4 – Breuken met letters 4.2 – Vereenvoudigen 4 a 3a 2 b ab = 3 3ab b 3a = 3 b2 (teller en noemer eerst delen door a en daarna door b) b x ( x − 1) x − 1 = (teller en noemer delen door x) xy y c a 2 + ab a + b (teller en noemer delen door a) = ab b d 3 pq − 2q 6q 2 e x2 − 2 x x f 2 3p − 2 (teller en noemer delen door q) 6q = = x−2 (teller en noemer delen door x) x ac ( b + 1) 2 c ( a + 1) ( b + 1) 2 g = ac ( b + 1) c ( a + 1) 2 = a ( b + 1) ( a + 1)2 (eerst delen door ( b + 1) en daarna door c) a b a−b a−b 1 − = = = 2a − 2b 2a − 2b 2a − 2b 2 ( a − b ) 2 (één breuk van maken en vereenvoudigen door de factor ( a − b ) eruit te delen) h x − 3y x + 2 y x − 3y + x + 2 y 2x − y + = = = 1 (één breuk van maken en vereenvoudigen) 2x − y 2x − y 2x − y 2x − y i p 2 q3 ( p + 1) 3 2 p q j ( a − 1) 2 bc ( a 2 bc ) 2 k = ( a2b(c + 1)) = q( p + 1) (teller en noemer delen door p 2 en door q 2 of in één keer door p 2 q 2 ) p ( a − 1) 2 bc a 4 b2 c 2 3 ( abc ) 4 = = ( a − 1) 2 a 4 bc a6 b3 (c + 1)3 a 4b 4 c 4 = (noemer uitwerken en dan teller en noemer delen door bc) a 2 (c + 1)3 bc 4 (teller en noemer uitwerken en dan beide delen door a 4b3 ) l a − 2b 2a − b a − 2b − 2a + b −a − b a+b − = = =− = −1 a+b a+b a+b a+b a+b 5 a x 2 + 2 x + 1 ( x + 1)( x + 1) x + 1 = = = x +1 1 ⋅ ( x + 1) 1 x +1 De teller ontbinden en dan teller en noemer door ( x + 1) delen. b (a + b) ⋅ (a + b) a + b a 2 + 2ab + b2 ( a + b ) = = = =a+b a+b a+b 1⋅ ( a + b ) 1 2 Teller ontbinden en dan de factor ( a + b ) wegdelen. c x3 − 3x 2 − 10 x x( x 2 − 3x − 10) x( x − 5)( x + 2) = = = x ( x − 5) x+2 x+2 x+2 © Noordhoff Uitgevers Uitwerkingen 1 4 – Breuken met letters d p3 − 4 p p( p 2 − 4) p( p + 2)( p − 2) = = = p( p + 2) p−2 p−2 p−2 e 1 − x 2 (1 − x )(1 + x) (1 − x)(1 + x ) 1 + x = = = = − x − 1 , want −(1 − x) = −1 + x = x − 1 x −1 x −1 −(1 − x ) −1 f x2 − x 3 x +x g = x ( x − 1) ( x x +1 x2 − 1 = 2 x + 3x + 2 h 5 a−b 2 ( ) 2 a −b = 2 i x3 − 2 x 2 x2 − 4 ) 2 = x −1 x2 + 1 ( x + 1)( x − 1) x − 1 = ( x + 1)( x + 2 ) x + 2 5(a − b) 2 ( a − b )( a + b ) x2 ( x − 2) ( x + 2 )( x − 2 ) j a3 + 2a 2 − 3a = a2 − a k = x2 − 4 x + 4 = = = 5(a − b) a+b x2 x+2 a (a 2 + 2a − 3) a( a + 3)( a − 1) = =a+3 a( a − 1) a( a − 1) ( x − 2 )( x − 2 ) ( x − 2 )2 = x ( x + 2) x ( x + 2) x2 + 2 x Na deze ontbinding blijkt dat je de breuk niet kunt vereenvoudigen. l x 2 x + 2x − 3 − 1 2 x + 2x − 3 m x3 − 6 x 2 − 16 x x2 − 8 x n x 2 − 3x − 10 2 x + 3x + 2 = o a3 + a 2 − 30a 2 a + 2a − 24 = = x −1 2 x + 2x − 3 = x −1 1 = ( x − 1)( x + 3) x + 3 x( x 2 − 6 x − 16) ( x − 8 )( x + 2 ) = = x+2 x( x − 8) ( x − 8) ( x + 2 )( x − 5) x − 5 = ( x + 2 )( x + 1) x + 1 = a( a 2 + a − 30) 2 a + 2a − 24 = a( a + 6)( a − 5) a(a − 5) = ( a + 6)( a − 4) a−4 6 a Neem bijvoorbeeld a = 1 en b = 1 1+1 1 ≠ want de linkerkant is twee en de rechterkant is één. Dan geldt 1 1 a+b b ≠ Dus a 1 b Neem bijvoorbeeld a = 1 , b = 1 en c = 2 1+1 1 2 1 Dan krijg je ≠ want ≠ 1+ 2 2 3 2 a+b b ≠ Dus a+c c © Noordhoff Uitgevers Uitwerkingen 2 4 – Breuken met letters c Neem bijvoorbeeld p = 1 en q = 2 1+1 1 1 2 1 ≠ + want ≠ 1 + Dan krijg je 1+ 2 1 2 3 2 p +1 p 1 ≠ + Dus heb je bewezen dat p+q p q d Neem bijvoorbeeld x = 1 en y = 1 1 1 1 1 ≠ + want ≠ 1 + 1 Dan krijg je 1+1 1 1 2 1 1 1 ≠ + Dus x+ y x y e Neem bijvoorbeeld x = 1 1 1 1 1 1 ≠ − want − ≠ Dan krijg je 1− 2 1 2 2 2 x x x ≠ − Dus 2 x − 2 x2 2 f Neem bijvoorbeeld a = 1 1+ 2 +1 1+1 4 2 ≠ want ≠ Dan krijg je 2+3 3 5 3 Dus a 2 + 2a + 1 a 2 + 1 ≠ 2a + 3 3 g Neem bijvoorbeeld a = b = c = d = 1 1+1 1 1 ≠ + want 1 ≠ 2 Dan krijg je 1+1 1 1 a+b a b ≠ + Dus c+d c d h Neem bijvoorbeeld a = b = c = d = 1 1+1 1 1 ≠ + want 1 ≠ 2 Dan krijg je 1+1 1 1 a+b a b ≠ + Dus c+d c d i Neem bijvoorbeeld x = 0 Dan krijg je Dus 02 + 3 ⋅ 0 + 1 x 2 + 3x + 1 x2 + 1 © Noordhoff Uitgevers 02 + 1 ≠ 3 ⋅ 0 want 1 ≠ 0 ≠ 3x Uitwerkingen 3