑛 × 𝑛 matrix is, dan 𝐴
−1
=
1
det 𝐴
adj 𝐴.
• De oppervlakte van het parallellogram bepaald door de
kolommen van 2 × 2 matrix 𝐴 is gelijk aan det 𝐴 .
• Als 𝑆 in ℝ2 een eindige oppervlakte heeft en 𝑇: ℝ2 → ℝ2 een
lineaire transformatie is, gegeven door een 2 × 2 matrix 𝐴 dan
oppervlakte van 𝑇 𝑆 = det 𝐴 ⋅ oppervlakte van 𝑆 .
Challenge the future
23
Opgaven maken
Hoofdstuk 3.2
Opgaven: 21, 24, 25, 31 – 36, 39
Hoofdstuk 3.3
Opgaven: 7, 11, 18, 19, 23, 27, 30 – 32
Challenge the future
24

Download Report