Determinanten Wiskunde 2, 2DM60 College 3a Ruud Pellikaan [email protected] 2014-2015 /k Determinant van een 2 × 2 matrix Herinner De matrix A= a b c d heeft een inverse dan en slecht dan als ad − bc 6= 0. DEFINITIE: ad − bc heet de determinant van A NOTATIE: det(A ) /k 2/58 Determinant van een 2 × 2 matrix NOTATIE: Stel A is een matrix Dan wordt det(A ) ook wel aangeduid met rechte strepen VOORBEELD: Stel A= Dan is 3 2 −5 3 is een 2 × 2 matrix 3 2 = 19 een getal det(A ) = −5 3 /k 3/58 Permutaties 4/58 DEFINITIE: Een permutatie is een herschikking van de volgorde van elementen die in een rij staan. De identieke permutatie is de permutatie waar alles op zijn plaats blijft. Dus 1, 2 en 2, 1 zijn de twee permutaties van de rij 1, 2. De permutaties van de rij 1, 2, 3 zijn: 1 1 2 2 3 3 /k 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1 Aantal permutaties STELLING: Het aantal permutaties van n elementen is: 1 · 2 · 3 · · · n(n − 1) · n = n! ( n factorial ) BEWIJS: Er is maar permutatie van 1 element. Er zijn 2 = 1 · 2 permutaties van 2 elementen. Er zijn 6 = 1 · 2 · 3 permutaties van 3 elementen. Er zijn n elementen die bij een permutatie van n elementen op de eerste plaats kunnen staan. Dan blijven er nog n − 1 elementen over die op (n − 1)! herschikt kunnen worden. Dus het totaal aantal permutaties van n elementen is: n · (n − 1)! = n! /k 5/58 Aantal permutaties 6/58 Het aantal permutaties van n elementen is: 1 · 2 · 3 · · · n(n − 1) · n = n! ( n factorial ) Dit aantal groeit harder dan exponentieel: n n! 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5040 /k Alternatieve definitie Alternatieve DEFINITIE: Een permutatie van de verzameling {1, 2, . . . , n} is een afbeelding σ : {1, 2, . . . , n} −→ {1, 2, . . . , n} zodanig dat twee verschillende elementen op verschillende elementen worden afgebeeld: als σ (i ) = σ (j ) dan i = j . Het element i wordt op de plaats σ (i ) gezet. /k 7/58 Product van permutaties DEFINITIE: Het product of de samenstelling van twee permutaties σ en τ van de verzameling {1, 2, . . . , n} is de afbeelding σ ◦ τ : {1, 2, . . . , n} −→ {1, 2, . . . , n} gedefinieerd door: σ ◦ τ (i ) = σ (τ (i )). /k 8/58 Product van permutaties 9/58 VOORBEELD: Stel τ en σ worden gegeven door: τ σ 1 2 3 2 1 3 1 3 2 i τ σ 1 7→ 2 7→ 3 2 7→ 1 7→ 1 3 7→ 3 7→ 2 Dus σ ◦ τ wordt gegeven door: σ ◦τ /k 1 2 3 3 1 2 Verwisselingen en (on)even permutaties DEFINITIE: Een verwisseling of inversie is een permutatie waarbij precies twee elementen verwisseld worden en de overige op hun plaats blijven. STELLING: - Elke permutatie is het product van verwisselingen. - Dit product is niet uniek maar het aantal is altijd even/oneven. /k 10/58 (Teken permutaties DEFINITIE: Het teken of sign van σ is: +1 als σ een even product van verwsselingen is sign(σ ) = −1 als σ een oneven product van verwsselingen is STELLING: sign(σ ◦ ρ) = sign(σ ) · sign(ρ) /k 11/58 Teken van permutaties 12/58 VOORBEELD: pemutatie id σ1 σ2 σ3 ρ1 ρ2 1 1 1 3 2 2 3 2 2 3 2 1 3 1 3 prod .verw. teken 3 leeg +1 2 σ1 −1 1 σ2 −1 3 σ3 −1 1 σ1 ◦ σ2 +1 2 σ2 ◦ σ1 +1 σ ◦ τ (1) = σ (τ (1)) = σ (2) = 3 /k Definitie determinant DEFINITIE: Stel A is een n × n matrix. De determinant van A wordt gedefinieerd door: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n det(A ) = .. .. .. .. . . . . an1 an2 . . . ann = X σ /k 13/58 = sign(σ )a1σ (1) a2σ (2) · · · anσ (n) 2x2 determinant 14/58 VOORBEELD: det a11 a12 a21 a22 a a = 11 12 a21 a22 = = a11 a22 − a12 a21 . /k Determinant 3 × 3 matrix Stel 15/58 a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 . a31 a32 a33 dan is det(A ) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 De bijbehorende permutaties zijn: id /k ρ1 ρ2 σ1 σ2 σ3 Regel van Sarrus 16/58 Herhaal de eerste twee kolommen van de 3 × 3 matrix A en neem producten van diagonalen (+) en anti-diagonalen (-): a11 a12 & a21 a22 . a31 a13 × a23 × a32 a11 × a12 . a21 × a33 a22 & a31 a32 Dan is det(A ) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 Dit geldt alleen voor 3 × 3 matrices! /k Determinant van een driehoeksmatrix Stel A is een n × n boven- of bendendriehoeksmatrix. Dan geldt: det(A ) = a11 a22 · · · ann De determinant van A is het product van de elementen op de hoofddiagonaal. /k 17/58 Determinant van een driehoeksmatrix Voor een 4 × 4 boven- of benedendriehoeksmatrix geldt: det(A ) = a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44 = a11 a22 a33 a44 . Want elke permutatie ongelijk aan de identieke permutatie geeft een product met een element gelijk aan 0. /k 18/58 Determinant van getransponeerde matrix Stel A is een n × n matrix. Dan geldt: det(A T ) = det(A ). BEWIJS: Stel B = A T , dan is bij = aji en X sign(σ )b1σ (1) b2σ (2) · · · bnσ (n) det(B ) = σ = X sign(σ )aσ (1)1 aσ (2)2 · · · aσ (n)n σ = X sign(ρ)a1ρ(1) a2ρ(2) · · · anρ(n) = det(A ) ρ met ρ ◦ σ = id en sign(ρ) = sign(σ ). /k 19/58 Determinant matrix met nulrij Stel A is een n × n matrix. Als A een rij nullen of een kolom nullen heeft, dan geldt: det(A ) = 0 BEWIJS: Stel de i -e rij is een nulrij, dan is aij = 0 voor alle j . det(A ) = X σ /k sign(σ )a1σ (1) · · · ai σ (i ) · · · anσ (n) = 0. 20/58 Determinant en verwisselen van rijen 21/58 B is uit A verkregen door het verwisselen van rij i en j , dan geldt: det(B ) = − det(A ) BEWIJS: bkl = akl voor alle k 6= i , j en en bil = ajl en bjl = ail voor alle l . X det(B ) = sign(σ )b1σ (1) · · · bi σ (i ) · · · bj σ (j ) · · · bnσ (n) = σ X sign(σ )a1σ (1) · · · aj σ (i ) · · · ai σ (j ) · · · anσ (n) = σ X −sign(ρ)a1ρ(1) · · · ai ρ(i ) · · · aj ρ(j ) · · · anρ(n) = − det(A ) ρ ρ is uit σ verkregen door een verwisseling van i en j , dus sign(ρ) = −sign(σ ). /k Determinant en gelijke rijen Stel de i -e en j -e rij van A zijn gelijk, dan geldt: det(A ) = 0 BEWIJS: Stel B is verkregen uit A door het verwisselen van de i -e en j -e rij. Dan geldt: det(B ) = − det(A ) Gegeven is B = A . Dus det(A ) = − det(A ) Dus det(A ) = 0 /k 22/58 3 × 3 matrix met twee dezelfde rijen 23/58 a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 is een matrix met dezelfde eerste en derde rij. a11 a12 a13 Dan is det(A ) gelijk aan: a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31 dus aan: a11 a22 a13 + a12 a23 a11 + a13 a21 a12 − a11 a23 a12 − a12 a21 a13 − a13 a22 a11 Dat is 0. /k Determinant en veelvoud rij 24/58 B is uit A verkregen door de i -e rij met c te vermenigvuldigen, dan geldt: det(B ) = c det(A ) BEWIJS: bkl = akl voor alle k 6= i en alle l en bil = cail voor alle l . Dus det(B ) = X sign(σ )b1σ (1) · · · bi σ (i ) · · · · · · bnσ (n) = σ X sign(σ )a1σ (1) · · · cai σ (i ) · · · anσ (n) = σ c X σ = c det(A ). /k sign(σ )a1σ (1) · · · ai σ (i ) · · · anσ (n) = Som in i -e rij 25/58 Stel A , B en C zijn n × n matrices met gelijk rijen behalve de i -e rij en cil = ail + bil voor alle l . Dan geldt: det(C ) = det(A ) + det(B ). BEWIJS: akl = bkl = ckl voor alle k 6= i en alle l en cil = ail + bil voor alle l . Dan is det(C ) = X sign(σ )c1σ (1) · · · ci σ (i ) · · · cnσ (n) = σ X sign(σ )c1σ (1) · · · (ai σ (i ) + bi σ (i ) ) · · · cnσ (n) = σ X sign(σ )a1ρ(1) · · · ai σ (i ) · · · anσ (n) + ρ /k X sign(σ )b1ρ(1) · · · bi σ (i ) · · · bnσ (n) ρ = det(A ) + det(B ). Tel i -e rij bij j -e rij Stel C is uit A verkregen door de i -e rij bij j -e rij van A op te tellen. Dan geldt: det(C ) = det(A ). BEWIJS: Stel B is dezelfde matrix als A , behalve dat de j -de rij die is gelijk aan de i -de rij van A . Dan is det(B ) = 0. Verder zijn de rijen van A , B en C gelijk, behalve de i -e rij, daarvoor geldt: cil = ail + bil voor alle l . Dus: det(C ) = det(A ) + det(B ) = det(A ) + 0 = det(A ). /k 26/58 Stelling: determinant en elem. rij operaties Stel A is een n × n matrix en • B1 wordt uit A verkregen door het verwisselen van twee rijen, • B2 wordt uit A verkregen door een rij met een getal c te vermenigvuldigen, • B3 wordt uit A verkregen door een veelvoud van een rij bij een andere rij op te tellen. Dan geldt: • det(B1 ) = − det(A ) • det(B2 ) = c · det(A ) • det(B3 ) = det(A ) /k 27/58 Stelling: determinant en elem. kolom operaties Stel A is een n × n matrix en • C1 wordt uit A verkregen door het verwisselen van twee kolommen, • C2 wordt uit A verkregen door een kolom met een getal c te vermenigvuldigen, • C3 wordt uit A verkregen door een veelvoud van een kolom bij een andere kolom op te tellen. Dan geldt: • det(C1 ) = − det(A ) • det(C2 ) = c · det(A ) • det(C3 ) = det(A ) /k 28/58 Stelling: determinant elementaire matrix Stel A is een n × n matrix en • B1 wordt uit A verkregen door het verwisselen van twee rijen, • B2 wordt uit A verkregen door een rij met een getal c te vermenigvuldigen, • B3 wordt uit A verkregen door een veelvoud van een rij bij een andere rij op te tellen. Dan zijn er elementaire matrices E1 , E2 en E3 met • B1 = E1 A , det(B1 ) = − det(A ) en det(E1 ) = −1 • B2 = E2 A , det(B2 ) = c · det(A ) en det(E2 ) = c • B3 = E3 A , det(B3 ) = det(A ) en det(E3 ) = 1 /k 29/58 Verwisselen van rijen VOORBEELD: 1 E1 = 0 0 Stel 0 0 1 7 4 0 1 en A = 5 8 2 dan is det(A ) = −54 1 0 3 9 6 De 2-e en 3-e rij van A zijn verwisseld in E1 A en 1 7 4 det(E1 A ) = 3 9 6 = 54 5 8 2 en 1 0 0 det(E1 ) = 0 0 1 = −1 0 1 0 /k 30/58 Rij vermenigvuldigen met een getal VOORBEELD: 1 E2 = 0 0 Stel 0 0 1 7 4 c 0 en A = 5 8 2 dan is det(A ) = −54 0 1 3 9 6 De 2-e rij van A is met c vermenigvuldigd in E2 A en 1 7 4 det(E2 A ) = 5c 8c 2c = −54 · c 3 9 6 en 1 0 0 det(E2 ) = 0 c 0 = c 0 0 1 /k 31/58 Veelvoud van een rij bij een andere optellen VOORBEELD: 1 E3 = 0 0 Stel 0 0 1 7 4 1 c en A = 5 8 2 dan is det(A ) = −54 0 1 3 9 6 De c maal de 3-e rij is bij 2-e rij van A geteld in E3 A en 1 7 4 det(E3 A ) = 5 + 3c 8 + 9c 2 + 2c = −54 3 9 6 en 1 0 0 det(E3 ) = 0 1 c = 1 0 0 1 /k 32/58 Stelling: det(AB ) = det(A ) det(B ) BEWIJS: Stel A en B zijn inverteerbare n × n matrices Dan gaat A na een aantal elementaire rij operaties over In Dus er zijn elementaire matrices E1 , . . . Em met Em · · · E1 A = In Dus det(Em ) · · · det(E1 ) det(A ) = det(In ) = 1 Dus det(A ) = (det(Em ) · · · det(E1 ))−1 /k 33/58 Vervolg bewijs: det(AB ) = det(A ) det(B ) Evenzo zijn er elementaire matrices F1 , . . . Fl met Fl · · · F1 B = In dus: det(B ) = (det(Fm ) · · · det(F1 ))−1 Dus: Fl · · · F1 Em · · · E1 AB = Fl · · · F1 In B = Fl · · · F1 B = In dus: det(AB ) = (det(Fm ) · · · det(F1 ) det(Em ) · · · det(E1 ))−1 = (det(Fm ) · · · det(F1 ))−1 (det(Em ) · · · det(E1 ))−1 = det(B ) det(A ) = det(A ) det(B ) /k 34/58 Stelling: det(A −1 ) = (det(A ))−1 BEWIJS: Stel A is een inverteerbare n × n matrix Dan geldt: AA −1 = In Dus: det(A ) det(A −1 ) = det(In ) = 1 Dus: det(A −1 ) = /k 1 det(A ) 35/58 Inverse van driehoeksmatrix 36/58 Stel A is een n × n bendendriehoeksmatrix. en alle elementen aii op de hoofddiagonaal zijn niet nul. Dan is A inverteerbaar en de inverse van A is weer een bendendriehoeksmatrix en het i -de element op de hoofddiagonaal is 1 aii . Een zelfde bewering geldt ook voor een bovendriehoeksmatrix. /k Voorbeeld inverse van driehoeksmatrix Nu geldt: 3 2 −4 9 −18 18 7 0 27 −21 = 27I3 A ·B = 0 1 0 0 3 0 0 9 9 −18 18 1 1 0 27 −21 Dus A −1 = B= 27 27 0 0 3 1 −2 2 3 Dus A /k −1 = 0 0 3 3 1 −7 9 0 1 9 37/58 Minor en cofactor DEFINITIE: Stel A is een n × n matrix Mij is de minor van het element aij het is de determinant van de deelmatrix van A die wordt verkregen door het weglaten van de i -de rij en de j -de kolom. Aij = (−1)i +j Mij heet de cofactor van het element aij /k 38/58 Voorbeeld minor en cofactor 3 2 −4 7 Stel A = 2 1 −5 3 9 Voor M11 laten we de eerste rij en kolom van A weg 3 2 −4 1 7 = 1 · 9 − 7 · 3 = −12 2 1 7 dus M11 = 3 9 −5 3 9 en A11 = (−1)2 M11 = −12 /k 39/58 Voorbeeld minor en cofactor Voor M23 laten we de tweede rij en derde kolom van A weg 3 2 −4 2 1 7 −5 3 9 Dus M23 3 2 = 3 · 3 − 2 · (−5) = 19 = −5 3 en A23 = (−1)5 M23 = −19 /k 40/58 Teken van de cofactor 41/58 Er geldt Aij = (−1)i +j Mij Dus Aij = ±Mij Bijvoorbeeld A11 = M11 , A12 = −M12 , A13 = M13 , A23 = −M23 /k Teken van de cofactor 42/58 Dus Aij = ±Mij De tekens wisselen af als de vakken op een schaakbord + − + ··· − + − ··· + − + ··· .. .. .. . . . /k Stelling 43/58 Stel A is een 3 × 3 matrix De determinant van A wordt gedefinieerd door: det(A ) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 Stel A is een n × n matrix Dan wordt de determinant van A gegeven door de cofactor ontwikkeling langs de eerste rij: det(A ) = a11 A11 + a12 A12 + · · · + a1n A1n /k Voorbeeld determinant 3 × 3 matrix 3 2 −4 7 Stel A = 2 1 −5 3 9 dan is 1 7 det(A ) = 3 3 9 − 2 2 7 + (−4) 2 1 = −5 3 −5 9 3 · (−12) − 2 · 53 + (−4) · 11 = −186 /k 44/58 Determinant 3 × 3 matrix 45/58 a11 a12 a13 Stel A = a21 a22 a23 dan is a31 a32 a33 a a det(A ) = a11 22 23 a32 a33 − a12 a21 a23 a31 a33 + a13 a21 a22 a31 a32 = a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21 a33 − a23 a31 ) + a13 (a21 a32 − a22 a31 ) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31 /k Conclusie 46/58 det(A ) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31 De determinant van een 3 × 3 matrix A is verkregen door de cofactor ontwikkeling langs de eerste rij /k Stelling cofactor ontwikkeling 47/58 det(A ) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31 De determinant van een 3 × 3 matrix A kan ook verkregen door de cofactor ontwikkeling langs: eerste tweede derde eerste tweede derde /k rij rij rij kolom kolom kolom a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 a12 A12 + a22 A22 + a32 A32 a13 A13 + a23 A23 + a33 A33 Stelling cofactor ontwikkeling De determinant van een n × n matrix A kan verkregen door de cofactor ontwikkeling langs de i -de rij: det(A ) = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + · · · + ain Ain of langs de j -de kolom: det(A ) = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj /k 48/58 Voorbeeld cofactor ontwikkeling 3 2 −4 7 Stel A = 2 1 −5 3 9 dan geeft de cofactor ontwikkeling langs eerste kolom: 2 −4 2 −4 1 7 = + (−5) − 2 det(A ) = 3 3 9 1 7 3 9 3 · (−12) − 2 · 30 + (−5) · 18 = −186 /k 49/58 Slimme keuze van een rij of kolom 0 3 Stel A = 4 −5 50/58 0 1 0 0 −4 2 2 7 1 0 0 3 cofactor ontwikkeling langs tweede kolom geeft: 0 1 0 det(A ) = −2 3 −4 2 −5 0 3 daarna geeft cofactor ontwikkeling langs eerste rij: 3 2 = 2 · 19 = 38 det(A ) = (−2) · (−1) −5 3 /k Cofactoren van verschillende rijen a11 a12 a13 Stel A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 Beschouw de matrix A 0 met dezelfde eerste en derde rij: a11 a12 a13 A 0 = a21 a22 a23 a11 a12 a13 0 0 0 Dan geldt A31 = A31 , A32 = A32 , A33 = A33 , /k 51/58 Cofactoren van verschillende rijen a11 a12 a13 A 0 = a21 a22 a23 dan is det(A 0 ) = 0 a11 a12 a13 Anderzijds geeft cofactor ontwikkeling langs derde rij: 0 0 0 det(A 0 ) = a11 A31 + a12 A32 + a13 A33 = a11 A31 + a12 A32 + a13 A33 CONCLUSIE: a11 A31 + a12 A32 + a13 A33 = 0 /k 52/58 Stelling cofactor ontwikkeling Stel A is een 3 × 3 matrix Dan geldt voor alle i : det(A ) = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + ai 3 Ai 3 en voor alle i 6 = k : ai 1 Ak 1 + ai 2 Ak 2 + ai 3 Ak 3 = 0 /k 53/58 Stelling 3 × 3 geadjungeerde matrix Er geldt: a11 a12 a21 a22 a31 a32 det(A ) 0 0 /k a13 A11 A21 A31 a23 A12 A22 A32 = a33 A13 A23 A33 0 0 det(A ) 0 = det(A )I3 0 det(A ) 54/58 Conclusie Berekening van een determinant kan op verschillende manieren: • door herhaald ontwikkelen naar een rij of kolom • door vegen • een combinatie van beide /k 55/58 Voorbeeld: herhaald ontwikkelen 56/58 1 7 4 Stel A = 5 8 2 3 9 6 Ontwikkelen naar de eerste rij geeft: 5 2 8 2 − 7 · det(A ) = 1 · 3 6 9 6 +4· 5 8 3 9 = 1 · (8 · 6 − 9 · 2) − 7 · (5 · 6 − 3 · 2) + 4 · (5 · 9 − 3 · 8) = 1 · (48 − 18) − 7 · (30 − 6) + 4 · (45 − 24) = 30 − 168 + 84 = −54 /k Voorbeeld: combinatie van technieken 1 7 4 Stel A = 5 8 2 3 9 6 Deel derde rij door 3, en daarna de derde kolom door 2 1 7 4 1 7 2 det(A ) = 3 · 5 8 2 = 3 · 2 · 5 8 1 1 3 2 1 3 1 Veeg de laatste kolom met de spil rechtsonder det(A ) = 6 · −1 1 0 −1 1 4 5 0 =6· = 6 · (−5 − 4) = −54 4 5 1 3 1 /k 57/58 Equivalente beweringen STELLING: Stel A is een n × n matrix. Dan zijn de volgende beweringen equivalent: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) A is inverteerbaar AX = 0 heeft alleen de triviale oplossing De gereduceerde rij trap vorm is de n × n eenheidsmatrix rref(A ) = In AX = B heeft een oplossing voor elke B AX = B heeft precies één oplossing voor elke B det(A ) 6 = 0 /k 58/58
© Copyright 2024 ExpyDoc