Slides college 3a

Determinanten
Wiskunde 2, 2DM60
College 3a
Ruud Pellikaan
[email protected]
2014-2015
/k
Determinant van een 2 × 2 matrix
Herinner
De matrix
A=
a b
c d
heeft een inverse
dan en slecht dan als ad − bc 6= 0.
DEFINITIE:
ad − bc heet de determinant van A
NOTATIE:
det(A )
/k
2/58
Determinant van een 2 × 2 matrix
NOTATIE:
Stel A is een matrix
Dan wordt det(A ) ook wel aangeduid met rechte strepen
VOORBEELD:
Stel
A=
Dan is
3 2
−5 3
is een 2 × 2 matrix
3 2 = 19 een getal
det(A ) = −5 3 /k
3/58
Permutaties
4/58
DEFINITIE:
Een permutatie is een herschikking
van de volgorde van elementen die in een rij staan.
De identieke permutatie is de permutatie waar alles op zijn plaats blijft.
Dus 1, 2 en 2, 1 zijn de twee permutaties van de rij 1, 2.
De permutaties van de rij 1, 2, 3 zijn:
1
1
2
2
3
3
/k
2
3
1
3
1
2
3
2
3
1
2
1
Aantal permutaties
STELLING:
Het aantal permutaties van n elementen is:
1 · 2 · 3 · · · n(n − 1) · n = n! ( n factorial )
BEWIJS:
Er is maar permutatie van 1 element.
Er zijn 2 = 1 · 2 permutaties van 2 elementen.
Er zijn 6 = 1 · 2 · 3 permutaties van 3 elementen.
Er zijn n elementen die bij een permutatie van n elementen
op de eerste plaats kunnen staan.
Dan blijven er nog n − 1 elementen over
die op (n − 1)! herschikt kunnen worden.
Dus het totaal aantal permutaties van n elementen is: n · (n − 1)! = n!
/k
5/58
Aantal permutaties
6/58
Het aantal permutaties van n elementen is:
1 · 2 · 3 · · · n(n − 1) · n = n! ( n factorial )
Dit aantal groeit harder dan exponentieel:
n
n!
1
1
2
2
3
6
4
24
5 120
6 720
7 5040
/k
Alternatieve definitie
Alternatieve DEFINITIE:
Een permutatie van de verzameling {1, 2, . . . , n} is een afbeelding
σ : {1, 2, . . . , n} −→ {1, 2, . . . , n}
zodanig dat twee verschillende elementen op
verschillende elementen worden afgebeeld:
als σ (i ) = σ (j ) dan i = j .
Het element i wordt op de plaats σ (i ) gezet.
/k
7/58
Product van permutaties
DEFINITIE:
Het product of de samenstelling van twee permutaties σ en τ
van de verzameling {1, 2, . . . , n} is de afbeelding
σ ◦ τ : {1, 2, . . . , n} −→ {1, 2, . . . , n}
gedefinieerd door:
σ ◦ τ (i ) = σ (τ (i )).
/k
8/58
Product van permutaties
9/58
VOORBEELD:
Stel τ en σ worden gegeven door:
τ
σ
1 2 3
2 1 3
1 3 2
i τ
σ
1 7→ 2 7→ 3
2 7→ 1 7→ 1
3 7→ 3 7→ 2
Dus σ ◦ τ wordt gegeven door:
σ ◦τ
/k
1 2 3
3 1 2
Verwisselingen en (on)even permutaties
DEFINITIE:
Een verwisseling of inversie is een permutatie waarbij
precies twee elementen verwisseld worden en
de overige op hun plaats blijven.
STELLING:
- Elke permutatie is het product van verwisselingen.
- Dit product is niet uniek maar het aantal is altijd even/oneven.
/k
10/58
(Teken permutaties
DEFINITIE:
Het teken of sign van σ is:
+1 als σ een even product van verwsselingen is
sign(σ ) =
−1 als σ een oneven product van verwsselingen is
STELLING:
sign(σ ◦ ρ) = sign(σ ) · sign(ρ)
/k
11/58
Teken van permutaties
12/58
VOORBEELD:
pemutatie
id
σ1
σ2
σ3
ρ1
ρ2
1
1
1
3
2
2
3
2
2
3
2
1
3
1
3 prod .verw. teken
3
leeg
+1
2
σ1
−1
1
σ2
−1
3
σ3
−1
1
σ1 ◦ σ2
+1
2
σ2 ◦ σ1
+1
σ ◦ τ (1) = σ (τ (1)) = σ (2) = 3
/k
Definitie determinant
DEFINITIE:
Stel A is een n × n matrix.
De determinant van A wordt gedefinieerd door:
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
det(A ) = ..
..
..
..
.
.
.
.
an1 an2 . . . ann
=
X
σ
/k
13/58
=
sign(σ )a1σ (1) a2σ (2) · · · anσ (n)
2x2 determinant
14/58
VOORBEELD:
det
a11 a12
a21 a22
a
a
= 11 12
a21 a22
=
= a11 a22 − a12 a21 .
/k
Determinant 3 × 3 matrix
Stel
15/58

a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23  .
a31 a32 a33

dan is
det(A ) =
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33
De bijbehorende permutaties zijn:
id
/k
ρ1 ρ2 σ1 σ2 σ3
Regel van Sarrus
16/58
Herhaal de eerste twee kolommen van de 3 × 3 matrix A en
neem producten van diagonalen (+) en anti-diagonalen (-):
a11
a12
&
a21
a22
.
a31
a13
×
a23
×
a32
a11
×
a12
.
a21
×
a33
a22
&
a31
a32
Dan is
det(A ) =
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33
Dit geldt alleen voor 3 × 3 matrices!
/k
Determinant van een driehoeksmatrix
Stel A is een n × n boven- of bendendriehoeksmatrix.
Dan geldt:
det(A ) = a11 a22 · · · ann
De determinant van A is het product van
de elementen op de hoofddiagonaal.
/k
17/58
Determinant van een driehoeksmatrix
Voor een 4 × 4 boven- of benedendriehoeksmatrix geldt:
det(A ) = a11 0
0
0
a21 a22 0
0
a31 a32 a33 0
a41 a42 a43 a44
= a11 a22 a33 a44 .
Want elke permutatie ongelijk aan de identieke permutatie
geeft een product met een element gelijk aan 0.
/k
18/58
Determinant van getransponeerde matrix
Stel A is een n × n matrix. Dan geldt:
det(A T ) = det(A ).
BEWIJS:
Stel B = A T , dan is bij = aji en
X
sign(σ )b1σ (1) b2σ (2) · · · bnσ (n)
det(B ) =
σ
=
X
sign(σ )aσ (1)1 aσ (2)2 · · · aσ (n)n
σ
=
X
sign(ρ)a1ρ(1) a2ρ(2) · · · anρ(n) = det(A )
ρ
met ρ ◦ σ = id en sign(ρ) = sign(σ ).
/k
19/58
Determinant matrix met nulrij
Stel A is een n × n matrix.
Als A een rij nullen of een kolom nullen heeft, dan geldt:
det(A ) = 0
BEWIJS:
Stel de i -e rij is een nulrij, dan is aij = 0 voor alle j .
det(A ) =
X
σ
/k
sign(σ )a1σ (1) · · · ai σ (i ) · · · anσ (n) = 0.
20/58
Determinant en verwisselen van rijen
21/58
B is uit A verkregen door het verwisselen van rij i en j , dan geldt:
det(B ) = − det(A )
BEWIJS: bkl = akl voor alle k 6= i , j en en bil = ajl en bjl = ail voor alle l .
X
det(B ) =
sign(σ )b1σ (1) · · · bi σ (i ) · · · bj σ (j ) · · · bnσ (n) =
σ
X
sign(σ )a1σ (1) · · · aj σ (i ) · · · ai σ (j ) · · · anσ (n) =
σ
X
−sign(ρ)a1ρ(1) · · · ai ρ(i ) · · · aj ρ(j ) · · · anρ(n) = − det(A )
ρ
ρ is uit σ verkregen door een verwisseling van i en j , dus
sign(ρ) = −sign(σ ).
/k
Determinant en gelijke rijen
Stel de i -e en j -e rij van A zijn gelijk, dan geldt:
det(A ) = 0
BEWIJS:
Stel B is verkregen uit A door het verwisselen van de i -e en j -e rij.
Dan geldt:
det(B ) = − det(A )
Gegeven is B = A . Dus
det(A ) = − det(A )
Dus
det(A ) = 0
/k
22/58
3 × 3 matrix met twee dezelfde rijen
23/58


a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23  is een matrix met dezelfde eerste en derde rij.
a11 a12 a13
Dan is det(A ) gelijk aan:
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31
dus aan:
a11 a22 a13 + a12 a23 a11 + a13 a21 a12 − a11 a23 a12 − a12 a21 a13 − a13 a22 a11
Dat is 0.
/k
Determinant en veelvoud rij
24/58
B is uit A verkregen door de i -e rij met c te vermenigvuldigen, dan geldt:
det(B ) = c det(A )
BEWIJS: bkl = akl voor alle k 6= i en alle l en bil = cail voor alle l .
Dus det(B ) =
X
sign(σ )b1σ (1) · · · bi σ (i ) · · · · · · bnσ (n) =
σ
X
sign(σ )a1σ (1) · · · cai σ (i ) · · · anσ (n) =
σ
c
X
σ
= c det(A ).
/k
sign(σ )a1σ (1) · · · ai σ (i ) · · · anσ (n) =
Som in i -e rij
25/58
Stel A , B en C zijn n × n matrices met gelijk rijen behalve de i -e rij
en cil = ail + bil voor alle l . Dan geldt:
det(C ) = det(A ) + det(B ).
BEWIJS: akl = bkl = ckl voor alle k 6= i en alle l
en cil = ail + bil voor alle l . Dan is det(C ) =
X
sign(σ )c1σ (1) · · · ci σ (i ) · · · cnσ (n) =
σ
X
sign(σ )c1σ (1) · · · (ai σ (i ) + bi σ (i ) ) · · · cnσ (n) =
σ
X
sign(σ )a1ρ(1) · · · ai σ (i ) · · · anσ (n) +
ρ
/k
X
sign(σ )b1ρ(1) · · · bi σ (i ) · · · bnσ (n)
ρ
= det(A ) + det(B ).
Tel i -e rij bij j -e rij
Stel C is uit A verkregen door de i -e rij bij j -e rij van A op te tellen.
Dan geldt:
det(C ) = det(A ).
BEWIJS:
Stel B is dezelfde matrix als A , behalve dat de j -de rij
die is gelijk aan de i -de rij van A .
Dan is det(B ) = 0.
Verder zijn de rijen van A , B en C gelijk, behalve de i -e rij,
daarvoor geldt: cil = ail + bil voor alle l .
Dus:
det(C ) = det(A ) + det(B ) = det(A ) + 0 = det(A ).
/k
26/58
Stelling: determinant en elem. rij operaties
Stel A is een n × n matrix en
• B1 wordt uit A verkregen door het verwisselen van twee rijen,
• B2 wordt uit A verkregen door een rij met een getal c
te vermenigvuldigen,
• B3 wordt uit A verkregen door een veelvoud van een rij
bij een andere rij op te tellen.
Dan geldt:
• det(B1 ) = − det(A )
• det(B2 ) = c · det(A )
• det(B3 ) = det(A )
/k
27/58
Stelling: determinant en elem. kolom operaties
Stel A is een n × n matrix en
• C1 wordt uit A verkregen door het verwisselen van twee kolommen,
• C2 wordt uit A verkregen door een kolom met een getal c
te vermenigvuldigen,
• C3 wordt uit A verkregen door een veelvoud van een kolom
bij een andere kolom op te tellen.
Dan geldt:
• det(C1 ) = − det(A )
• det(C2 ) = c · det(A )
• det(C3 ) = det(A )
/k
28/58
Stelling: determinant elementaire matrix
Stel A is een n × n matrix en
• B1 wordt uit A verkregen door het verwisselen van twee rijen,
• B2 wordt uit A verkregen door een rij met een getal c
te vermenigvuldigen,
• B3 wordt uit A verkregen door een veelvoud van een rij
bij een andere rij op te tellen.
Dan zijn er elementaire matrices E1 , E2 en E3 met
• B1 = E1 A , det(B1 ) = − det(A ) en det(E1 ) = −1
• B2 = E2 A , det(B2 ) = c · det(A ) en det(E2 ) = c
• B3 = E3 A , det(B3 ) = det(A ) en det(E3 ) = 1
/k
29/58
Verwisselen van rijen
VOORBEELD:

1
E1 =  0
0
Stel



0 0
1 7 4
0 1  en A =  5 8 2  dan is det(A ) = −54
1 0
3 9 6
De 2-e en 3-e rij van A zijn verwisseld in E1 A en
1 7 4
det(E1 A ) = 3 9 6 = 54
5 8 2
en
1 0 0
det(E1 ) = 0 0 1 = −1
0 1 0
/k
30/58
Rij vermenigvuldigen met een getal
VOORBEELD:

1
E2 =  0
0
Stel



0 0
1 7 4
c 0  en A =  5 8 2  dan is det(A ) = −54
0 1
3 9 6
De 2-e rij van A is met c vermenigvuldigd in E2 A en
1 7 4
det(E2 A ) = 5c 8c 2c = −54 · c
3 9 6
en
1 0 0
det(E2 ) = 0 c 0 = c
0 0 1
/k
31/58
Veelvoud van een rij bij een andere optellen
VOORBEELD:

1
E3 =  0
0
Stel



0 0
1 7 4
1 c  en A =  5 8 2  dan is det(A ) = −54
0 1
3 9 6
De c maal de 3-e rij is bij 2-e rij van A geteld in E3 A en
1
7
4
det(E3 A ) = 5 + 3c 8 + 9c 2 + 2c = −54
3
9
6
en
1 0 0
det(E3 ) = 0 1 c = 1
0 0 1
/k
32/58
Stelling: det(AB ) = det(A ) det(B )
BEWIJS:
Stel A en B zijn inverteerbare n × n matrices
Dan gaat A na een aantal elementaire rij operaties over In
Dus er zijn elementaire matrices E1 , . . . Em met
Em · · · E1 A = In
Dus
det(Em ) · · · det(E1 ) det(A ) = det(In ) = 1
Dus
det(A ) = (det(Em ) · · · det(E1 ))−1
/k
33/58
Vervolg bewijs: det(AB ) = det(A ) det(B )
Evenzo zijn er elementaire matrices F1 , . . . Fl met
Fl · · · F1 B = In
dus: det(B ) = (det(Fm ) · · · det(F1 ))−1
Dus:
Fl · · · F1 Em · · · E1 AB = Fl · · · F1 In B = Fl · · · F1 B = In
dus: det(AB ) = (det(Fm ) · · · det(F1 ) det(Em ) · · · det(E1 ))−1 =
(det(Fm ) · · · det(F1 ))−1 (det(Em ) · · · det(E1 ))−1 =
det(B ) det(A ) = det(A ) det(B )
/k
34/58
Stelling: det(A −1 ) = (det(A ))−1
BEWIJS:
Stel A is een inverteerbare n × n matrix
Dan geldt:
AA −1 = In
Dus:
det(A ) det(A −1 ) = det(In ) = 1
Dus:
det(A −1 ) =
/k
1
det(A )
35/58
Inverse van driehoeksmatrix
36/58
Stel A is een n × n bendendriehoeksmatrix.
en alle elementen aii op de hoofddiagonaal zijn niet nul.
Dan is A inverteerbaar
en de inverse van A is weer een bendendriehoeksmatrix
en het i -de element op de hoofddiagonaal is
1
aii
.
Een zelfde bewering geldt ook voor een bovendriehoeksmatrix.
/k
Voorbeeld inverse van driehoeksmatrix
Nu geldt:



3 2 −4
9 −18
18
7  0
27 −21  = 27I3
A ·B = 0 1
0
0
3
0 0
9


9 −18
18
1
1
 0
27 −21 
Dus A −1 =
B=
27
27
0
0
3
 1 −2 2 
3
Dus A
/k
−1


=
 0

0
3
3
1
−7
9
0
1
9





37/58
Minor en cofactor
DEFINITIE:
Stel A is een n × n matrix
Mij is de minor van het element aij
het is de determinant van de deelmatrix van A
die wordt verkregen door
het weglaten van de i -de rij en de j -de kolom.
Aij = (−1)i +j Mij heet de cofactor van het element aij
/k
38/58
Voorbeeld minor en cofactor


3 2 −4
7 
Stel A =  2 1
−5 3
9
Voor M11 laten we de eerste rij en kolom van A weg


3 2 −4
1 7 = 1 · 9 − 7 · 3 = −12
 2 1

7
dus M11 = 3 9 −5 3
9
en
A11 = (−1)2 M11 = −12
/k
39/58
Voorbeeld minor en cofactor
Voor M23 laten we de tweede rij en derde kolom van A weg


3 2 −4
 2 1
7 
−5 3
9
Dus
M23
3 2 = 3 · 3 − 2 · (−5) = 19
= −5 3 en
A23 = (−1)5 M23 = −19
/k
40/58
Teken van de cofactor
41/58
Er geldt
Aij = (−1)i +j Mij
Dus
Aij = ±Mij
Bijvoorbeeld
A11 = M11 , A12 = −M12 , A13 = M13 , A23 = −M23
/k
Teken van de cofactor
42/58
Dus
Aij = ±Mij
De tekens wisselen af als de vakken op een schaakbord


+ − + ···
 − + − ··· 


 + − + ··· 


.. .. ..
. . .
/k
Stelling
43/58
Stel A is een 3 × 3 matrix
De determinant van A wordt gedefinieerd door:
det(A ) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
Stel A is een n × n matrix
Dan wordt de determinant van A gegeven door
de cofactor ontwikkeling langs de eerste rij:
det(A ) = a11 A11 + a12 A12 + · · · + a1n A1n
/k
Voorbeeld determinant 3 × 3 matrix


3 2 −4
7 
Stel A =  2 1
−5 3
9
dan is
1 7
det(A ) = 3 3 9
− 2 2 7 + (−4) 2 1 =
−5 3 −5 9 3 · (−12) − 2 · 53 + (−4) · 11 = −186
/k
44/58
Determinant 3 × 3 matrix
45/58


a11 a12 a13
Stel A =  a21 a22 a23  dan is
a31 a32 a33
a
a
det(A ) = a11 22 23
a32 a33
− a12 a21 a23
a31 a33
+ a13 a21 a22
a31 a32
=
a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21 a33 − a23 a31 ) + a13 (a21 a32 − a22 a31 ) =
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31
/k
Conclusie
46/58
det(A ) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 =
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31
De determinant van een 3 × 3 matrix A
is verkregen door de cofactor ontwikkeling langs de eerste rij
/k
Stelling cofactor ontwikkeling
47/58
det(A ) =
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31
De determinant van een 3 × 3 matrix A
kan ook verkregen door de cofactor ontwikkeling langs:
eerste
tweede
derde
eerste
tweede
derde
/k
rij
rij
rij
kolom
kolom
kolom
a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
a21 A21 + a22 A22 + a23 A23
a31 A31 + a32 A32 + a33 A33
a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
a12 A12 + a22 A22 + a32 A32
a13 A13 + a23 A23 + a33 A33
Stelling cofactor ontwikkeling
De determinant van een n × n matrix A
kan verkregen door de cofactor ontwikkeling langs de i -de rij:
det(A ) = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + · · · + ain Ain
of langs de j -de kolom:
det(A ) = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj
/k
48/58
Voorbeeld cofactor ontwikkeling


3 2 −4
7 
Stel A =  2 1
−5 3
9
dan geeft de cofactor ontwikkeling langs eerste kolom:
2 −4 2 −4 1 7 =
+ (−5) − 2
det(A ) = 3 3
9 1
7 3 9 3 · (−12) − 2 · 30 + (−5) · 18 = −186
/k
49/58
Slimme keuze van een rij of kolom

0
 3
Stel A = 
 4
−5
50/58

0
1 0
0 −4 2 

2
7 1 
0
0 3
cofactor ontwikkeling langs tweede kolom geeft:
0
1 0
det(A ) = −2 3 −4 2
−5
0 3
daarna geeft cofactor ontwikkeling langs eerste rij:
3 2 = 2 · 19 = 38
det(A ) = (−2) · (−1) −5 3 /k
Cofactoren van verschillende rijen


a11 a12 a13
Stel A =  a21 a22 a23 
a31 a32 a33
Beschouw de matrix A 0 met dezelfde eerste en derde rij:


a11 a12 a13
A 0 =  a21 a22 a23 
a11 a12 a13
0
0
0
Dan geldt A31 = A31
, A32 = A32
, A33 = A33
,
/k
51/58
Cofactoren van verschillende rijen


a11 a12 a13
A 0 =  a21 a22 a23  dan is det(A 0 ) = 0
a11 a12 a13
Anderzijds geeft cofactor ontwikkeling langs derde rij:
0
0
0
det(A 0 ) = a11 A31
+ a12 A32
+ a13 A33
= a11 A31 + a12 A32 + a13 A33
CONCLUSIE:
a11 A31 + a12 A32 + a13 A33 = 0
/k
52/58
Stelling cofactor ontwikkeling
Stel A is een 3 × 3 matrix
Dan geldt voor alle i :
det(A ) = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + ai 3 Ai 3
en voor alle i 6 = k :
ai 1 Ak 1 + ai 2 Ak 2 + ai 3 Ak 3 = 0
/k
53/58
Stelling 3 × 3 geadjungeerde matrix
Er geldt:

a11 a12
 a21 a22
a31 a32

det(A )

0
0
/k


a13
A11 A21 A31
a23   A12 A22 A32  =
a33
A13 A23 A33

0
0
det(A )
0  = det(A )I3
0 det(A )
54/58
Conclusie
Berekening van een determinant kan op verschillende manieren:
• door herhaald ontwikkelen naar een rij of kolom
• door vegen
• een combinatie van beide
/k
55/58
Voorbeeld: herhaald ontwikkelen
56/58


1 7 4
Stel A =  5 8 2 
3 9 6
Ontwikkelen naar de eerste rij geeft:
5 2
8 2 − 7 · det(A ) = 1 · 3 6
9 6
+4· 5 8
3 9
=
1 · (8 · 6 − 9 · 2) − 7 · (5 · 6 − 3 · 2) + 4 · (5 · 9 − 3 · 8) =
1 · (48 − 18) − 7 · (30 − 6) + 4 · (45 − 24) =
30 − 168 + 84 = −54
/k
Voorbeeld: combinatie van technieken


1 7 4
Stel A =  5 8 2 
3 9 6
Deel derde rij door 3, en daarna de derde kolom door 2
1 7 4
1 7 2
det(A ) = 3 · 5 8 2 = 3 · 2 · 5 8 1
1 3 2
1 3 1
Veeg de laatste kolom met de spil rechtsonder
det(A ) = 6 ·
−1 1 0
−1 1
4 5 0 =6·
= 6 · (−5 − 4) = −54
4 5
1 3 1
/k
57/58
Equivalente beweringen
STELLING: Stel A is een n × n matrix.
Dan zijn de volgende beweringen equivalent:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
A is inverteerbaar
AX = 0 heeft alleen de triviale oplossing
De gereduceerde rij trap vorm is de n × n eenheidsmatrix
rref(A ) = In
AX = B heeft een oplossing voor elke B
AX = B heeft precies één oplossing voor elke B
det(A ) 6 = 0
/k
58/58

Download Report