Hogeschool van Amsterdam
Domein Onderwijs en Opvoeding
Lio-praktijkonderzoek Bachelor Wiskunde Voltijd
2013-2014
De doorlopende leerlijn:
Het vermenigvuldigen van breuken in groep 8
en op het Rijnlands Lyceum Sassenheim
Bron: www.cartoonstock.com
Marjon Schippers
Studentnummer: 500628404
Eerste corrector & begeleider: Marieke Collins
Tweede corrector: Frans Leijnse
INHOUDSOPGAVE
Inhoudsopgave ........................................................................................................................................ 1
A.
Inleiding............................................................................................................................................ 3
1. Aanleiding .................................................................................................................................... 3
2. Probleem- en doelstelling ............................................................................................................ 4
3. Onderzoeksvragen ....................................................................................................................... 5
B.
Onderzoek ........................................................................................................................................ 6
4. Literatuurstudie ........................................................................................................................... 6
4.1. Breuken................................................................................................................................ 6
4.1.1. Een omschrijving........................................................................................................ 6
4.1.2. Notatie ...................................................................................................................... 6
4.1.3. Subconstructen .......................................................................................................... 8
4.1.4. Modellen ................................................................................................................... 9
4.2. Rekenonderwijs in Nederland: Ontwikkelingen en actualiteiten ....................................... 13
4.2.1. Ontwikkelingen in de rekendidactiek in Nederland .................................................. 13
4.2.2. Gecijferdheid ........................................................................................................... 16
4.2.3. Referentiekader ....................................................................................................... 17
4.3. Overgang van het primair naar het voortgezet onderwijs ................................................. 19
4.3.1. Fasen in het rekenen met breuken........................................................................... 19
4.3.2. Aansluiting schoolboeken ........................................................................................ 20
5. Praktijkonderzoek ...................................................................................................................... 23
5.1. Methodologie .................................................................................................................... 23
5.1.1. Verantwoording keuze............................................................................................. 23
5.1.2. Respondenten .......................................................................................................... 23
5.1.3. Onderzoeksinstrument ............................................................................................ 24
5.1.4. Procedure ................................................................................................................ 26
5.1.5. Dataverwerking ....................................................................................................... 26
5.2. Data-analyse ...................................................................................................................... 28
5.2.1. Kwantitatief onderzoek ........................................................................................... 28
5.2.2.Kwalitatief onderzoek ............................................................................................... 33
6. Resultaten .................................................................................................................................. 37
6.1. Aanpassingen/toevoegingen in de didactiek volgens literatuur ........................................ 37
6.1.1. Een beschrijving ....................................................................................................... 37
1
6.1.2. Doorzetting van de hoofdlijnen en meer onderscheid tussen informeel-formeel .... 37
6.1.3. Intensieve samenwerking PO-VO............................................................................. 37
6.2. Rekenen met breuken in groep 8 en de eerste klas ........................................................... 39
6.2.1. Een beschrijving ....................................................................................................... 39
6.2.2. Rekenvaardigheden einde basisschool .................................................................... 39
6.2.3. Rekenvaardigheden in de eerste klas....................................................................... 41
6.3. Didactiek bij het rekenen met breuken in groep 8 en de eerste klas................................. 42
6.3.1. Een beschrijving ....................................................................................................... 42
6.3.2. Verschillen en overeenkomsten in oplosmethode en notatie ................................... 42
6.3.3. Inhoud lessen PO-VO ............................................................................................... 43
6.3.4.Aansluiting didactiek PO-VO..................................................................................... 44
C.
Conclusie en discussie .................................................................................................................... 46
7. Conclusie.................................................................................................................................... 46
8. Aanbevelingen ........................................................................................................................... 48
9. Discussie ..................................................................................................................................... 49
Literatuurlijst ......................................................................................................................................... 51
Bijlagen .................................................................................................................................................. 53
2
A.
INLEIDING
1.
AANLEIDING
Op 1 augustus 2010 is het wetsvoorstel Referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen in werking
gegaan. De kern van het wetsvoorstel vormt het Referentiekader taal en rekenen (Van BijsterveldtVliegenthart, 2010). Het Referentiekader rekenen is een leidraad voor scholen, docenten en
onderwijsprogramma’s in het primair, voortgezet, speciaal en middelbaar onderwijs. Aan de hand
van het referentiekader kan de school tot een goede invulling komen van het rekenonderwijs op zijn
school.
Het Rijnlands Lyceum Sassenheim (RLS) is sinds de ingang van het eerder genoemde wetsvoorstel
bezig met de vormgeving en invulling van hun rekenonderwijs. Met het oog op de centrale
rekentoets in de examenklassen neemt het RLS ook een rekentoets af in, onder andere, het eerste
leerjaar. Leerlingen in de eerste klas krijgen een les voorafgaand aan de rekentoets van de
rekendocent1. In deze les krijgen ze uitleg over de gang van zaken en krijgen zij een aantal
rekenoefeningen. Na het maken van de rekentoets in de tweede les zal blijken of de leerling geslaagd
of gezakt is voor de rekentoets. Indien de leerling gezakt is voor de rekentoets zal hij twee
rekenlessen van de rekendocent krijgen. Na deze lessen maakt de leerling zijn herkansing. Er zal
blijken of de leerling geslaagd of gezakt is. Als de leerling opnieuw gezakt is, komt de hoogste
onvoldoende op het rapport van de leerling te staan. Er is geen herkansing meer mogelijk. Leerlingen
van 1 mavo/havo, 1havo/vwo en 1tvwo2 krijgen dezelfde rekentoets.
Afgelopen jaren bleek dat een groot percentage leerlingen uit de 1 mavo/havo klassen de eerste
rekentoets niet haalde. Dit schooljaar (2013/2014) heeft 72% van de leerlingen uit de mavo/havo
klassen de rekentoets niet direct in een keer gehaald. Hieruit blijkt dat deze brugklasleerlingen van
het RLS aan het begin van hun middelbare schoolperiode nog niet op het gewenste rekenniveau
zitten. Het resultaat van de rekentoets en de daarbij getrokken conclusie was een aanleiding voor Jan
Bosman, hoofd van de sectie wiskunde, om onderzoek te doen naar de aanpak en notatie van
leerkrachten van groep 8 van basisscholen in omgeving Sassenheim en wiskundedocenten van het
RLS bij diverse rekenopgaven. De conclusie van Jan Bosman na het doen van dit onderzoek is dat er
een grote diversiteit in aanpak en notatie bestaat bij rekenopgaven tussen de basisschooldocenten
en de wiskundedocenten van het RLS.
Het valt niet alleen het RLS op dat leerlingen van de eerste klas niet allemaal goed zijn in rekenen.
Ook Geeke Bruin-Muurling geeft aan dat de basale vaardigheden op het gebied van rekenen, van
leerlingen in de brugklas te wensen overlaat. In haar promotieonderzoek beveelt zij aan om de
uitgeverijen van rekenmethoden een gezamenlijke leerlijn voor breuken te laten ontwikkelen, die
zowel op de basisschool als de middelbare school gebruikt kan worden. Tevens geeft Bruin-Muurling
aan dat de didactiek en de beoogde strategieën beter op elkaar aan zouden moeten sluiten (BruinMuurling, Gravemeijer, & Van Eijk, Aansluiting schoolboeken basisschool en havo/vwo, 2010).
1
De rekendocent is een docent die op het RLS de rekenlessen verzorgd.
Leerlingen op het RLS kunnen onderwijs krijgen op middelbaar algemeen voortgezet onderwijs (mavo), op
hoger algemeen voortgezet onderwijs (havo), op voorbereidend wetenschappelijk onderwijs (vwo) of op de
tweetalige variant van het vwo, waarbij ruim 75% van de vakken in het Engels gegeven worden.
2
3
Uit de bevindingen van Bosman en de resultaten van het onderzoek van Bruin-Muurling maak ik op
dat er enige incoherentie bestaat in de didactiek tussen de docenten van het basisonderwijs en de
docenten van het voortgezet onderwijs. Tevens maak ik op uit de conclusie van Geeke BruinMuurling dat het in het voordeel van de leerling zal zijn als er een betere aansluiting is in
rekendidactiek van de twee groepen docenten. Het RLS wilt ook graag een betere aansluiting op het
rekenonderwijs van de basisschool.
Ook ik denk dat het belangrijk is als wij, het RLS en de wiskunde- en rekendocenten van het RLS, in
ieder geval op de hoogte zijn van wat er speelt in het basisonderwijs op het gebied van rekenen. Ik
merk in mijn wiskundelessen dat er onder de leerlingen veel diversiteit bestaat in het oplossen van
opgaven met breuken, met name bij het vermenigvuldigen met breuken. Ik zie veel verschillen tussen
mijn leerlingen als ik kijk naar de notatie en aanpak. Ik verwacht dat ook docenten in het basis- en
voortgezet onderwijs op verschillende wijzen breuken vermenigvuldigen. Ik wil met mijn onderzoek
erachter komen wat de verschillen in didactiek, oplosmethoden en notatie tussen basisschool- en
voortgezet onderwijsdocenten zijn. Als ik bewust ben van deze verschillen kan ik mijn didactiek
verbeteren, de aansluiting met de basisschool zal hopelijk verbeteren.
2.
PROBLEEM- & DOELSTELLING
In Nederland zijn er nog veel discussies over het rekenonderwijs in Nederland. Zo noemt BruinMuurling in haar onderzoek dat de didactiek en strategieën bij het vermenigvuldigen van breuken
beter op elkaar aan zouden moeten sluiten voor een verbetering van het rekenonderwijs. Ook het
RLS is zich bewust van de nog onvoldoende aansluiting met het basisonderwijs wat het rekenen
betreft en wilt een betere aansluiting.
Met mijn onderzoek wil ik graag in kaart brengen welke verschillen er zijn in de didactiek,
oplosmethoden en notatie tussen basisschooldocenten van groep 8 in omgeving Sassenheim en de
wiskunde- en rekendocenten van het RLS. Bovendien wil ik onderzoeken hoe de wiskunde- en
rekendocenten van het RLS hun lessen beter aan kunnen laten sluiten op de rekenlessen die in groep
8 van het basisonderwijs worden gegeven.
Het komen tot een aanpassing van de wiskunde- en rekenlessen over het vermenigvuldigen van
breuken zal er mogelijk voor zorgen dat de doorlopende leerlijn vanuit het basisonderwijs naar het
voortgezet onderwijs in het vermenigvuldigen van breuken verbeterd wordt.
4
3.
ONDERZOEKSVRAGEN
Om de doorlopende leerlijn vanuit het basisonderwijs naar het voortgezet onderwijs in het
vermenigvuldigen met breuken te verbeteren staat de volgende hoofdvraag centraal in mijn
onderzoek:
Hoe kan de doorlopende leerlijn vanuit de basisscholen in omgeving Sassenheim naar het RLS voor
het vermenigvuldigen van breuken verbeterd worden in de wiskunde- en rekenlessen aan de eerste
klas?
Om mijn onderzoeksvraag te beantwoorden heb ik de volgende deelvragen opgesteld.
1.
Wat zijn, volgens de literatuur, mogelijke aanpassingen en/of toevoegingen in de didactiek
van wiskundedocenten van het RLS om de leerlijnen voor het vermenigvuldigen van breuken
in het basisonderwijs en op het RLS beter op elkaar aan te laten sluiten?
2A.
Welke vaardigheden met betrekking tot het rekenen met breuken leren leerlingen in groep 8
en moeten zij aan het eind van groep 8 beheersen om te kunnen doorstromen naar de
eerste klas van het RLS?
2B.
Welke vaardigheden met betrekking tot het rekenen met breuken leren leerlingen in de
eerste klas van het RLS?
3.
Op welke punten sluit de huidige didactische aanpak van docenten van groep 8 van
basisscholen in omgeving Sassenheim en wiskunde- en rekendocenten van de eerste klas
van het RLS bij het vermenigvuldigen van breuken goed op elkaar aan en op welke
punten niet?
3A.
Welke verschillen en/of overeenkomsten zijn er in de manier waarop docenten van groep 8,
werkzaam in omgeving Sassenheim, breukvermenigvuldigingen oplossen en in de manier
waarop wiskundedocenten van de eerste klassen van het RLS dit doen?
3B.
Hoe ziet een les over het vermenigvuldigen van breuken er in het algemeen uit in groep 8
en in de eerste klas van het RLS? Welke theorie legt de docent uit, hoe legt de docent deze
theorie uit? Zijn er volgens hem/haar alternatieven?
5
B.
ONDERZOEK
4.
LITERATUURSTUDIE
4.1. B REUKEN
4.1.1. EEN OMSCHRIJVING
is een breuk (Ballering, Van Helden, Konings, Krabbendam, Staal, & Van der Steene, 2008). Breuken
zijn rationale getallen die geschreven worden in de vorm . De a stelt de teller voor, de b stelt de
noemer voor. De teller geeft aan hoeveel gelijke delen er geteld worden, de noemer geeft aan
hoeveel gelijke delen er nodig zijn om een geheel te vormen (Van de Walle, Karp, & Bay-Williams,
2013).
Er bestaan meerdere soorten breuken. De meest voorkomende zijn de stambreuken, echte breuken,
onechte breuken en gemengde breuken. De eerste soort, de stambreuken, zijn breuken waarvan de
teller altijd 1 is (bijvoorbeeld
noemer (bijvoorbeeld
. Echte breuken zijn breuken waarvan de teller kleiner is dan de
). Onechte breuken zijn breuken waarvan de teller gelijk is aan of groter
is dan de noemer (bijvoorbeeld
). Gemengde breuken bestaan uit een geheel getal en een
echte breuk (bijvoorbeeld
).
4.1.2. NOTATIE
±3000 VOOR CHRISTUS TOT ±1200 NA CHRISTUS
Het noteren van een deling met een breuk stamt af uit de twaalfde eeuw. De Arabische schrijver alHassâr was de eerste wiskundige die gebruik maakte van de deelstreep. Dit wil niet zeggen dat de
breuk nog niet eerder bekend was. Cajori (1993) geeft in A History of Mathematical Notations een
heldere weergave over de ontwikkeling van de notatie van een deling en een breuk.
Zo geeft Cajori aan dat de Babyloniërs (3000 v.Chr. – 1600 v.Chr.) een ideogram gebruikten, een
schriftteken dat een begrip symboliseert, om een deling weer te geven.
Over de Egyptenaren (2700 v.Chr. – 500 v.Chr.) is meer bekend over de notatie (en toepassing) van
breuken. Zo staan in de Rhind papyrus (1650 v.Chr.), het oudste, bekende wiskundige geschrift op de
wereld, praktische vraagstukken beschreven zoals ‘zes broden verdelen onder tien mannen’. Naast
deze praktische vraagstukken bevat de Rhind papyrus ook tabellen met breuken. Uit deze tabellen is
opgemaakt dat de Egyptenaren twee soorten breuken hadden. De eerste soort zijn de natuurlijke
breuken als , , ,
en . Dit zijn breuken die vaak in hun dagelijkse leven voorkwamen, de
Egyptenaren hadden een apart symbool voor deze natuurlijke breuken (figuur 1). De tweede soort
breuken waren de stambreuken, dit zijn de breuken waarvan de teller 1 is (Streefland, 1988).
6
Figuur 1 - Schrijfwijze van breuken in het Oude Egypte
3
De Griekse beschaving (600 v.Chr. – 500 n.Chr.) had nog geen symbool voor een deling. De Griek
Diophantus van Alexandrië was echter een uitzondering. Cajori zegt het volgende erover:
‘Diophantus scheidde het gedeelde van de deler met de woorden ἐν, μορίῳ of μορίου als in de
uitdrukking ζ λείψει ςς κδ μορίου
ιβ λείψειςς ζ dat
betekent.’ Het citaat maakt duidelijk hoe Diophantus een deling noteerde.
In de Indiase wiskunde (400 n.Chr. – 600 n.Chr.) werd een deling wel al weergegeven door de deler,
de noemer, onder het gedeelde, de teller, te schrijven.
Italiaan Leonardo van Pisa (beter bekend als Fibonacci; ±1170 - ±1250) volgde al-Hassâr op in het
gebruik van een deelstreep en schreef in zijn boek Liber Abaci het volgende: ‘Als boven een getal een
lijn wordt getekend en daarboven een ander getal wordt geschreven, staat het bovenste getal voor
het deel of delen van het onderste getal; het onderste getal heet de noemer, het bovenste de teller.
Dus als boven een twee een lijn wordt getekend en daarboven een één is geschreven, staat deze
voor een deel van twee delen van een geheel getal, dat wil zeggen een half, dus .’ De Italiaan
beschrijft hiermee als eerste de relatie tussen een deling en een breuk.
±1500 NA CHRISTUS TOT ±1900 NA CHRISTUS
In de zestiende en zeventiende eeuw stelden andere (wiskundige) schrijvers andere
verschijningsvormen van breuken voor. Duitser Michael Stifel (1487 – 1567), Engelsman William
Oughtred (1574 – 1660) en Engelsman Joseph Moxon (1627 – 1691) gebruikten het symbool ) om
een deling weer te geven. Twaalf delen door drie werd weergegeven als
.
Een breuk werd in de geschiedenis door Vlaam Simon Stevin (1548 – 1620), Fransman Gallimard en
Portugees José Anastácio da Cunha (1744 – 1787) ook wel met een letter D aangegeven. Alle drie
gebruikten ze wel een andere verschijningsvorm van de letter, zie figuur 2.
Figuur 2 - Het gebruik van letter D bij deling
4
3
Bron: Rekenen in het Oude Egypte, www.Math4all.nl, geraadpleegd op 27-06-2014, URL:
http://www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis/Onderdelen/RGEgypte.html
4
Bron:‘A History of Mathematical Notations’, door Florian Cajori, 1993, New York: Dover Publications, Inc..
7
Geen van de laatste twee genoemde notaties werd erg populair. Een bekender symbool om een
deling weer te geven is ÷, geïntroduceerd door de Zwitser Johann Heinrich Rahn (1622 – 1676) in zijn
boek Teutsche Algebra. Het symbool werd vooral bekend in Groot-Brittannië en de Verenigde Staten,
op het Europese vaste land wordt het tot op de dag van vandaag weinig gebruikt.
Het symbool wat op het Europese vaste land meer roem kreeg en wat nog vaak gebruikt wordt is het
symbool :, de dubbele punt. Duitser Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) introduceerde het
symbool in 1684 en Duitser Christian Wolff (1679 – 1754) wierf bekendheid rondom het symbool in
Duitsland door de dubbele punt te gebruiken in zijn (les)boeken. Zijn boeken werden vertaald en zo
werd het symbool ook in de rest van Europa bekend en gebruikt om delingen en breuken weer te
geven.
Een laatst bekend symbool om een deling weer te geven is de schuine streep, zoals in 12/3 = 4.
Cajori geeft in zijn boek aan dat het Amerikaanse National Committee on Mathematical
Requirements ervan overtuigd was dat dit symbool voor een beter breukbegrip zorgt, omdat de
notatie met een schuine deelstreep lijkt op de notatie van een breuk in de vorm
In 1923 heeft het
comité dan ook voorgesteld om dit symbool te gebruiken in plaats van de symbolen ÷ en :. Het
comité wilde zelfs deze twee symbolen afschaffen. Het voorstel werd echter niet gehoord, het kende
geen succes.
4.1.3. SUBCONSTRUCTEN
Voor een goede begripsvorming bij breuken zou kennis van de subconstructen, ook wel
verschijningsvormen, nodig zijn (Van den Brom, Van Zanten, Van den Bergh, Meijer, & Vrolijk, 2006).
Van de Walle (2013) noemt vijf subconstructen. Van den Brom beschrijft dezelfde vijf
subconstructen. Zij gebruikt niet het woord subconstruct, maar het woord verschijningsvorm. Ook
beschrijft zij nog een zesde subconstruct. In de volgende alinea’s worden zes verschijningvormen
beschreven.
Beide auteurs geven aan dat de meest voorkomende verschijningsvorm van breuken ‘deel-geheel‘ is.
Deze verschijningsvorm verwijst naar een situatie dat een continue hoeveelheid verdeeld wordt in
gelijke delen. De noemer van de breuk geeft het aantal delen weer waarin de continue hoeveelheid
verdeeld is. De teller telt het aantal delen van de continue hoeveelheid. Een voorbeeld is
dropstaaf of
van een
van een taart. De dropstaaf en taart zijn weer voorbeelden van een continue
hoeveelheid. De teller zal altijd gelijk aan of kleiner dan de noemer zijn. Volgens Van de Walle wordt
in deze situatie duidelijk voor leerlingen waar de teller en noemer voor staan.
Van de Walle noemt naast deel van geheel ook de verschijningsvorm ‘ratio’. Van den Brom noemt die
ook, maar dan met de Nederlandse vertaling van het woord: ‘verhouding’. Ratio staat voor de
verhouding tussen twee verschillende hoeveelheden. Als voorbeeld noemt Van de Walle de ratio
, dit geef aan dat drie mensen geen jas dragen en vier mensen wel. Van den Brom legt dit uit
met de verhouding
, met als toevoeging dat twee van de drie speeltuinen in Nederland
gebreken vertonen.
8
Ten derde noemt Van de Walle ‘quotiënt’. Vergelijkbaar met deze verschijningsvorm is het door Van
den Brom genoemde ‘eerlijk delen’. Een continue hoeveelheid wordt eerlijk verdeeld. Van de Walle
geeft expliciet aan dat dit geen ‘deel-geheel’ scenario is. De hoeveelheid is niet per se één, zoals de
dropstaaf of taart genoemd bij de verschijningsvorm ‘deel-geheel’. Van de Walle noemt als
voorbeeld dat er tien dollar te verdelen is onder vier personen. Ieder krijgt in dit geval
dollar. Van
den Brom geeft als voorbeeld dat er twee stokbroden te verdelen is onder drie personen. De teller
kan bij ‘quotiënt’ kleiner, gelijk of groter zijn dan de noemer.
Bij de verschijningsvorm ‘operator’ wordt de breuk als functie van het getal gezien. Van de Walle
noemt als voorbeeld dat
van het publiek een vlag draagt. Van den Brom noemt een soort gelijk
voorbeeld. Zij geeft namelijk als voorbeeld ‘ van een stadion met 12000 plaatsen’. Van den Brom
noemt de verschijningsvorm geen ‘operator’, maar ‘deel-van-een-hoeveelheid’.
De laatste verschijningsvorm van Van de Walle bij breuken is ‘maat’. Hierbij wordt gebruik gemaakt
van de eenheidsmaat om vervolgens de lengte van een object te bepalen. Bijvoorbeeld bij de breuk
. Als je weet wat de lengte is van de eenheidsmaat , dan weet je dat overeenkomt met vijf keer
de eenheidsmaat. Van den Brom noemt ook de verschijningsvorm ‘maat’, maar is niet bondig in haar
uitleg. Zij noemt alleen als voorbeeld bij ‘ van een lengte’. Een toepassing ervan laat zij achterwege.
Ten slotte blijft de verschijningsvorm ‘getal’ over. Van de Walle noemt dit niet, Van den Brom noemt
deze verschijningsvorm als laatste. Met deze verschijningsvorm wordt ook wel de breuk
(bijvoorbeeld ) als rationaal getal gezien waarmee formeel wordt gerekend, zoals in het voorbeeld
.
4.1.4. MODELLEN
LENGTE-, OPPERVLAKTE EN SETMODELLEN
Modellen hebben de functie om een concrete situatie (bijvoorbeeld het verdelen van zes pizza’s
onder vier personen ) te linken aan het formeel rekenen (bijvoorbeeld
). Modellen komen
voort uit concrete situaties (Van den Brom, Van Zanten, Van den Bergh, Meijer, & Vrolijk, 2006). Van
den Brom geeft aan dat in het ideale geval een model zowel een model van kinderen is als een model
voor de wiskunde. Dit houdt in dat kinderen vanuit een concrete situatie zelf een model bedenken en
maken. Vervolgens ondersteunt dit model het formeel redeneren en rekenen.
Volgens Van de Walle (2013) hebben leerlingen de kennis van alle bestaande modellen nodig om
breuken goed te begrijpen. Ook Van den Brom geeft aan dat voor een brede begripsvorming het
nodig is om diverse modellen te kennen en die te kunnen betrekken bij een situatie. Van de Walle
onderscheidt drie verschillende modellen.
Het eerste model is het oppervlaktemodel. Tot deze categorie behoren alle vlakke figuren die
verdeeld worden in gelijke delen. Het gebruik van cirkels of rechthoeken, het tekenen op
ruitjespapier en het vouwen van papier zijn voorbeelden van toepassingen die behoren tot deze
categorie.
9
Van de Walle noemt ook het lengtemodel. Verschillende soorten materialen kunnen gebruikt worden
om de lengte te bepalen en/of verschillende lengten met elkaar te vergelijken. Een verschijningsvorm
van dit model zijn de Cuisenaire rekenstaafjes (figuur 3). Deze rekenstaafjes hebben een lengte van
een tot tien en elke lengte heeft een andere kleur. Het gebruik van deze staafjes kan interessant
materiaal zijn om gelijkwaardige breuken toe te lichten.
Figuur 3 - Cuisenaire Rekenstaafjes.
5
Ten derde worden de setmodellen toegelicht door Van de Walle. Setmodellen bestaan uit een serie
voorwerpen, deze serie wordt als het geheel gezien. Een deel van deze serie stelt de breuk voor. Je
hebt bijvoorbeeld twaalf knikkers (geheel) en daarvan zijn er vier geel. Dit stelt
deel voor van het
totaal. Het setmodel is een van de lastige modellen voor leerlingen. Leerlingen hebben de neiging om
eerder te focussen op het totaal aantal voorwerpen, dan op het totaal aantal gelijke delen. Het
setmodel is echter een goed model om het verband met de praktijk weer te geven. Bijvoorbeeld: zes
van de 24 raadsleden hebben ‘nee’ gestemd bij het voorstel, dit is
deel of ook wel deel .
Van den Brom noemt niet specifiek deze drie categorieën, maar heeft het over het cirkelmodel, reepof plakmodel en de strook of getallenlijn. De eerste twee modellen vallen ook wel onder Van de
Walle zijn oppervlaktemodel. Met de strook of de getallenlijn wordt ook wel hetzelfde bedoeld als
het lengtemodel. Van den Brom geeft aan dat het in deze gevallen vaak gaat om de subconstruct
‘deel-geheel’. Van den Brom noemt niet specifiek een derde model (wat vergelijkbaar is met het
setmodel), maar beschrijft wel de context. Zij noemt als voorbeeld het eerlijk verdelen van vijftien
snoepjes met drie personen.
Het kunnen toepassen van de diverse modellen in de verschillende contexten zal er voor zorgen dat
leerlingen betere kennis hebben over deze subconstructen en daarmee een beter breukbegrip
hebben (Van de Walle, Karp, & Bay-Williams, 2013).
CONTINUE EN DISCONTINUE MODELLEN
Het tekenen van taarten, het verdelen van chocoladerepen, het tekenen van een getallenlijn zijn
voorbeelden om het rekenen met breuken te introduceren of uit te leggen. Het zijn voorbeelden van
lengte- of oppervlaktemodellen. Deze voorbeelden kun je echter ook categoriseren tot continue
5
Bron: The Cuisenaire Company, geraadpleegd op 27-06-2014. URL: www.cuisenaire.co.uk.
10
modellen (Singer-Freeman & Goswami, 2001). Bij continue modellen kan het geheel verdeeld
worden in veel verschillende delen. Een taart kan je bijvoorbeeld delen in twee, vier, vijf (en nog veel
meer) delen.
Tegenover de continue modellen staan de discontinue modellen. In deze categorie valt onder andere
het verdelen van zes rode knikkers of het verdelen van tien personen over vier kamers. Bij
discontinue modellen bestaat het geheel uit een aantal losse voorwerpen. De losse voorwerpen op
zichzelf kunnen niet nog eens apart verdeeld worden. Deze categorie komt overeen met de eerder
genoemde setmodellen.
Singer-Freeman en Goswami geven aan dat het gebruik van continue modellen gemakkelijker is dan
het toepassen van discontinue modellen. Uit onderzoek is gebleken dat het makkelijker is om een
cirkel of rechthoek als geheel te zien, dan een verzameling voorwerpen. Deze uitspraak komt
overeen met de uitspraak van Van de Walle. Hij gaf aan dat het voor kinderen lastig is om het geheel
te zien bij setmodellen en daarmee dus ook bij de discontinue modellen.
MOEILIJKHEDEN EN MISVATTINGEN
In het breukenonderwijs zijn een aantal moeilijkheden aan te geven (Claeys, 2010). Moeilijkheden bij
het rekenen met breuken worden ten eerste veroorzaakt door een beperkt begrip van leerlingen bij
het rekenen met breuken. Voor een goed breukbegrip is kennis van de vijf subconstructen nodig.
Soms wordt in het onderwijs echter meer nadruk gelegd op de ene verschijningsvorm dan de andere,
de instructie van docenten is niet genoeg gericht op de verschillende verschijningsvormen.
Leerlingen krijgen daardoor geen volledig beeld en gebruiken de beschikbare kennis om de
verschillende situaties op te lossen (Van de Walle, Karp, & Bay-Williams, 2013).
Claeys geeft in haar onderzoek aan dat leerlingen vooral problemen hebben met de conceptuele
kennis van breuken. Leerlingen zouden de bewerkingen met breuken wel uit kunnen voeren aan de
hand van regels, maar ze hebben onvoldoende ervaring met de (bijbehorende) conceptuele kennis
om tot een volledig begrip te kunnen komen van de procedures bij de bewerkingen.
Verkeerde intuïties over breuken kunnen moeilijkheden veroorzaken bij leerlingen bij het rekenen
met breuken. De notatie zorgt bijvoorbeeld voor verwarring. Leerlingen zien de teller en de noemer
als twee onsamenhangende getallen met elk een eigen waarde. Zo vinden leerlingen het lastig om
te zien als één getal. De samenhang met de teller en de noemer zien zij bij deze notatie niet (Van de
Walle, Karp, & Bay-Williams, 2013). Ook denken leerlingen vaak dat
twee ongelijke delen kan
11
beteken. Leerlingen denken bijvoorbeeld dat in het figuur hieronder
Figuur 4 - Welk deel is groen gekleurd?
deel groen is gekleurd.
6
Een ander voorbeeld dat het rekenen met breuken met verkeerde intuïties niet altijd goed gaat, is
dat leerlingen hun kennis van gehele getallen toepassen bij breuken, terwijl dit niet altijd correct is.
Zo denken zij dat de breuk kleiner is dan
, omdat het getal 5 een kleinere waarde heeft dan het
getal 10. Van de Walle geeft in dit geval aan dat het van belang is om de waarde van de breuk visueel
te maken, zodat leerlingen de waarde van een breuk beter begrijpen.
Leerlingen passen hun kennis van gehele getallen ook toe bij een som als
. Zij denken dat
. Een andere oorzaak dat een dergelijke som fout wordt gemaakt, is dat leerlingen de
rekenregels niet goed kennen. Bovendien is dit een voorbeeld dat leerlingen niet voldoende kennis
hebben van het breukenconcept.
6
Bron: Elementary and Middle School Mathematics, J. Van de Walle, 2013, New Jersey: Pearson Education.
12
4.2. R EKENONDERWIJS IN NEDERLAND: ONTWIKKELINGEN EN ACTUALITEITEN
4.2.1. ONTWIKKELINGEN IN DE REKENDIDACTIEK IN NEDERLAND
VERSLUYS
Het jaar 1874 kunnen we als startpunt nemen van de intrede van de reken- en wiskundedidactiek. In
dit jaar publiceert Jan Versluys (1845 – 1920) zijn boek Methoden bij het onderwijs in de wiskunde en
bij de wetenschappelijke behandeling van het vak (De Moor, 1994; Streefland, Realistisch
Breukenonderwijs, 1988). Versluys gebruikt in zijn boek nog niet de benaming didactiek, maar heeft
het over leermethode en methodiek. Versluys heeft op een heldere en compacte wijze zijn
opvattingen en ideeën beschreven. Dit heeft er voor gezorgd dat hij een belangrijke bijdrage heeft
geleverd aan de ontwikkeling van het rekenonderwijs. Hij benoemt inductieve en deductieve
leermethoden en de toepassing ervan in het rekenonderwijs. Goed onderwijs volgens Versluys,
bestaat uit vijf principes (De Moor, 1994).
Zijn eerste principe is dat goed reken- en wiskundeonderwijs een heuristische vorm dient te hebben.
Versluys geeft in zijn boek aan dat heuristisch ‘zelfvindend’ betekent. ‘Onderwijs is heuristisch, als de
leerling er toe geleid wordt zelf de gevolgen te trekken’, aldus Versluys. Hij geeft aan dat de docent
een belangrijke rol speelt in dit zelfontdekkende leerproces. Zo kan de docent de weg naar de
oplossing toegankelijk maken voor de leerling door het stellen van de juiste vragen en zorgen voor
een goede voorstructurering van het probleem.
Zijn tweede principe is dat het rekenonderwijs vooraf aan het systematisch handelen een
oriëntatiefase nodig heeft. In deze fase dient het aanschouwelijkheidsprincipe een belangrijke rol te
spelen. Dat wilt zeggen dat de oriëntatiefase moet aansluiten op de leef- en belevingswereld van
leerlingen. Nieuwe leerinhouden zouden zintuiglijk waargenomen moeten worden (Tielemans, 1999).
Daarna dient pas de verwerkingsfase aan de hand van oefenvraagstukken.
Het ‘anti-dogmaprincipe’ is Versluys’ derde principe. Versluys geeft aan dat er geen algemene
pedagogisch-didactische wetten bestaan om rekenen en wiskunde te onderwijzen. Het zal per
domein en onderwerp afhangen hoe de leerstof voorbereid en gestructureerd wordt. Dit principe
tekent het ontstaan van de vakdidactiek voor rekenen en wiskunde.
Versluys stelde eisen aan het ontwikkelde didactisch materiaal. Dit moest ter alle tijden wiskundige
correct zijn. De wetenschappelijkheid van de reken- en wiskundedidactiek is ook wel het vierde
principe. Wiskundige fouten in de didactiek op welk niveau dan ook, waren volgens Versluys niet
toegestaan.
Als vijfde en laatste principe wordt genoemd dat wiskunde naar ‘menselijke maat’ moet zijn. Het
hangt van de doelgroep af waar de accenten gelegd moeten worden. Het hangt van het niveau van
de doelgroep af in hoeverre bepaalde theorie behandeld wordt. Beperking van de leerstof is volgens
Versluys niet erg, begripsvol onderwijzen en leren moeten naar zijn mening voorop staan.
Versluys heeft op een heldere en compacte wijze zijn opvattingen en ideeën beschreven. Dit heeft er
voor gezorgd dat hij een belangrijke bijdrage heeft geleverd aan de ontwikkeling van het
rekenonderwijs.
13
In Methode… introduceert Versluys breuken via het verdelen van variërende eenheden en de
ervaring die kinderen er mee hebben. In het boek wordt een monografische behandeling van
breuken voorgesteld. Dat wilt zeggen dat na het invoeren van de breuk , allerlei situaties genoemd
worden waarin de breuk
centraal staat. Vervolgens worden de vier hoofd-bewerkingen (optellen,
aftrekken, vermenigvuldigen, delen) in combinatie met breuken uitgelegd (Streefland, Realistisch
Breukenonderwijs, 1988).
BOUMAN EN VAN ZELM, DIELS EN NAUTA
Versluys’ ideeën had weinig effect op de praktijk van het rekenonderwijs. De starre en kale methode
Bouman en Van Zelm die rond 1918 uitkwam had meer invloed op het onderwijs (La Bastide - Van
Gemert, 2006). In deze methode was theorie en praktijk gescheiden. Bij de behandeling van het
onderwerp breuken wordt door P.J. Bouman en J.C. van Zelm eerst de technische aspecten van het
rekenen met breuken behandeld. Pas later wordt de toepassing van breuken uitgelegd.
De methode Fundamenteel rekenen van P.A. Diels en J. Nauta verscheen in 1936 (Streefland,
Realistisch Breukenonderwijs, 1988; La Bastide - Van Gemert, 2006). Met het verschijnen van dit
boek werd er meer bezuinigd op de leerstof. De methode kenmerkte zich door vereenvoudiging, het
terugdringen van vorm- en denksommen en meer aandacht voor hoofdrekenen. Er werd
teruggegaan naar de fundamentele begrippen van het rekenonderwijs. Streefland vertelt over
Fundamenteel rekenen dat in deze methode bij het rekenen met breuken direct gezocht werd naar
regels omtrent het rekenen met breuken. Kale sommen domineerden in de boeken. Het rekenen met
breuken werd contextloos. Rekenonderwijs met een zeker realiteitsgehalte had geen grote invloed in
deze tijd.
NEW MATH
Het wiskundeonderwijs volgens de New Math-beweging, waarvan de oorsprong in Amerika (1951)
ligt, was ook contextloos. Volgens deze stroming moet de leerling eerst de structuur en logica van de
wiskunde leren begrijpen, dit maakt de wiskunde makkelijker en aantrekkelijker voor de leerling. Een
psychologische of pedagogische onderbouwing van de theorie speelde een minimale rol volgens de
New Math (La Bastide - Van Gemert, 2006). Het belang van het kind stond niet centraal.
Critici hadden grote zorgen over de snelheid en hoeveelheid waarmee de leerstof werd aangeboden
aan de leerling. Tegenstanders vonden dat de wiskunde op deze manier zijn essentie verloor: de
verbondenheid met de realiteit van het dagelijks leven en de samenhang met andere vakgebieden
(La Bastide - Van Gemert, 2006). Morris Kline (1973) heeft in zijn boek Why Johnny can’t add
bezwaren genoemd tegen de New Math-beweging. Om zijn standpunt te versterken heeft hij het
volgende, vermakelijk voorbeeld genoemd:
‘Een ouder vroeg aan zijn achtjarige zoon: ‘Hoeveel is
’ Het antwoord dat hij kreeg was dat
vanwege de commutatieve eigenschap. Versteld van het antwoord, herformuleerde
de ouder de vraag: ‘Maar hoeveel appels zijn 5 appels en 3 appels?’ Het kind begreep niet helemaal
dat in dit geval ‘en’ ook wel ‘plus’ betekent, dus de zoon vroeg: ‘Bedoelt u 5 appels plus 3 appels?’ De
14
ouder zei onmiddellijk ja en wachtte vol verwachting. ‘Oh’, zei het kind, ‘het maakt niet of je het hebt
over appels, peren of boeken; in elk geval is
.’
Het voorbeeld maakt duidelijk dat het kind wel weet hoe hij een bewerking als
moet uitvoeren
en het heeft kennis over de achterliggende theorie, maar ziet geen samenhang met de realiteit.
De druk van critici werd de New Math-beweging te veel. Dit had als gevolg dat de invloed van deze
stroming begin jaren ’70 verminderde, de New Math-beweging verdween langzamerhand uit beeld.
REALISTISCH REKENONDERWIJS
Hans Freudenthal (1905 – 1990) heeft zich in de tijd van de New Math verzet tegen deze beweging.
Hij was geen voorstander van het reproduceren van kant-en-klare rekensommen. Het gaat volgens
Freudenthal in de wiskunde om het zelf opsporen van verbanden en stellingen, het zelf
mathematiseren van een realistische probleemsituatie. Hij heeft om die reden in de jaren ’70 een
theorie ontwikkeld, die bekend staat als Realistisch Reken- en Wiskundeonderwijs. In deze theorie
staat onder andere beschreven hoe leerlingen wiskunde leren en hoe wiskunde onderwezen zou
moeten worden. Wiskunde en rekenen moet volgens Freudenthal verbonden worden met de
realiteit, het rekenen moet dichtbij de belevingswereld van de leerlingen blijven, het moet waardevol
zijn voor de maatschappij. De invloeden van Freudenthal werden en zijn nog steeds zichtbaar in de
reken- en wiskundemethoden. De opgaven zijn in verhaalvorm in rijke contexten en realistische
situaties geplaatst. De situaties zouden herkend moeten worden door de leerlingen (Prenger, 2005).
De leerlingen beginnen volgens het Realistisch Reken- en Wiskundeonderwijs met rekenen met
informele strategieën en zij zouden dit uit moeten bouwen tot meer formele strategieën (BruinMuurling, Gravemeijer, & Van Eijk, Aansluiting schoolboeken basisschool en havo/vwo, 2010).
Niet iedereen is voorstander van het realistisch rekenen. Tegenstanders (onder andere een groep
rondom Jan van de Craats, hoogleraar aan de Universiteit van Amsterdam) vinden dat leerlingen
eerst moeten leren rekenen met kale sommen, zoals het ook door eerdere generaties werd gedaan.
De discussie over het realistisch rekenen gaat vooral over wat een goede manier voor leerlingen is
om te leren rekenen. Prenger geeft aan als nadeel dat taalzwakke leerlingen de verhaaltjes niet goed
zullen begrijpen. Om die reden zullen ze de opgave niet goed oplossen. De taligheid van de
rekensommen zou de rekenvaardigheid van leerlingen negatief kunnen beïnvloeden (Prenger, 2009).
Prenger geeft als voordeel dat realistische rekensommen kansen bieden voor de taalverwerving van
een leerling. Belangrijk is dat de sommen in een begrijpelijke context worden geplaatst. Bij de opgave
in figuur 5 is de vraag in een moeilijke context geplaatst, leerlingen hadden moeite met het oplossen
van deze opgave. Dezelfde vraag werd later in een andere context geplaatst, een groot aantal
leerlingen kon deze opgave wel oplossen (Prenger, 2009).
15
Figuur 5 - Talige rekensommen.
7
4.2.2. GECIJFERDHEID
DEFINITIE
Gecijferdheid is een jong begrip, het is nog geen veertig jaar oud. Het begrip ontstond, omdat de
aanduiding rekenvaardigheid tekort doet aan de vaardigheden die leerlingen op de basisschool
moeten kunnen betreffende het rekenen met getallen en het verwerken van getalsmatige
informatie. Iemand die gecijferd is, moet wiskunde en wiskundige structuren herkennen in diverse
situaties en moet kritisch deze situaties kunnen volgen of oplossen met wiskundige middelen (Oonk,
Van Zanten, & Keijzer, 2007).
Oonk maakt in zijn definitie duidelijk dat rekenvaardigheid betekent het rekenen met (kale) getallen.
Dit begrip valt onder zijn definitie van gecijferdheid. Naast het rekenen met (kale) getallen betekent
gecijferdheid ook, volgens Oonk, het herkennen van wiskunde in alledaagse situaties en het durven
toepassen van wiskundige kennis in deze situaties.
Den Hertog (2006) maakt in zijn artikel duidelijk dat rekendocenten niet altijd dezelfde definitie van
gecijferdheid hanteren. Hij beschrijft dat een aantal docenten verschil maken tussen
rekenvaardigheid en gecijferdheid. Zo verstaan een aantal docenten onder rekenvaardigheid het
kennen van de basale vaardigheden, het handig kunnen rekenen, het rekenen met begrip en het
rekenen kunnen vertalen naar concrete situaties. Gecijferdheid betekent vervolgens voor hen het
kunnen stellen van rekenvragen aan de dagelijkse werkelijkheid.
Overeenkomstig is dat gecijferdheid betekent de wiskundetheorie kunnen toepassen in de
alledaagse situaties.
PROFESSIONELE GECIJFERDHEID
Uit het onderzoek van Den Hertog onder docenten van het vak rekenen-wiskunde en didactiek van
de Nederlandse pabo’s8 is gebleken dat deze docenten vinden dat de pabostudenten een degelijk
niveau moeten beheersen, waarbij zij de goede rekenaars van groep 8 kunnen ondersteunen bij de
rekenopgaven. Het niveau moet dus minstens zo hoog zijn als het niveau van een groep 8 leerling
die naar het vwo gaat.
Een reken- of wiskundedocent moet professioneel gecijferd zijn om leerlingen zo goed mogelijk te
ondersteunen in het rekenproces. Oonk noemt vier kenmerken van professionele gecijferdheid. Het
7
Bron: ‘Terug naar 'ouderwets' rekenonderwijs of blijven we 'realistisch' rekenen’, door J. Prenger, 2009, Taal
lezen, p6-8.
8
Pedagogisch academie voor het basisonderwijs (pabo).
16
eerste kenmerk is het verwerven van een elementaire rekenvaardigheid: dat wat de leerlingen
kunnen moet de docent ook kunnen. Het tweede kenmerk is het herkennen van wiskunde in de
eigen omgeving en die van leerlingen. Het derde kenmerk is dat de docent gericht moet zijn op
oplossingsprocessen bij het oplossen van de reken- en/of wiskundeproblemen. Dit kan de docent
doen door te reflecteren op eigen en andermans oplossingen. Het laatste kenmerk wat Oonk noemt
is dat de docent kan inspelen op het wiskundig denken van leerlingen, door bijvoorbeeld te
anticiperen op hun denkprocessen en hen te stimuleren tot niveauverhoging. Een docent die
professioneel gecijferd is, is dus bekwaam in de didactische kenmerken van professionele
gecijferdheid. Dit zijn met name de laatste drie genoemde kenmerken.
De Nederlandse term professionele gecijferdheid sluit aan bij de internationale term ‘Pedagogical
Content Knowledge’ (PCK). Pogingen om een definitie te geven van PCK hebben veel discussies
opgeleverd. Sinds 1987 zijn er zes verschillende definities voor PCK. Overeenkomstig is dat ze het
verband beschrijven tussen de inhoudelijke vakkennis van de docent en zijn kennis van het denken,
leren en onderwijzen van leerlingen (Keijzer & Jonker, 2009).
4.2.3. REFERENTIEKADER
DOEL
Op 1 augustus 2010 is het wetsvoorstel Referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen in werking
gegaan. In deze wet staat beschreven wat leerlingen minimaal moeten kennen en kunnen op een
bepaald moment in hun loopbaan als het gaat om rekenen/wiskunde en de Nederlandse taal. De
kern van het wetsvoorstel vormt het Referentiekader taal en rekenen (Van Bijsterveldt-Vliegenthart,
2010). Het Referentiekader is een leidraad voor scholen, docenten en onderwijsprogramma’s in het
primair, voortgezet, speciaal en middelbaar onderwijs. Het beschrijft inhouden van het taal- en
rekenonderwijs en geeft een kader voor een doorlopende leerlijn, maar het beschrijft geen didactiek.
Het Referentiekader heeft als doel het taal- en rekenniveau van leerlingen te verbeteren (BrandtBosman, 2011-2012).
De vaststelling van referentieniveaus voor rekenen zal er onder andere voor zorgen dat er meer
eenduidigheid is in rekenonderwijs in de gehele onderwijs kolom. Ten tweede beoogt de vaststelling
een betere overdracht van leerlingen tussen de verschillende onderwijssectoren door de introductie
van een eenduidige en gemeenschappelijke taal. Ook zal de vaststelling zorgen voor het ontstaan van
beter doorlopende leerlijnen voor taal en rekenen. Ten slotte is een van de doelen van de vaststelling
van referentieniveaus dat scholen opnieuw denken over de aanpak voor rekenen. De
referentieniveaus dienen als ijkpunt voor de rekentoets voor leerlingen in het voortgezet onderwijs
(Van Bijsterveldt-Vliegenthart, 2010).
OPBOUW
In het Referentiekader voor rekenen worden vier domeinen onderscheiden: getallen, verhoudingen,
meten en meetkunde, en verbanden. Elk domein is weer uit drie onderdelen opgebouwd. Bij het
eerste onderdeel notatie, taal en kennis gaat het om de schrijfwijze, uitspraak en betekenis van
getallen, symbolen en relaties. Het tweede onderdeel is het ‘met elkaar in verband brengen’, het
gaat bij dit onderdeel om het verband tussen notaties, getallen, taal en betekenis. Het laatste
onderdeel wordt ‘het gebruiken’ genoemd. Bij dit derde onderdeel gaat het om het inzetten van
rekenvaardigheden om vraagstukken op te lossen. Elk van deze onderdelen is vervolgens opgebouwd
17
uit drie typen kennis en vaardigheden. Het eerste type is het ‘paraat hebben’ van kennis van feiten
en begrippen, automatismen, routines en technieken. Het tweede type is het ‘functioneel gebruiken’.
Hier wordt onderverstaan dat er kennis is van een goede probleemaanpak, het toepassen, het
gebruiken binnen en buiten het schoolvak. Het laatste type wordt het ‘weten waarom’ genoemd. De
leerling moet concepten en methoden verklaren en begrijpen en blijk geven van inzicht (BrandtBosman, 2011-2012).
De referentieniveaus vormen twee sporen: het spoor van het fundamentele niveau en het spoor van
het streefniveau. De fundamentele niveaus (1F, 2F en 3F) richten zich op de basale kennis en
inzichten. De fundamentele niveaus zijn gericht op het functioneel gebruiken van de
rekenvaardigheden. De streefniveaus (1S, 2S en 3S) richten zich meer op de abstracte wiskunde. De
nadruk bij deze niveaus ligt op het onderhouden van de rekenvaardigheden en de aansluiting op het
wiskundeonderwijs. In het figuur 6 is in een Venn-diagram weergegeven hoe het fundamentele
niveau samenhangt met het streefniveau.
Figuur 6 - Fundamentele en streefniveaus.
9
Het niveau 1F moet beheerst worden aan het einde van de basisschool door de leerlingen die
doorstromen naar de basis- of kaderberoepsgerichte leerweg van het vmbo. Het niveau 1S moet aan
het einde van de basisschool beheerst worden door de leerlingen die doorstromen naar de
theoretische leerweg van het vmbo, havo of vwo. Het niveau 2F moet beheerst worden aan het eind
van vmbo, mbo niveau 2 en mbo niveau 3. Het niveau 3F moet beheerst worden aan het eind van
mbo niveau 4, havo en vwo (Brandt-Bosman, 2011-2012).
9
Bron: Concretisering referentieniveaus Rekenen 1F/1S, door A. Noteboom, S. van Os en W. Spek, 2011,
Enschede: SLO.
18
4.3. O VERGANG VAN HET PRIMAIR NAAR HET VOORTGEZET ONDERWIJS
4.3.1. FASEN IN HET REKENEN MET BREUKEN
GRAVEMEIJER
Op de basisschool wordt er voornamelijk op een informele manier gerekend met breuken. Breuken
worden benoemd, ze zijn in een context geplaatst. Op de middelbare school krijgt de leerling al gauw
te maken met een formele benadering van rekenen met breuken. De ontwikkeling van het rekenen
met breuken (van basisschool naar einde havo/vwo) is volgens Gravemeijer (2009) in te delen in drie
fasen.
De eerste fase noemt Gravemeijer de fase van de informele, contextgebonden verkenning. De
leerling vormt in deze fase breukbegrip, de leerling krijgt kennis over de verschillende
verschijningsvormen van de breuk. Ook leert de leerling over de relaties tussen breuken, procenten,
kommagetallen en verhoudingen. In combinatie met deze kennis wordt ook de vaardigheid het
rekenen met breuken ontwikkeld. De leerling leert contextopgaven beredeneerd op te lossen, de
breuken worden gekoppeld aan bestaande modellen. Een belangrijk kenmerk is in het begin van deze
paragraaf genoemd: breuken hebben in deze eerste fase het karakter van benoemde getallen,
vervolgens wordt er met deze benoemde breuken verder gerekend. De vraag: ‘Hoeveel is
meer dan reep?’, kan worden opgelost door uit te gaan van een reep van twaalf stukjes.
reep
reep is
dan ook wel negen stukjes en reep is acht stukjes. Het verschil is één stukje van een reep van twaalf
stukjes, ofwel
.
In de tweede fase van de ontwikkeling worden de breuken als wiskundige objecten gezien. Er wordt
weinig tot niet meer gerekend met benoemde breuken, maar meer met onbenoemde breuken.
Breuken krijgen het karakter van zelfstandige objecten. Zo wordt niet meer gezien als pizza, maar
bijvoorbeeld als
, de verhouding
of als deel van een hoeveelheid ( van de
). Deze
fase vindt met name in het eerste leerjaar van de onderbouw plaats.
In de derde fase vindt, volgens Gravenmeijer, een verdere objectivering plaats. De rekenkundige
bewerkingen bij breuken worden nu ook gezien als objecten. Er wordt meer nadruk gelegd op de
eigenschappen en structuren van breuken. Zo wordt op dit niveau onder andere ingezien dat
hetzelfde is als
en dat
. Deze fase vindt met name halverwege de havo of vwo
plaats.
VERSTEEG
Versteeg (2008) beschrijft in haar artikel de vier fasen die plaats vinden op de basisschool wat betreft
het rekenen met breuken. Zij geeft aan dat de leerstof uit verschillende fasen of hoofdlijnen bestaat:
de begripsvorming, de ontwikkeling van oplossingsprocedures, het vlot leren rekenen en het flexibel
toepassen van kennis in nieuwe situaties.
De begripsvorming vindt voor het eerst plaats in groep 6. Het belangrijkste doel in deze fase is
begripsvorming en het
breukenconcepten te leren kennen. Versteeg bedoelt met het
19
breukenconcept het netwerk van kennis, vaardigheden en inzichten wat betreft het rekenen met
breuken. Dit netwerk wordt door de jaren heen steeds verder uitgebouwd. Het breukenconcept is
nodig om uiteindelijk op abstract (formeel) niveau te kunnen rekenen met breuken. In deze fase
wordt nog vooral gebruik gemaakt van cirkels en stroken.
Na de begripvorming, waarbij de leerling verschillende situaties mee maakt waarbij breuken
voorkomen, vindt de ontwikkeling van oplossingsprocedures plaats. De leerling leert om breuken te
vermenigvuldigen, op te tellen, te vereenvoudigen en gelijknamig te maken. Deze bewerkingen
vinden plaats in een contextrijke omgeving. Het ‘doen’ (rekenen met concreet materiaal) en
realistische denkmodellen hebben volgens Versteeg een belangrijke bijdrage in het ontwikkelen van
verschillende oplossingsprocedures.
Als de leerling de oplossingsprocedures goed beheersen zal het rekenen met breuken op een
formeler niveau plaats vinden: het vlot bepalen van de juiste oplossingsprocedure zonder gebruik te
maken van een context. Versteeg geeft aan als er te snel afgestapt wordt van de concrete fase dat dit
ten koste gaat van het inzicht bij het rekenen met breuken: oplossingsprocedures worden door
elkaar gehaald, vergeten of verkeerd ingezet.
De laatste fase die Versteeg noemt is het flexibel toepassen van kennis in nieuwe situaties. Er wordt
dan van de leerling gevraagd om strategisch te denken en te handelen. Leerlingen moeten in nieuwe
situaties betekenis geven aan de situatie en begrijpen welke oplossingsprocedure zij nodig hebben
om de opgave op te lossen.
Versteeg geeft aan dat het doortrekken van deze fasen in het voortgezet onderwijs van belang is
voor de ondersteuning bij zwakkere rekenaars. Versteeg geeft aan om rekenmaterialen
(breukenstokken) in het lokaal te hebben om, daar waar nodig is, de leerling te ondersteunen in zijn
onderwijsbehoeften. Versteeg geeft aan dat het belangrijk is dat er voldoende tijd is voor de
verschillende fasen/hoofdlijnen. De ene leerling heeft meer tijd nodig om de verschillende fasen
onder de knie te krijgen.
4.3.2. AANSLUITING SCHOOLBOEKEN
BESCHRIJVING METHODEN
De methoden in het basisonderwijs gaan uit van de realistische benadering. Dit betekent dat de
methoden op een informele, modelondersteunende manier de theorie in een contextrijke omgeving
behandelen. De vier meest gebruikte methoden in het primair onderwijs zijn Alles Telt, Pluspunt,
Rekenrijk en De wereld in getallen. Bij het onderwerp vermenigvuldigen met breuken starten de vier
methoden vanuit een context, ze gebruiken informele strategieën om het onderwerp uit te leggen
(Bruin-Muurling, Gravemeijer, & Van Eijk, Aansluiting schoolboeken basisschool en havo/vwo, 2010).
De vier methoden benaderen het vermenigvuldigen van breuken vanuit vier verschillende situaties.
De eerste situatie is het vermenigvuldigen van een (klein) geheel getal met een breuk. Deze
vermenigvuldiging wordt uitgevoerd als ‘herhaald optellen’:
.
Een vermenigvuldiging van een breuk met een groot geheel getal wordt in de schoolboeken van het
primair onderwijs benaderd vanuit het ‘eerlijk delen’. Het geheel getal zal eerst in eerlijke delen
gesplitst worden, van daaruit gaat de berekening verder.
20
De derde situatie is een vermenigvuldiging van twee breuken tussen de 0 en de 1. Deze situatie
wordt gevisualiseerd met het rechthoeksmodel. De laatste situatie is een vermenigvuldiging met
gemengde getallen (zoals
). Bij deze vierde situatie wordt gebruik gemaakt van een
splitsingstrategie (
.
Figuur 7 - Vermenigvuldigen van breuken in groep 8
10
De twee meest gebruikte methoden in het voortgezet onderwijs zijn Getal&Ruimte en Moderne
Wiskunde. In Getal&Ruimte wordt al gauw gewerkt met onbenoemde breuken. In de methoden voor
havo en vwo wordt de formele regel
direct ingevoerd aan de hand van het
rechthoeksmodel.
Moderne Wiskunde sluit meer aan op de basisschoolmethoden wat betreft de verschillende typen
vermenigvuldigingen. In de methode wordt eerst gewerkt aan de verschillende opgaventypen.
Vervolgens wordt de regel
ingevoerd aan de hand van het rechthoeksmodel. De
regel wordt in deze methode alleen uitgelegd bij vermenigvuldigingen met echte breuken (breuken
tussen 0 en 1). Het wordt niet benoemd dat deze regel ook geldt bij gehele getallen of onechte
breuken.
NEGATIEVE AANSLUITING
De gebruikte methoden in het basisonderwijs en het voortgezet onderwijs hebben een negatieve
aansluiting. Een eerste oorzaak is de complexiteit van opgaven. In de methoden van het
basisonderwijs en Moderne Wiskunde worden een beperkt aantal typen opgaven behandeld
betreffende het vermenigvuldigen met breuken. Elk type opgaven heeft zijn eigen model (zie 3.2.1.).
Volgens Bruin-Muurling kan het zo zijn dat leerlingen vasthouden aan deze modellen en niet tot het
formele niveau van
komen, terwijl dit in Getal&Ruimte wel direct geïntroduceerd
wordt.
Van het werken met benoemde getallen op de basisschool naar het werken met onbenoemde
getallen op de middelbare school zal voor veel leerlingen niet vanzelfsprekend zijn. Volgens Bruin10
Bron: Alles telt – reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs, J. Boerema, 2001, Amersfoort:
Thiememeulenhoff.
21
Muurling is deze stap nu nog te groot. In het primair onderwijs wordt er nog vooral gerekend met
echte breuken, in het voortgezet onderwijs wordt er naast de echte breuken ook met andere typen
breuken gerekend (onechte breuken, gemengde breuken).
In het primair onderwijs starten de methoden met informele strategieën wat betreft het
vermenigvuldigen met breuken. Het informele karakter van de opgaven wordt op de basisschool niet
formeel. Daarnaast worden de verschillende perspectieven bij de opgaven nog niet met elkaar in
verband gebracht. De methoden voor havo/vwo voor het voortgezet onderwijs sluiten hier (nog) niet
op aan. De methoden behandelen het vermenigvuldigen van breuken direct op een formeel niveau
en maken geen onderscheid tussen typen opgaven (Bruin-Muurling, Gravemeijer, & Van Eijk,
Aansluiting schoolboeken basisschool en havo/vwo, 2010).
AANBEVELINGEN
In het artikel Aansluiting schoolboeken basisschool en havo/vwo pleit Bruin-Muurling (Aansluiting
schoolboeken basisschool en havo/vwo) voor meer coherentie in de doorlopende leerlijnen van de
basisschool naar de middelbare school. Er zou meer aandacht moeten zijn voor verbanden tussen de
verschillende strategieën voor het vermenigvuldigen van breuken, als opstap naar het formeel
rekenen met breuken. Een tweede aanbeveling is voor de ontwikkelaars van de methoden in het
primair en secundair onderwijs. Zij zouden een gezamenlijke leerlijn voor breuken moeten
ontwikkelen. Ten slotte geeft Bruin-Muurling aan dat de didactiek van de docenten in het primair en
secundair onderwijs beter op elkaar aan zouden moeten sluiten.
22
5. PRAKTIJKONDERZOEK
5.1. M ETHODOLOGIE
5.1.1. VERANTWOORDING KEUZE
Mijn onderzoek bestaat uit twee delen. Ten eerste heb ik een literatuuronderzoek gedaan om te
onderzoeken wat al bekend is over (de doorlopende leerlijn voor) het vermenigvuldigen van breuken.
Dit heb ik in hoofdstuk 4 uiteengezet, in hoofdstuk 6 zal de toepasbaarheid van de literatuur voor
mijn onderzoeksvraag duidelijk worden. Het tweede gedeelte van mijn onderzoek is het
praktijkonderzoek dat zowel een kwantitatief onderzoek als kwalitatief onderzoek betreft. Uit het
kwantitatieve onderzoek zal blijken hoe docenten van groep 8 van basisscholen in omgeving
Sassenheim en wiskunde- en rekendocenten van de eerste klas van het RLS vermenigvuldigingen van
breuken uitvoeren. Met dit kwantitatief onderzoek zal duidelijk worden welke oplosmethoden de
docenten gebruiken.
Het kwalitatief onderzoek is opgezet om te onderzoeken hoe docenten van groep 8 en wiskunderekendocenten van het RLS didactisch omgaan met het vermenigvuldigen van breuken.
Overeenkomsten en verschillen tussen deze twee groepen docenten zullen zichtbaar worden.
5.1.2. RESPONDENTEN
Aan mijn onderzoek namen twee groepen docenten deel. De eerste groep zijn de docenten van
groep 8 van basisscholen in omgeving Sassenheim. Er namen tien docenten van groep 8 van
verschillende basisscholen in omgeving Sassenheim deel. De gemiddelde leeftijd van de
basisschooldocenten is 42,5 jaar. Zij hebben gemiddeld 21,4 jaar werkervaring als basisschooldocent,
waarvan 5,6 jaar als docent groep 8. Er werd gevraagd met welke lesmethode er wordt gerekend in
groep 8. Vier keer werd Wereld in Getallen genoemd, twee keer werd de methode Pluspunt
genoemd, één keer Rekenzeker, één keer Alles Telt en één keer Wiswijz.
De tweede groep deelnemers zijn de wiskunde- en rekendocenten die de eerste klassen van het RLS
wiskunde en/of rekenlessen geven. In totaal hebben vier docenten meegedaan aan het onderzoek.
Van deze vier docenten geeft een docent een 1mavo/havoklas les, een docent geeft een 1havo/vwoklas les, een deelnemer doceert een 1tto-klas op vwo-niveau en de vierde docent is een rekendocent
die de rekenlessen aan de eerste klas in het eerste semester van het schooljaar verzorgt. Gemiddeld
zijn de zes docenten 42 jaar. Zij hebben gemiddeld negen jaar ervaring als wiskunde-/rekendocent,
waarvan zij vier jaar werkzaam zijn als docent van klassen van het eerste leerjaar. De
wiskundemethode Getal&Ruimte wordt gebruikt in het eerste leerjaar.
De genoemde kenmerken van de twee onderzoeksgroepen (PO en VO11) zijn in figuur 8 naast elkaar
gezet. Ook is in grafiekvorm (figuur 9) weergegeven welke rekenmethoden worden gebruikt in de
rekenlessen van docenten van groep 8.
11
PO staat voor primair onderwijs, VO voor voortgezet onderwijs.
23
GEGEVENS RESPONDENTEN
45
40
35
Jaren
30
25
20
15
10
5
0
PO
VO
Leeftijd docenten
PO
VO
PO
VO
Werkzaam in het onderwijs Werkzaam in groep 8 (PO) of
eerste klas (VO)
Figuur 8 - Gegevens respondenten van het onderzoek
REKENMETHODE IN HET BASISONDERWIJS
5
Frequentie
4
3
2
1
0
Alles Telt
Pluspunt
Rekenzeker
Wereld in
Getallen
Wiswijz
Figuur 9 - Overzicht van de gebruikte rekenmethoden in groep 8
5.1.3. ONDERZOEKSINSTRUMENT
KWANTITATIEF ONDERZOEK
Voor het kwantitatieve gedeelte van mijn praktijkonderzoek heb ik acht opgaven opgesteld die door
beide onderzoeksgroepen gemaakt zullen worden (bijlage 1, 2). Deze acht opgaven zijn ontleend uit
het afstudeeronderzoek van Jeroen Leuverink (2010). Hij geeft aan dat deze opgaven voortkomen uit
24
het onderzoek van Bruin-Muurling (2010). Leuverink heeft de acht opgaven gebruikt om achter de
verschillen en overeenkomsten in oplosmethode te komen bij het vermenigvuldigen van breuken
door leerlingen in het primair onderwijs en voortgezet onderwijs. Ik laat de docenten van groep 8 en
de wiskunde- en rekendocenten van het RLS deze acht opgaven maken om achter de verschillen en
overeenkomsten in oplosmethoden tussen deze twee groepen docenten te komen. Volgens
Leuverink zijn het voldoende opgaven om een goed beeld te krijgen van de oplosmethoden die de
onderzoeksgroep gebruikt. Meer opgaven zullen naar zijn mening geen extra informatie toevoegen
aan het onderzoek. Dit heeft naar mijn mening ook te maken met de tijdsduur. Het maken van meer
opgaven zal meer tijd en moeite kosten, waardoor het kan voorkomen dat de docent slordiger in zijn
notatie en/of berekening kan worden.
Leuverink schrijft dat opgave 1 en opgave 4 opgaven zijn waarbij verschillende oplosmethoden
mogelijk zijn. Bij beide opgaven kan de methode ‘herhaald optellen’ gebruikt worden, maar ook de
methode ‘teller keer teller en noemer keer noemer’. Vervolgens geeft hij aan dat opgave 2 een
opgave is waar ook verschillende manieren mogelijk zijn om het op te lossen. Bijvoorbeeld door het
tekenen van oppervlaktes of een derde deel van een zesde te nemen. Opgave 3 en 6 zijn in een
context geplaatst, in het voortgezet onderwijs komen deze contexten volgens Leuverink niet meer
voor. Opgave 5 en 6 zijn dezelfde opgaven, alleen is opgave 5 een kale opgave en opgave 6 een
contextuele opgave. Er kan gekeken worden of er een verschil in aanpak is tussen deze twee
sommen. Opgave 7 is een som waarbij er diverse mogelijkheden zijn in aanpak en notatie. De opgave
kan bijvoorbeeld gesplitst worden of de helen kunnen in de breuk gebracht worden. De laatste
opgave is een vermenigvuldiging met lastige getallen, in opgave 8 is eigenlijk alleen ‘teller keer teller
en noemer keer noemer’ mogelijk. Er kan verschil zijn in notatie.
De diversiteit aan opgaven zullen wellicht duidelijke overeenkomsten en verschillen laten zien in
oplosstrategieën tussen docenten van groep 8 van basisscholen in omgeving Sassenheim en
wiskunde-/rekendocenten van de eerste klas van het RLS. Om de notatie en de manier van oplossen
van de deelnemers zo min mogelijk te beïnvloeden zullen de deelnemers deze acht opgaven
schriftelijk maken. Ik verwacht namelijk als ik digitaal dit gedeelte van het onderzoek had afgenomen
dat sommige deelnemers de berekening niet noteren zoals ze eigenlijk willen doen wegens beperkte
computercapaciteiten. Bovendien ben ik van mening dat het minder tijd kost voor de respondent om
de opdrachten schriftelijk te maken dan digitaal (in verband met wiskundige notaties).
KWALITATIEF ONDERZOEK
Voor het kwalitatieve gedeelte van mijn praktijkonderzoek heb ik een vragenlijst met zes open
vragen opgesteld die beide onderzoeksgroepen moeten beantwoorden (bijlage 1, 2). Ook deze zes
vragen zijn ontleend uit het afstudeeronderzoek van Leuverink (2010). Leuverink heeft met zijn
vragen een goed beeld kunnen krijgen van de verschillen en overeenkomsten tussen zijn groepen
docenten. Ik heb daarom gekozen om zijn vragen (deels) over te nemen. Ik wil de twee groepen
docenten deze vragen laten beantwoorden om achter de verschillen en overeenkomsten in didactiek
te komen.
Vraag 1 en 2 van de vragenlijst zijn gesteld om er achter te komen hoe de docenten het onderwerp
‘het vermenigvuldigen van breuken’ introduceren en uitleggen. Er wordt bij vraag 2 specifiek
gevraagd naar het gebruik van modellen bij de behandeling van het onderwerp. Verschillen en
25
overeenkomsten in didactiek tussen docenten van de basisscholen en de wiskunde- en
rekendocenten van het RLS zullen met beantwoording van deze vragen mogelijk zichtbaar worden.
Bij vragen 3 en 4 wordt er gevraagd naar problemen bij de huidige behandeling van het onderwerp
en wat een alternatieve aanpak zal zijn. De antwoorden van beide onderzoeksgroepen kunnen als
uitgangspunt dienen voor de beantwoording van de hoofdvraag van dit onderzoek. Vraag 5 en 6 gaan
over de aansluiting van de leerlijnen in het vermenigvuldigen van breuken. Er wordt gevraagd naar
wat de docenten weten over het breukenonderwijs in de andere onderwijssector en hoe zij de
aansluiting zien in het vermenigvuldigen van breuken tussen het primair onderwijs en het voortgezet
onderwijs.
Aangezien ik het kwantitatieve gedeelte van mijn onderzoek (de acht opgaven) schriftelijk laat
maken, heb ik besloten om ook de zes vragen schriftelijk te beantwoorden. Ik heb hiervoor gekozen
om het overzicht van de procedure van het onderzoek voor mij en de deelnemers te behouden.
5.1.4. PROCEDURE
De docenten van groep 8 van basisschooldocenten in omgeving Sassenheim heb ik benaderd op
grond van het aantal leerlingen dat in schooljaar 2012/2013 in groep 8 van hun basisschool zaten en
in schooljaar 2013/2014 in de eerste klas van het RLS zaten. Het minimum aantal leerlingen heb ik
vastgesteld op tien. Dit betekende dus dat als er van een basisschool gelijk aan of meer dan tien
leerlingen afgelopen schooljaar (2013/2014) begonnen met het voortgezet onderwijs op het RLS, ik
de huidige docent van groep 8 telefonisch benaderd heb voor deelname aan het onderzoek.
Gegevens over het aantal aanmeldingen en de basisscholen zijn aan mij verstrekt door Jeroen
Koppert, jaarlaagcoördinator van de eerste klas van het RLS.
De wiskunde- en rekendocenten heb ik op een meer informele manier benaderd. Aangezien zij mijn
collegae zijn heb ik hen een e-mail gestuurd met daarin de vraag of zij deel willen nemen aan mijn
onderzoek. Namen en e-mailadressen heb ik in eigen bezit.
Na bevestiging van deelname hebben zowel de docenten van groep 8 van basisscholen in omgeving
Sassenheim als de wiskunde- en rekendocenten van het RLS een envelop gekregen met daarin een
brief ter introductie, een opdrachtenblad met de acht opgaven, een vragenlijst met zestal open
vragen, een leeg, geruit papier, een leeg, gelinieerd papier, een A6-formulier met daarop vragen over
de respondent en zijn werkervaring en ten slotte een gefrankeerde retourenvelop.
Na het terugkrijgen van de ingevulde opdrachtenbladen en vragenlijsten heb ik gekeken of ik genoeg
bruikbare gegevens heb ontvangen om mijn deelvragen te beantwoorden. Ik kwam er achter dat een
deelnemer (docent van groep 8) de vragen niet heeft beantwoord. Negen ingevulde vragenlijsten van
docenten van groep 8 van basisscholen in omgeving Sassenheim zijn dus verwerkt en niet tien.
5.1.5. DATAVERWERKING
KWANTITATIEF ONDERZOEK
De gegevens van het kwantitatieve gedeelte van het onderzoek worden verwerkt in een formulier
waarin zes oplosmethoden van het vermenigvuldigen van breuken staan opgesteld (bijlage 3). Op dit
formulier kunnen de oplosmethoden die gebruikt zijn door de deelnemers per opgave aangekruist
worden. Ook kan worden aangekruist welke fouten de deelnemer daarbij gemaakt heeft.
26
De zes oplosmethoden komen voort uit het onderzoek van Bruin-Muurling (2010). Zij geeft aan dat
deze zes oplosmethoden door de rekenmethoden en de wiskundemethoden aangereikt worden (zie
paragraaf 4.3.). De fouten zijn ook gebaseerd op het eerdere onderzoek van Bruin-Muurling. Andere
fouten, die niet op het formulier staan, zullen na afloop besproken worden.
De resultaten van de docenten van groep 8 zullen gescheiden worden van de resultaten van de
wiskunde- en rekendocenten van het RLS. Hierdoor zal duidelijk worden welke oplosmethoden
enerzijds het meest toegepast zijn door de groep 8 docenten en anderzijds door de wiskunde- en
rekendocenten van het RLS. Na het turven van de oplosmethoden van de deelnemers zal duidelijk
worden welke oplosmethoden door de twee groepen het meest gebruikt worden.
KWALITATIEF ONDERZOEK
De antwoorden op de zes vragen in het kwalitatieve gedeelte van het praktijkonderzoek zijn moeilijk
te categoriseren. Vandaar dat per groep (docenten van groep 8 en wiskunde- en rekendocenten van
het RLS) en per vraag de antwoorden samengevat zullen worden.
27
5.2. D ATA-ANALYSE
5.2.1. KWANTITATIEF ONDERZOEK
In deze paragraaf zijn de resultaten van het kwantitatieve gedeelte van het praktijkonderzoek
opgedeeld in verschillende onderdelen:
 resultaten van gebruikte oplosmethoden;
 resultaten van gebruikte oplosmethoden, per opgave, door docenten van groep 8 van
basisscholen in omgeving Sassenheim;
 resultaten van gebruikte oplosmethoden, per opgave, door wiskunde- en rekendocenten van
het RLS;
 resultaten van de fouten bij de gemaakte opgaven.
Voor elk onderdeel staan de verzamelde gegevens in een tabel. Opvallendheden worden onder de
tabel vermeld.
RESULTATEN VAN GEBRUIKTE OPLOSMETHODEN
In figuur 10 is te lezen hoe vaak een bepaalde strategie is gebruikt en hoeveel deelnemers met
behulp van de strategie de opgaven goed gemaakt hebben. Dit is in figuur # uitgedrukt in aantallen.
In de figuur wordt bij elke strategie verschil gemaakt tussen het aantal goede en foute antwoorden
van de docenten van groep 8 van basisscholen in omgeving Sassenheim (PO) en van de wiskunde- en
rekendocenten van het RLS (VO).
Totaal
Totaal
goed
Totaal
PO
Totaal
VO
Goed
PO
Goed
VO
Fout
PO
Fout
VO
Teller keer teller, noemer
keer noemer
96
91
65
31
61
30
4
1
Oppervlakte tekenen
5
5
5
0
5
0
0
0
Interpretatie als deel van
2
1
2
0
1
0
1
0
Rekenen met getallenlijn
0
0
0
0
0
0
0
0
Vertalen naar dagelijkse
situatie
2
0
2
0
0
0
2
0
Herhaald optellen
3
3
3
0
3
0
0
0
Overig
4
3
3
1
1
1
1
0
Totaal
112
103
80
32
71
31
8
1
OPLOSMETHODE
Figuur 10 - Overzicht van de gebruikte oplosmethoden door PO en VO
Uit de figuren blijkt dat een groot deel van de deelnemers de oplosmethode ‘teller keer teller,
noemer keer noemer’ toepaste. In 96 van de 112 gevallen is voor deze oplosmethode gekozen. In
geen enkel geval wordt de getallenlijn gebruikt om breuken te vermenigvuldigen. Uit de tabel blijkt
dat geen van de docenten van het RLS heeft gekozen voor een andere oplosmethoden. In één geval
28
heeft een wiskunde- of rekendocent van het RLS gekozen om direct een antwoord (in woorden en
niet in cijfers) op te schrijven, hij/zij had geen berekening, daarom is dit antwoord toegekend aan
oplosmethode ‘overig’.
De docenten van groep 8 hebben meerdere oplosmethoden gebruikt om breuken te
vermenigvuldigen. Zo is in vijf gevallen een oppervlaktemodel gebruikt, waarbij in alle gevallen het
cirkelmodel werd gebruikt. In twee gevallen is de vermenigvuldiging vertaald naar een dagelijkse
situatie, in beide gevallen werd een zak met geld als voorbeeld genoemd. Tot de categorie ‘overig’
behoren de gevallen waarvan de berekeningen niet binnen een van de andere zes oplosmethoden
vallen. Later in deze paragraaf zal uitgelegd worden hoe de aanpakken bij deze gevallen er uit zag.
RESULTATEN VAN GEBRUIKTE OPLOSMETHODEN DOOR DOCENTEN VAN GROEP 8
In de volgende figuur is te lezen hoe vaak een bepaalde oplosmethode is gebruikt.
OPGAVE
1
2
3
4
5
6
7
8
7
8
9
6
9
6
10
10
Oppervlakte tekenen
0
2
1
1
1
0
0
0
Interpretatie als deel van
0
0
0
0
0
2
0
0
Rekenen met getallenlijn
0
0
0
0
0
0
0
0
Vertalen naar dagelijkse
situatie
1
0
0
1
0
0
0
0
Herhaald optellen
2
0
0
1
0
0
0
0
Overig
0
0
0
1
0
2
0
0
Totaal
10
10
10
10
10
10
10
10
OPLOSMETHODE
Teller keer teller, noemer
keer noemer
Figuur 11 - Overzicht van gebruikte oplosmethoden door docenten van groep 8 (PO)
ALGEMENE OPMERKINGEN
In figuur 11 is te zien dat de oplosmethode ‘teller keer teller, noemer keer noemer’ ruimschoots het
meest is gebruikt door de docenten van groep 8. Twee deelnemers noteerden de oplosmethode
‘teller keer teller, noemer keer noemer’ als ‘bovenste keer bovenste, onderste keer onderste’. De
termen teller en noemer gebruikten zij dus niet, zij noemden de teller het ‘bovenste’ en de noemer
het ‘onderste’.
Indien de breuk zich er voor leende hebben de docenten bijna altijd de helen uit een breuk gehaald
en/of vereenvoudigd, bij elke opgave werd het antwoord herleid. Zo werd bij opgave 1 de breuk
altijd herleid tot
en bij opgave 4 werd het antwoord
altijd herleid tot
. Bij één opgave is het
antwoord niet door de docent herleid, terwijl hij dit bij de andere opgaven wel heeft gedaan. De
29
docenten van groep 8 schreven bij elke opgave eerst de opgave over op het uitwerkblad. De
berekeningen werden door alle docenten op één regel opgeschreven, dus niet onder elkaar.
OPMERKINGEN PER OPGAVE
Bij opgave 1 moesten de deelnemers een geheel getal vermenigvuldigen met een breuk. Zes
deelnemers hebben gekozen voor de aanpak ‘teller keer teller, noemer keer noemer’. Een van deze
zes deelnemers heeft het geheel getal als een breuk opgeschreven en vervolgens teller keer teller,
noemer keer noemer gedaan. De andere vijf hebben het geheel getal direct vermenigvuldigd met de
teller.
Bij opgave 4 moesten de deelnemers een breuk vermenigvuldigen met een geheel getal. Een van de
vijf deelnemers die gekozen hebben voor de aanpak ‘teller keer teller, noemer keer noemer’, heeft
het geheel getal geschreven als een breuk om vervolgens de oplosmethode toe te passen. Een
deelnemer heeft bij deze opgave gekozen om
te schrijven als
.
Bij opgave 6 moesten de deelnemers de korting berekeningen over een pak koekjes. Het pak werd
eerst voor
van de prijs verkocht, vervolgens nog eens voor
van die prijs. Een deelnemer
beschouwde als 75%, vervolgens gaf de docent aan dat je van dit percentage moest betalen, dus
50% = . Een andere docent herhaalde in andere woorden de opgave. Deze ‘oplosmethode’ wordt
toegekend aan ‘overig’.
Bij opgave 7 kozen alle docenten voor de strategie ‘teller keer teller, noemer keer noemer’. Deze
docenten hebben gekozen om de gemengde breuk eerst te schrijven als een onechte breuk. De
berekening bij opgave 7 werd in alle gevallen genoteerd als:
.
30
RESULTATEN VAN GEBRUIKTE OPLOSMETHODEN DOOR WISKUNDE- EN REKENDOCENTEN
In het volgende figuur is te lezen hoe vaak een oplosmethode is gebruikt bij de acht opgaven door
wiskunde- en rekendocenten van het RLS.
1
2
3
4
5
6
7
8
4
4
4
4
4
3
4
4
Oppervlakte tekenen
0
0
0
0
0
0
0
0
Interpretatie als deel van
0
0
0
0
0
0
0
0
Rekenen met getallenlijn
0
0
0
0
0
0
0
0
Vertalen naar dagelijkse
situatie
0
0
0
0
0
0
0
0
Herhaald optellen
0
0
0
0
0
0
0
0
Overig
0
0
0
0
0
1
0
0
Totaal
4
4
4
4
4
4
4
4
OPGAVE
OPLOSMETHODE
Teller keer teller, noemer
keer noemer
Figuur 12 - Overzicht van gebruikte oplosmethoden door wiskunde- en rekendocenten van het RLS (VO)
ALGEMENE OPMERKINGEN
Figuur 12 maakt duidelijk dat bij elke opgave door alle wiskunde- en rekendocenten de
oplosmethode ‘teller keer teller, noemer keer noemer’ is gebruikt.
De docenten van het RLS hebben bij elke opgave eerst de opgave overgenomen op het uitwerkblad
en vervolgens op één regel de opgave verder uitgewerkt. In de gevallen dat het antwoord herleid kon
worden werd dit door de deelnemers ook gedaan: de helen werden uit de breuk gehaald en/of de
breuk werd vereenvoudigd.
OPMERKINGEN PER OPGAVE
In drie van de vier uitwerkingen bij opgave 1 werd het geheel getal genoteerd als breuk (
opgave 4 werd ook in drie van de vier uitwerkingen het geheel getal genoteerd als breuk (
). Bij
).
Bij opgave 6 werd door een docent direct het antwoord in woorden opgeschreven (‘de helft’). De
gebruikte oplosmethode is niet te achterhalen, vandaar dat deze bij oplosmethode ‘overig’ hoort.
Bij opgave 7 werd door alle deelnemers van deze groep de gemengde breuk eerst geschreven als een
onechte breuk. Vervolgens werden de breuken met elkaar vermenigvuldigd.
FOUTEN
In figuur 13 is te lezen dat er in totaal tien fouten zijn gemaakt bij het maken van de opdrachten:
negen opgaven zijn fout gemaakt door docenten van groep 8 van basisscholen in omgeving
31
Sassenheim en één opgave is fout gemaakt door een wiskunde- of rekendocent van het RLS. Het
verschil in het aantal fout gemaakte opgaven tussen de twee groepen deelnemers is onder andere te
wijten aan het verschil in aantal deelnemers van beide groepen (tien deelnemers van het
basisonderwijs tegenover de vier deelnemers van het RLS).
In de volgende categorieën werden fouten gemaakt:
 aftrekken in plaats van vermenigvuldigen;
 delen in plaats van vermenigvuldigen;
 geen geschikte dagelijkse situatie;
 opgave verkeerd overgenomen;
 niet vereenvoudigen;
 rekenfout;
 verkeerde interpretatie van de opgave.
In de volgende tabel wordt duidelijk welke fouten bij welke opgave zijn gemaakt door de
deelnemers. In de tabel staat ook hoe vaak de fout is gemaakt.
OPGAVE
CATEGORIE
Aftrekken in plaats van
vermenigvuldigen
Delen in plaats van
vermenigvuldigen
Geen geschikte dagelijkse
situatie
Opgave verkeerd
overgenomen
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
1
1
1
1
Niet vereenvoudigen
1
Rekenfout
1
Verkeerde interpretatie
van de opgave
Totaal
1
2
2
1
2
3
Figuur 13 - Gemaakte fouten door docenten
BESCHRIJVING FOUTEN PER OPGAVE
Bij opgave 1 zijn er twee fouten gemaakt. Een fout is gemaakt, doordat de deelnemer de opgave
verkeerd heeft overgenomen op het uitwerkblad. De berekening heeft de deelnemer wel juist
uitgevoerd. Bij de andere fout bij opgave 1 is er ook geen fout gemaakt in de berekening (het
antwoord klopte), maar de situatie die erbij gekozen werd is niet geheel correct. Een deelnemer had
aangegeven dat
opgave 4 (
met de opmerking ‘vier keer twee koekjes acht koekjes’. De fout bij
) is van dezelfde aard. De respondent heeft de opmerking ‘6 keer 3 koekjes’ er aan
toegevoegd. De berekeningen kloppen, de antwoorden kloppen, maar de opmerking laat zien dat de
respondent niet helemaal bewust is waarom hij
de noemer of
de noemer mag doen.
32
Bij opgave 3 is twee keer dezelfde fout gemaakt. Bij deze opgave werden de breuken door elkaar
gedeeld in plaats van vermenigvuldigd. Een respondent noteerde als berekening
noteerde de berekening
, een ander
.
Opgave 6 was de enige contextrijke opgave. Deze opgave is twee keer fout gemaakt. Een deelnemer
heeft de twee breuken van elkaar afgehaald (
). Een andere deelnemer heeft de
opgave onjuist beantwoord door de stappen te benoemen die genomen moeten worden om de
uiteindelijke prijs te bepalen (eerst van de prijs berekenen, dan , vervolgens daarvan nemen). De
deelnemer heeft niet het uiteindelijke deel berekend wat betaalt moet worden.
Bij opgave 8 zijn er drie fouten gemaakt. De eerste fout is een schrijffout, de opgave is verkeerd
overgenomen. De andere fout is een verkeerde vermenigvuldiging van getallen, de respondent
noteerde namelijk:
. De derde fout is het niet vereenvoudigen van het antwoord.
Alhoewel de vermenigvuldiging goed is uitgevoerd en het een discussiepunt kan zijn of het niet
vereenvoudigen van de breuk daadwerkelijk een fout is, wordt van de leerlingen in groep 8 en in de
eerste klas van het voortgezet onderwijs wel dat ze deze stap kunnen nemen.
5.2.2. KWALITATIEF ONDERZOEK
De resultaten van het kwalitatieve gedeelte van het onderzoek zijn opgesplitst in twee onderdelen:
 opsomming van de resultaten van de negen docenten van groep 8, werkzaam in omgeving
Sassenheim;
 opsomming van de resultaten van de vier wiskunde- of rekendocenten van het RLS.
RESULTATEN VAN DOCENTEN VAN GROEP 8
INTRODUCTIE EN THEORIE
1. Alle docenten geven aan eerst met praktische voorbeelden te werken. Het vermenigvuldigen
van breuken wordt eerst met modellen uitgelegd, het wordt inzichtelijk gemaakt voor de
leerlingen. Vervolgens wordt de oplosmethode ‘teller keer teller, noemer keer noemer’
gebruikt. De leerlingen moeten dan rijtjes/kale sommen gaan oefenen om de kennis te
automatiseren.
2. Vier docenten geven daarnaast aan dat het stadium van inzichtelijk maken, werken met
concrete voorbeelden en concreet materiaal, in eerdere groepen heeft plaatsgevonden. In
groep 8 worden er voornamelijk kale rijtjessommen gemaakt.
3. De oplosmethode ‘teller keer teller, noemer keer noemer’ wordt door twee docenten een
trucje/foefje genoemd. Een docent geeft deze methode weer als ‘bovenste keer bovenste,
onderste keer onderste’.
33
HET GEBRUIK VAN MODELLEN
4. Zes docenten geven aan cirkel- en rechthoekmodellen (taarten en repen chocola) het meest
te gebruiken bij de visualisatie van het vermenigvuldigen van breuken.
5. Drie docenten geven aan bordsoftware te gebruiken om het vermenigvuldigen van breuken
te verduidelijken. De software van bijvoorbeeld een Digibord bevatten stroken en cirkels om
het vermenigvuldigen van breuken te verduidelijken.
PROBLEMEN EN ALTERNATIEVEN
6. Een docent geeft aan dat zwakke rekenaars het lastig vinden om de helen uit een breuk te
halen. De docent leert deze rekenaars om de som op te splitsen, dit heeft volgens de
deelnemer wel nadelige gevolgen: tussenstappen worden vergeten en deze oplosmethode
zorgt voor meer rekenwerk, dus meer kans op fouten. Deze docent geeft wel aan dat de
relatie tussen breuken en kommagetallen ook duidelijk moet zijn. Sommige opgaven zijn
volgens hem/haar beter op te lossen met kommagetallen.
7. Vijf docenten geven aan om het vermenigvuldigen van breuken voor zwakke rekenaars
inzichtelijk te blijven maken. Dit betekent veel werken met concrete voorbeelden en
modellen en variëren in het gebruik van de modellen. Een van deze docenten geeft hierbij
aan dat anderzijds regels/werkwijze er in ‘gestampt’ moet worden.
8. Een docent geeft aan dat er niet te veel gesleuteld moet worden aan de aanpak bij het
vermenigvuldigen van breuken. Op de ‘ouderwetse’ manier door blijven gaan is zijn/haar
aanpak.
9. Een docent geeft aan dat er wel eens problemen zijn bij het vermenigvuldigen van breuken,
maar dat deze al gauw op te vangen zijn met een een-op-een-instructie. Deze docent geeft
ook aan dat het vermenigvuldigen van breuken geautomatiseerd kan worden door
coöperatieve werkvormen.
10. Een docent pakt wel eens breukendozen erbij waarin breukencirkels zitten, om de (zwakke)
rekenaars te ondersteunen.
REKENEN IN HET VO EN DE AANSLUITING
11. Alle docenten geven aan dat in het voortgezet onderwijs de nadruk bij het vermenigvuldigen
van breuken vooral ligt bij het toepassen van de oplosmethode ‘teller keer teller, noemer
keer noemer’.
12. Een docent geeft hierbij aan dat er weinig visualisatie plaats vindt en de nadruk ook vooral
ligt op het geven van het goede antwoord. Een andere docent geeft daarnaast aan dat het
vermenigvuldigen van breuken grofweg op dezelfde manier wordt uitgelegd. Een docent
geeft extra aan dat de werkwijze bij het vermenigvuldigen van breuken in het VO
voornamelijk herhaald wordt.
34
13. Vijf docenten geven aan niet te weten hoe de didactische aanpak in het basisonderwijs en
het voortgezet onderwijs op elkaar aansluit. Twee docenten geven aan dat het niet goed
aansluit, omdat er op de basisschool meer op een concrete manier wordt gerekend en op de
middelbare school meer abstract. Twee docenten geven aan dat de aansluiting volgens hen
prima is, een van deze twee docenten geeft wel extra aan dat er meer overleg zou moeten
zijn tussen bovenbouw PO en onderbouw VO.
RESULTATEN VAN WISKUNDE- EN REKENDOCENTEN VAN HET RLS
INTRODUCTIE EN THEORIE
1. Twee docenten geven aan direct de oplosmethode ‘teller keer teller, noemer keer noemer’
te gebruiken bij het vermenigvuldigen van breuken.
2. Een docent geeft aan eerst de andere bewerkingen (optellen en aftrekken) te herhalen om
vervolgens het vermenigvuldigen van breuken uit te leggen.
3. Een docent begint met concrete voorbeelden als pizza’s en chocoladerepen om het
vermenigvuldigen van breuken te verduidelijken. Vervolgens stapt de docent over op de
regel ‘teller keer teller, noemer keer noemer’.
4. Twee docenten noteren de regel ‘teller keer teller, noemer keer noemer’ als
.
5. Een docent geeft aan dat hij zichtbaar maakt dat een geheel getal te schrijven is als een
breuk, dit doet de deelnemer met een concreet voorbeeld.
MODELLEN
6. Een docent geeft aan geen gebruik te maken van modellen. Een andere docent geeft aan
hooguit gebruik te maken van modellen ter introductie of bij individuele hulp.
7. De drie docenten die aangeven gebruik te maken van modellen, gebruiken het
oppervlaktemodel (pizza’s en chocoladerepen).
PROBLEMEN EN ALTERNATIEVEN
8. Twee docenten ondervinden problemen met de oplosmethode ‘teller keer teller, noemer
keer noemer’. Zij geven aan dat leerlingen de procedures door elkaar halen (bij
vermenigvuldigen maken zij de noemers van de breuken eerst gelijk) en dat leerlingen het
inzicht niet beheersen.
9. Twee docenten geven aan geen problemen te ondervinden bij de aanpak ‘teller keer teller,
noemer keer noemer’.
10. Twee docenten geven aan dat het gebruik van modellen en concreet materiaal als alternatief
kan dienen om het vermenigvuldigen van breuken uit te leggen.
11. Twee docenten geven aan dat er geen alternatief is voor de oplosmethode ‘teller keer teller,
noemer keer noemer’. Een van deze twee docenten geeft hierbij aan dat het vasthouden aan
35
procedures een goede manier is om leerlingen vaardig te laten worden in het
vermenigvuldigen van breuken.
REKENEN IN HET PO EN DE AANSLUITING
12. Drie docenten hebben geen zicht op hoe er in het basisonderwijs wordt vermenigvuldigd met
breuken. Een docent geeft aan dat er in het basisonderwijs vooral ‘handig’ wordt gerekend
met verschillende procedures.
13. Twee docenten hebben geen zicht op de aansluiting van het basisonderwijs op het
voortgezet onderwijs wat betreft het vermenigvuldigen van breuken. Een docent geeft aan
dat er geen aansluiting is, enkel op het begrip van de breuk. Een docent geeft aan dat voor
makkelijke sommen (
) het VO wel aansluit op het PO, maar voor moeilijke sommen
) niet.
36
6. RESULTATEN
6.1. A ANPASSINGEN/TOEVOEGINGEN IN DE DIDACTIEK VOLGENS LITERATUUR
6.1.1. EEN BESCHRIJVING
In deze paragraaf zal deelvraag 1 worden beantwoord: ‘Wat zijn mogelijke aanpassingen en/of
toevoegingen in de didactiek van wiskundedocenten van het RLS om de leerlijnen voor het
vermenigvuldigen van breuken in het basisonderwijs en op het RLS beter op elkaar aan te laten
sluiten?’. De deelvraag zal aan de hand van diverse literatuurbronnen beantwoord worden.
In hoofdstuk 4.3. wordt de overgang van het primair naar het secundair onderwijs beschreven. In dit
hoofdstuk staat dat op de basisschool een informele, contextgebonden verkenning plaats vindt wat
betreft het rekenen met breuken. De leerling op de basisschool heeft vooral te maken met
genoemde breuken, dat wil zeggen dat bij elke breuk een verhaal of afbeelding hoort (taart, reep
chocola). Op de middelbare school vindt het vermenigvuldigen van breuken op een meer formele
manier plaats. Minder contexten, meer kale rijtjessommen (Bruin-Muurling, Gravemeijer, & Van Eijk,
2010; Versteeg, 2008). Hoe kan deze overgang volgens de literatuur verbeterd worden?
6.1.2. DOORZETTING VAN DE HOOFDLIJNEN & MEER ONDERSCHEID TUSSEN INFORMEEL-FORMEEL
Versteeg beveelt een doorzetting van de vier hoofdlijnen (zie paragraaf 4.3.) in het voortgezet
onderwijs aan om de overgang van het informeel rekenen naar het formeel rekenen te verzachten.
Sommige leerlingen zijn nog niet op het gewenste niveau in de brugklas en hebben extra
ondersteuning met concreet materiaal nodig om de oplossingsprocedures eigen te maken (en
vervolgens vlot en flexibel te kunnen rekenen). Dit betekent dat docenten in het voortgezet
onderwijs zich niet alleen op het formeel toepassen van de rekenregels moeten richten, maar, daar
waar nodig is, de situaties ook concreet moet maken. Al dan niet met concreet materiaal.
Bruin-Muurling geeft aan om de kloof tussen het primair onderwijs en het voortgezet onderwijs te
overbruggen, dat er meer aandacht gegeven moet worden aan het onderscheid tussen de informele
aanpakken in het primair onderwijs en de formele aanpakken in het voortgezet onderwijs. Het
gebruik van modellen, contexten en verschillende aanpakken op een informeel niveau zal aan het
begin van het voortgezet onderwijs ondersteunend kunnen werken, maar zal op den duur voor
verwarring zorgen als de leerling de procedures moet veralgemeniseren en de breuken als op zich
zelf staande wiskundige objecten moet zien.
6.1.3. INTENSIEVE SAMENWERKING PO-VO
Het protocol Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie (ERWD) geeft aan dat de aansluiting
van het basisonderwijs naar het voortgezet onderwijs niet alleen zit in een betere aansluiting van de
gebruikte didactiek (Van Groenestein, Borghouts, & Janssen, 2011). Ook een intensieve
samenwerking tussen scholen voor basisonderwijs en voortgezet onderwijs is van belang voor de
bevordering van een goede aansluiting. De leerlingen van groep 8 stromen namelijk op zeer
uiteenlopende rekenniveaus het voortgezet onderwijs binnen. De basisschool zou een
onderwijskundig rapport over moeten dragen aan de onderwijsinstelling waar de leerling naar toe
gaat. Hierin zou beschreven moeten worden hoe de basisschoolcarrière van de leerling er uit heeft
37
gezien en tot welk referentieniveau (1F, 1S; zie paragraaf 4.2.3.) de leerling is gekomen op de vier
domeinen.
38
6.2. R EKENEN MET BREUKEN IN GROEP 8 EN DE EERSTE KLAS
6.2.1. EEN BESCHRIJVING
In deze paragraaf zal ten eerste de volgende deelvraag worden beantwoord:
‘Welke vaardigheden met betrekking tot het rekenen met breuken leren leerlingen in groep 8 en
moeten zij aan het eind van groep 8 beheersen om te kunnen doorstromen naar de eerste klas van
het RLS?’
De rekenvaardigheden die leerlingen aan het eind van de basisschool moeten beheersen worden
hoofdzakelijk beschreven vanuit het Referentiekader Taal en Rekenen (Meijerink, 2009). Het
Referentiekader geeft aan dat de leerlingen het 1S niveau moeten beheersen om zonder problemen
te starten op het vmbo, havo of vwo. Om die reden zal in paragraaf 6.2.1. de vaardigheden (met
voorbeelden) beschreven worden op 1S-niveau volgens het Referentiekader Taal en Rekenen (2009),
maar ook volgens Van der Craats (2007) en Van den Brom (2006).
De tweede deelvraag die beantwoord zal worden in deze paragraaf hangt samen met de eerste
deelvraag:
‘Welke vaardigheden met betrekking tot het rekenen met breuken leren leerlingen in de eerste klas
van het RLS?’
Deze vraag zal niet beantwoord worden vanuit het Referentiekader Taal en Rekenen, maar vanuit de
vaardigheden die in de wiskundemethode Getal&Ruimte (Reichard, 2010) voor het eerste leerjaar
staan beschreven. De vaardigheden die leerlingen aan het eind van de basisschool beheersen
worden in het eerste leerjaar onderhouden en uitgebreid. Enerzijds helpt dit de leerlingen om in 4
vmbo-t, 5 havo of 6 vwo uiteindelijk het 2f- en 3f-rekenniveau te beheersen. Ten tweede dient het
als opstap naar de algebraïsche vaardigheden die zij leren bij het vak wiskunde (bijvoorbeeld bij
letterrekenen) (Dekker & Kindt, 2006).
6.2.2. REKENVAARDIGHEDEN EINDE BASISSCHOOL
De volgende opsomming geeft weer wat de doelen en de vaardigheden zijn op 1S niveau (Meijerink,
2009; Van den Brom, Gebroken Getallen: Reken-wiskundedidactiek, 2006; Van der Craats, 2007).
1.
Uitspraak en schrijfwijze van en bij breuken kennen, ook van bijzondere benamingen.


2.
3 van elke 4 is deel of ook te noteren als

is ook te noteren als

Wat is de teller en de noemer van ?
deel
Elementaire breuken kunnen plaatsen op een getallenlijn in betekenisvolle situaties.

3.
is zesachtste deel; is drievierde, maar ook wel driekwart; is een half of de helft
Waar ligt
op de getallenlijn van
en (liter)?
Stambreuken en elementaire breuken met elkaar kunnen vergelijken.
 Wat is groter/meer: taart of taart? Is kg meer of minder dan kg?
 Is er een kleinste breuk?
39
4.
Elementaire verdeling in breuken kunnen weergeven in en aflezen uit een tekening (zoals
strook, cirkel of rechthoek).

deel van de tuin wordt gras, de rest bloemen. Kleur de verdeling in de tekening.
5.
Breuken kunnen omzetten in kommagetallen en percentages; in het bijzonder omzetten van
breuken met noemer 2, 4, 10, 100 naar kommagetallen en percentages en omgekeerd. Ook
met behulp van de rekenmachine.

of
;
;
en
.
6.
Breuken vereenvoudigen en compliceren en breuken als gemengd getal schrijven.

;
;
.
7.
Met breuken in al dan niet betekenisvolle contexten kunnen optellen en aftrekken (via
standaardprocedures) en eventueel hierbij gelijknamig maken en ‘de helen er uit halen’

liter en liter melk bij elkaar voegen, hoeveel liter melk is dat samen?

8.
9.
Reken uit:
.
Met breuken in al dan niet betekenisvolle contexten kunnen vermenigvuldigen (via
standaardprocedures).

deel van
(gram), hoeveel gram is dat?

Reken uit:

Hoeveel is een deel van een liter?

Reken uit:
.
.
Met breuken in al dan niet betekenisvolle contexten kunnen delen.
 Reken uit:
.

Reken uit:

Reken uit:
hebt?
.
; Hoeveel pakjes slagroom van
moet je kopen als je
liter nodig
40
6.2.3. REKENVAARDIGHEDEN IN DE EERSTE KLAS
De vaardigheden in leerjaar 1 voor niveau vmbo-t, havo en vwo zijn wat betreft het rekenen met
breuken voor alle drie de niveaus hetzelfde. De leerlingen in de eerste klas op het RLS leren allemaal
de volgende vaardigheden:
1.
2.
Breuken vereenvoudigen en compliceren en als een gemengd getal schrijven.

;
 Vereenvoudig
De verschillende verschijningsvormen van breuken herkennen en breuken in de andere
verschijningsvormen kunnen omzetten (ook in decimale getallen en percentages).


;

3.
4.
5.
6.
Met breuken kunnen optellen (via standaardprocedures, zonder contexten) en hierbij
gelijknamig maken en ‘de helen er uit halen’.

Gelijknamige breuken:

Niet-gelijknamige breuken:

Gemengde breuken:
Met breuken kunnen aftrekken (via standaardprocedures, zonder contexten) en hierbij
gelijknamig maken en ‘de helen er uit halen’.

Gelijknamige breuken:

Niet gelijknamige breuken:

Gemengde breuken:
Met breuken kunnen vermenigvuldigen (via standaardprocedures, met/zonder contexten,
met/zonder verschillende schrijfwijze).

Deel van geheel:
; deel van de 800 leerlingen is meisje, hoeveel meisjes
zitten er op de school?

Echte breuken:

Gemengde breuken:

Bereken een vierde van
Met negatieve breuken
vermenigvuldigen).
 Vereenvoudig:

Bereken:

Bereken:

Bereken:
kunnen
rekenen
(vereenvoudigen,
optellen,
aftrekken,
Het delen van breuken komt in de methode Getal&Ruimte in het eerste leerjaar op geen enkel
niveau aan bod. In het tweede leerjaar van de drie niveaus wordt deze vaardigheid wel uitgelegd.
41
6.3. D IDACTIEK BIJ HET REKENEN MET BREUKEN IN GROEP EN DE EERSTE KLAS
6.3.1. EEN BESCHRIJVING
In deze paragraaf zal de volgende deelvraag beantwoord worden: ‘Op welke punten sluit de huidige
didactische aanpak van docenten van groep 8 van basisscholen van omgeving Sassenheim en
wiskunde- en rekendocenten van de eerste klas van het RLS bij het vermenigvuldigen van breuken
goed op elkaar aan en op welke punten niet?’
Om deze deelvraag te kunnen beantwoorden wordt er gekeken naar verschillen en/of
overeenkomsten in de manier waarop docenten van groep 8, werkzaam in omgeving Sassenheim, en
wiskunde- en rekendocenten van het RLS breukvermenigvuldigingen oplossen. Er zal gekeken naar
verschillen in aanpak en notatie.
Ten tweede wordt er gekeken naar de inhoud van een les ‘vermenigvuldigen met breuken’. Hoe zit
zo’n les er in het algemeen uit in groep 8? En in de eerste klas van het RLS? Er wordt ingegaan op
hoe de docenten de theorie uitleggen aan de leerlingen.
De deelvraag genoemd aan het begin van deze deelparagraaf zal ten slotte beantwoord worden.
6.3.2. VERSCHILLEN EN OVEREENKOMSTEN IN OPLOSMETHODE EN NOTATIE’
In deze paragraaf wordt er antwoord gegeven op de vraag: ‘Welke verschillen en/of overeenkomsten
zijn er in de manier waarop docenten van groep 8, werkzaam in omgeving Sassenheim,
breukvermenigvuldigingen oplossen en in de manier waarop wiskundedocenten en rekendocenten
van de eerste klassen van het RLS dit doen?’
OVEREENKOMSTEN
Uit paragraaf 5.2.1. blijkt dat er wel degelijke overeenkomsten zijn in aanpak en notatie tussen beide
groepen docenten. De volgende opsomming geeft weer op welke punten de aanpak en notatie
overeenkomen:
1. Beide groepen docenten nemen bij het maken van de opgave, de opgave over op het
uitwerkingsblad en werken de opgave uit op één regel.
2.
In bijna alle gevallen worden de helen uit een breuk gehaald en/of wordt de breuk
vereenvoudigd.
3.
De oplosmethode teller keer teller, noemer keer noemer wordt door beide groepen bij de
meeste opgaven gebruikt.
4.
Hoe moeilijker de opgave, hoe meer de oplosmethode ‘teller keer teller, noemer keer noemer’
wordt gebruikt. Bij opgave 7 kon gebruik gemaakt worden meerdere oplosmethode, bij opgave
8 was alleen de methode ‘teller keer teller, noemer keer noemer mogelijk’ (zie paragraaf 5.1.3.).
Alle docenten hebben gebruik gemaakt van de oplosmethode ‘teller keer teller, noemer keer
noemer’ bij deze twee opgaven.
42
VERSCHILLEN
Uit paragraaf 5.2.1. blijkt ook dat er een aantal verschillen te noemen zijn in aanpak en notatie
tussen beide groepen docenten. De volgende opsomming geeft weer op welke punten de aanpak en
notatie verschillen:
1. De docenten van het PO gebruiken naast de oplosmethode ‘teller keer teller, noemer keer
noemer’ ook andere oplosmethode (oppervlakte tekenen, herhaald optellen, vertalen naar
dagelijkse situatie). Het hangt van de aard van de opgave af welke oplosmethode zij
gebruiken. Bij opgave 1, 2 en 4 werd het vaakst gebruik gemaakt van een andere
oplosmethode. De docenten van het RLS maakten in geen enkel geval gebruik van een
andere oplosmethode.
2. De docenten van het PO en het VO hebben verschillende schrijfwijzen voor ‘teller keer teller,
noemer keer noemer’. Twee docenten van het PO noemden de oplosmethode als ‘bovenste
keer bovenste, onderste keer onderste’. Twee docenten van het VO schreven de
oplosmethode als ‘
’. Er zijn niet alleen verschillen in schrijfwijzen tussen
docenten PO en VO, maar er zijn ook verschillen binnen deze groepen docenten.
3. Bij een opgave waarbij een geheel getal wordt vermenigvuldigd met een breuk is er wel een
degelijk verschil in notatie. De docenten van het PO vermenigvuldigen direct het geheel
getal met de teller van de breuk. De docenten van het VO maken van het geheel getal eerst
een breuk om vervolgens de oplosmethode ‘teller keer teller, noemer keer noemer’ toe te
passen.
6.3.3. INHOUD LESSEN PO-VO
In deze paragraaf wordt antwoord gegeven op de vraag: ‘Hoe ziet een les over het vermenigvuldigen
met breuken er in het algemeen uit in groep 8 en de eerste klas van het RLS? Welke theorie legt de
docent uit en hoe legt de docent deze theorie uit? Zijn er volgens hem/haar alternatieven?’.
De meeste docenten van groep 8 introduceren het ‘vermenigvuldigen van breuken’ met behulp van
modellen. Het verkrijgen van het inzicht met behulp van oppervlakte- en cirkelmodellen is een
belangrijke stap volgens deze docenten. Als de leerlingen dit goed beheersen wordt de stap naar het
maken van rijtjes sommen gemaakt. De kale som met de oplosmethode ‘teller keer teller, noemer
keer noemer’ wordt geïntroduceerd. De docenten geven aan dat het gebruik van de modellen vooral
het rekenen van de zwakke rekenaars ondersteunt. In groep 8 horen de leerlingen wel al gauw met
weinig context een vermenigvuldiging van breuken uit te voeren. De visualisatie vindt bij enkele
methode al in eerdere groepen plaats.
De wiskunde- en rekendocenten van het RLS introduceren de oplosmethode ‘teller keer teller,
noemer keer noemer’ opnieuw. In een enkel geval (bij zwakke leerlingen of hooguit ter introductie)
gebruiken de docenten van het RLS modellen om het proces van vermenigvuldigen te visualiseren.
Zoals eerder genoemd in deze paragraaf helpt visualisatie de zwakke rekenaars bij het
vermenigvuldigen van breuken. Als docenten van groep 8 problemen ondervinden bij leerlingen
leggen ze procedure opnieuw uit met modellen (rechthoek-, cirkelmodellen).
43
Docenten van het RLS ondervinden zo nu en dan problemen bij het vermenigvuldigen van breuken.
Zij geven aan dat leerlingen de rekenregels voor optellen (eerst gelijknamig maken) en
vermenigvuldigen van breuken door elkaar halen. Het door blijven gaan met dezelfde oplosmethode,
het vasthouden aan de oplosmethode dient als oplossing voor de problemen omtrent het
vermenigvuldigen van breuken.
6.3.4. AANSLUITING DIDACTIEK PO-VO
In deze paragraaf zal duidelijk worden op welke punten de huidige didactische aanpak van groep 8
van basisscholen in omgeving Sassenheim en wiskunde- en rekendocenten van de eerste klas van het
RLS bij het vermenigvuldigen van breuken wel goed op elkaar aansluiten en op welke punten niet.
De notatie van beide groepen docenten is vrijwel hetzelfde. De opgave wordt altijd overgenomen, de
berekening wordt op één regel uitgewerkt. De uitkomst wordt altijd herleid: de helen worden er uit
gehaald en/of de breuk wordt vereenvoudigd. Er is wel een verschil in notatie bij de
vermenigvuldiging van een geheel getal met een breuk. De meeste docenten van de basisscholen
vermenigvuldigen direct het geheel getal met de teller van de breuk, de docenten van het RLS maken
van het geheel getal eerst een breuk en vermenigvuldigen vervolgens de tellers met elkaar en daarna
de noemers. Deze oplosmethode (teller keer teller, noemer keer noemer) wordt door zowel de
docenten van de basisscholen als de docenten van het RLS het meest gebruikt.
Beide groepen docenten passen modellen toe om het vermenigvuldigen van breuken (extra) toe te
lichten. Beide groepen gebruiken vaak oppervlaktemodellen zoals het cirkelmodel of het
rechthoekmodel.
Het gebruik van de modellen maakt ook gelijk een duidelijk verschil in aanpak bij het
vermenigvuldigen van breuken door beide groepen docenten. In het primair onderwijs worden
breuken uitgelegd met concrete voorbeelden waarbij modellen gebruikt worden. Als de groep 8leerlingen deze voorbeelden goed begrijpen, wordt de oplosmethode ‘teller keer teller, noemer keer
noemer’ toegepast. De docenten van het RLS gebruiken direct de oplosmethode ‘teller keer teller,
noemer keer noemer’, in de veronderstelling dat de leerlingen de visualisatie in groep 8 hebben
gekregen. Deze gedachte is ook waar, maar deze visualisatie komt nauwelijks terug in de wiskundeen rekenlessen op het RLS.
De didactische aanpakken sluiten minder goed op elkaar aan als we kijken naar het gebruik van
terminologie. In groep 8 en op het RLS wordt de oplosmethode ‘teller keer teller, noemer keer
noemer’ op meerdere manieren geformuleerd. In paragraaf 6.3.2. wordt deze oplosmethode ook
wel ‘bovenste keer bovenste, onderste keer onderste’ genoemd of wordt de oplosmethode
genoteerd als
. In de laatste twee notaties komen de begrippen teller en noemer niet in
voor.
Wat opmerkelijk is, is dat een groot gedeelte van de docenten niet weet hoe het vermenigvuldigen
van breuken in de andere onderwijssector lesgegeven wordt. Docenten van de basisscholen weten
niet hoe dit in het voortgezet onderwijs onderwezen wordt en andersom. De twee groepen docenten
hebben, deels om die reden, geen goed zicht op hoe de aansluiting er uit ziet wat betreft het rekenen
44
met breuken. Zij denken wel dat dit in het primair onderwijs vooral op een informele manier gebeurd
en in het voortgezet onderwijs op een meer formele manier.
45
C. CONCLUSIES EN DISCUSSIE
7. CONCLUSIE
Uit eerder onderzoek van Jan Bosman, sectiehoofd wiskunde van het RLS, is gebleken dat de aanpak
en notatie bij het rekenen (met breuken) erg verschilt tussen docenten van groep 8 van basisscholen
in omgeving Sassenheim en de wiskunde- en rekendocenten van het RLS. Uit het onderzoek van
Bruin-Muurling is onder andere gebleken dat de rekenmethoden in groep 8 en wiskundemethoden
voor de eerste klas niet goed op elkaar aansluiten. De leerlijn in het vermenigvuldigen van breuken
zou volgens haar beter op elkaar moeten sluiten om de rekenvaardigheden van de leerlingen te
verbeteren.
Deze twee conclusies heeft voor een verder onderzoek gezorgd. De aanpak en notatie van docenten
van groep 8 van basisscholen in omgeving Sassenheim en van wiskunde- en rekendocenten van het
RLS is opnieuw bekeken, dit keer alleen op het gebied van het vermenigvuldigen van breuken. Ook is
onderzocht hoe deze twee groepen docenten het vermenigvuldigen van breuken doceren. Dit
onderzoek, in combinatie met een literatuuronderzoek geeft antwoord op de vraag: ‘Hoe kan de
doorlopende leerlijn vanuit de basisscholen in omgeving Sassenheim naar het Rijnlands Lyceum
Sassenheim (RLS) voor het vermenigvuldigen van breuken verbeterd worden in de wiskunde- en
rekenlessen aan de eerste klas?’.
Uit het praktijkonderzoek blijkt dat op de basisscholen in omgeving Sassenheim in groep 8 op een
informeel niveau gerekend wordt. Door veel docenten wordt het vermenigvuldigen van breuken
visueel en inzichtelijk gemaakt met behulp van modellen als cirkelmodellen en rechthoekmodellen.
Pas als de leerling het inzicht heeft bij de vaardigheden kan de stap naar het formeel rekenen
gemaakt worden. De leerling krijgt dan op de basisschool voor het eerst te maken met kale sommen
zonder context waarbij de leerling de oplosmethode ‘teller keer teller, noemer keer noemer’ gebruikt
wordt. In de eerste klas van het RLS wordt er direct formeel gerekend. Er wordt hooguit gebruik
gemaakt van modellen ter introductie of als de leerling moeite heeft met het vermenigvuldigen van
breuken.
Het curriculum voor groep 8 wat betreft het vermenigvuldigen van breuken geeft aan dat de opgaven
vaak in betekenisvolle contexten zijn geplaatst (zie paragraaf 6.2.). In het eerste leerjaar is er in de
methode Getal&Ruimte geen sprake van betekenisvolle contexten rondom de opgaven (zie paragraaf
4.3.2. en 6.2.). Een gedeelte van de docenten van groep 8 van de basisscholen zijn niet op de hoogte
wat er in de eerste klas van het RLS gebeurt wat betreft het vermenigvuldigen van breuken. Een
gedeelte van de wiskunde- en rekendocenten zijn ook niet op de hoogte van wat er in groep 8
gebeurt wat betreft het vermenigvuldigen van breuken.
Uit deze twee voorbeelden blijkt dat de leerlijnen voor het vermenigvuldigen van breuken op de
basisscholen en op het RLS niet goed op elkaar aansluiten. De wiskunde- en rekendocenten zouden
in hun lessen meer rekening moeten houden met het informele karakter van het vermenigvuldigen
van breuken op de basisschool om de doorlopende leerlijn te verbeteren. Volgens Versteeg moeten
de docenten van de eerste klas van het RLS de vier hoofdlijnen ‘de begripsvorming, de ontwikkeling
van oplossingsprocedures, het vlot leren rekenen en het flexibel toepassen van kennis in nieuwe
46
situaties’ doorvoeren in hun lessen om de overstap van de basisschool naar de middelbare school te
verzachten wat betreft het vermenigvuldigen van breuken (zie paragraaf 4.3.1.).
Daarnaast zouden zowel de basisschooldocenten als de wiskunde- en rekendocenten kennis moeten
hebben van hoe in de andere onderwijssector breukvermenigvuldigingen onderwezen wordt. Zij
zouden beter moeten weten hoe de docent in de andere onderwijsinstelling het vermenigvuldigen
van breuken uitlegt en hoe dit in andere rekenmethoden is uitgelegd. De wiskunde- en
rekendocenten van het RLS hebben dan meer zicht op welke punten het ontbreekt in hun uitleg of de
uitleg van de methode. Zij zorgen ervoor dat de leerlijnen van de basisscholen en het RLS voor het
vermenigvuldigen van breuken beter op elkaar aansluiten.
Het doorvoeren van de vier hoofdlijnen in de wiskunde- en rekenlessen op het RLS en een verdieping
in de rekenmethoden van basisscholen zijn twee mogelijkheden voor docenten van het RLS om de
doorlopende leerlijn in het vermenigvuldigen van breuken in hun lessen te verbeteren.
47
8. AANBEVELINGEN
Het verbeteren van de doorlopende leerlijn voor het vermenigvuldigen van breuken hoeft niet alleen
in de lessen plaats te vinden. Naar aanleiding van het literatuuronderzoek en het praktijkonderzoek
zijn er ook op andere niveaus aanbevelingen te geven. De volgende drie punten geeft dit weer:

Het RLS zou de samenwerking met de basisscholen opnieuw moeten bekijken (zie paragraaf
6.1.3.). Is de samenwerking intensief genoeg om recht te doen aan de uiteenlopende
rekenniveaus van de leerlingen die de eerste klas van het RLS binnenstromen?

De docenten van groep 8 van basisscholen in omgeving Sassenheim en de wiskunde- en
rekendocenten van het RLS zouden overeenstemming moeten krijgen over het gebruik van
wiskunde-termen. Uit het onderzoek blijkt dat de oplosmethode ‘teller keer teller, noemer
keer noemer’ ook wel wordt beschreven als ‘bovenste keer bovenste, onderste keer
onderste’ of als ‘

’.
De wiskundemethode Getal&Ruimte en de rekenmethoden van de basisscholen zouden
beter op elkaar moeten sluiten. Zij zouden een doorlopende leerlijn moeten ontwikkelen (zie
4.3.2.).
48
9. DISCUSSIE
KWALITEIT ONDERZOEK
De resultaten van mijn praktijkonderzoek en mijn literatuuronderzoek zeggen hetzelfde over de
doorlopende leerlijn voor het vermenigvuldigen van breuken: op de basisschool heeft het
vermenigvuldigen een informeel karakter, op de middelbare school, het RLS, heeft dit een formeel
karakter.
Uit mijn literatuuronderzoek volgt naar aanleiding van deze uitkomst een duidelijke aanbeveling hoe
wij het vermenigvuldigen van breuken op de basisschool en het voortgezet onderwijs beter op elkaar
aan kunnen laten sluiten. De tien basisschooldocenten en de vier wiskunde- of rekendocenten
hebben minder goed zicht op hoe de leerlijnen beter op elkaar aan moeten sluiten, omdat zij geen
zicht hebben op hoe er wordt vermenigvuldigd met breuken in de andere onderwijssector.
Ik wil hier mee aangeven dat met mijn onderzoek duidelijk naar voren is gekomen dat er
daadwerkelijk een verschil bestaat in uitleggen van het vermenigvuldigen van breuken op de
basisscholen en het RLS en dat dit nog niet goed aansluit. Over het beter laten aansluiten van de
leerlijnen is al het een en ander bekend, maar om dit ook daadwerkelijk in de praktijk te brengen zijn
verdere maatregelen nodig. Ik beveel aan om een gesprek te voeren met de wiskunde- en
rekendocenten om tot een gewijzigde of nieuwe aanpak te komen waarin duidelijk wordt hoe de
docenten van het RLS omgaan met het vermenigvuldigen van breuken op informeel niveau. Uit het
praktijkonderzoek komt namelijk naar voren dat hier meer tijd aan gegeven mag/moet worden.
VERBETERINGEN
In dit onderzoek heb ik gekeken naar de oplosmethoden die door docenten gebruikt worden bij het
vermenigvuldigen van breuken. Ik heb gevraagd of zij de acht opgaven op het opdrachtenblad willen
maken. De resultaten van dit onderzoek geeft niet weer of zij deze opgaven ook met de gekozen
oplosmethoden uitwerken voor groep 8 of de eerste klas. Als ik op het opdrachtenblad voor de
basisschooldocenten had aangegeven ‘Maak de volgende opgaven, zoals u het uit zou leggen voor
een groep 8’, dan had ik beter geweten of de basisschooldocenten de opgaven uitwerken zoals zij het
de leerlingen aanleren.
Ik heb gekozen voor een schriftelijke afname van het onderzoek. Voor het kwantitatieve gedeelte van
het onderzoek is dit goed verlopen. Het kwalitatieve gedeelte van het onderzoek zou ik een volgende
keer anders willen uitvoeren, namelijk met interviews. In zo’’n interview kan de interviewer meer
vragen over wat de docent bedoelt met zijn antwoord, er zal naar mijn mening meer diepgang zitten
in de antwoorden die voortkomen uit het gesprek dan uit de antwoorden op de vragen van de
vragenlijst. Ik moest met dit onderzoek soms goed lezen wat er bedoeld wordt met een antwoord en
ik heb in sommige gevallen nagevraagd wat de deelnemer bedoelde met zijn antwoord.
OPBRENGST VOOR HET RLS
Naar mijn mening heeft dit onderzoek een goede opbrengst voor de afstudeerlocatie, het RLS. De
aansluiting tussen de basisscholen en het RLS wat betreft het vermenigvuldigen van breuken is
beschreven. Duidelijk is geworden waar de leerlijnen niet op elkaar aan sluiten en hoe het RLS er
49
voor kan zorgen om dit beter op elkaar aan te laten sluiten. Ik vind dat dit onderzoek een goed en
mooi uitgangspunt is voor een groepsgesprek met de wiskunde- en rekendocenten van het RLS,
waarin besproken kan worden hoe een verbetering van de aansluiting van de leerlijnen er in de
praktijk er uit zal zien.
Ik denk dat mijn onderzoek als leidraad kan dienen voor andere onderzoeken omtrent het rekenen
met breuken. Het tweedelige praktijkonderzoek (kwantitatief en kwalitatief) heeft voor een goed
beeld gezorgd wat betreft het vermenigvuldigen van breuken door docenten van het basisonderwijs
en het voortgezet onderwijs. Andere rekenvaardigheden, bijvoorbeeld het optellen van breuken,
zouden op eenzelfde manier onderzocht kunnen worden. Ik denk dat dit ook een zeer interessant
onderzoek zal opleveren, aangezien ik weet dat het optellen van breuken ook op verschillende
manieren wordt uitgelegd in de rekenmethoden op de basisschool en de wiskundemethoden op de
middelbare school.
EIGEN LEEROPBRENGST
Ik heb van dit onderzoek veel geleerd. Het literatuuronderzoek heeft er voor gezorgd dat ik veel
kennis heb over het rekenen met breuken. De ontwikkeling van de rekendidactiek, het
Referentiekader Taal en Rekenen, de subconstructen zijn enkele onderwerpen waar ik voorheen
weinig van af wist. Het praktijkonderzoek heeft er onder andere voor gezorgd dat ik meer kennis heb
over de relaties van het RLS met de basisscholen in omgeving Sassenheim.
50
LITERATUURLIJST
Ballering, F., Van Helden, H., Konings, T., Krabbendam, H., Staal, H., & Van der Steene, S. (2008).
Rekenen voor de lerarenopleiding. Utrecht: APS.
Brandt-Bosman, R. (2011-2012). De referentieniveaus. Volgens Bartjens , 4-6.
Bruin-Muurling, G. (2010). The development of proficiency in. Eindhoven: Printservice TU/e.
Bruin-Muurling, G., Gravemeijer, K., & Van Eijk, M. (2010, Maart). Aansluiting schoolboeken
basisschool en havo/vwo. Nieuw Archief voor Wiskunde , pp. 33-37.
Cajori, F. (1993). A History of Mathematical Notations. New York: Dover Publications, Inc.
Claeys, A. (2010). Kennis en ervaringen van leerkrachten met betrekking tot het didactisch materiaal
bij het curriculum breuken. Opgeroepen op Mei 1, 2014, van Universiteitsbibliotheek Gent:
http://lib.ugent.be/fulltxt/RUG01/001/460/238/RUG01-001460238_2011_0001_AC.pdf
De Moor, E. (1994, Oktober). Jan Versluys en het ontstaan van de vakdidactiek. NW, Tijdschrift voor
Nederlands Wiskundeonderwijs , 8-13.
Dekker, T., & Kindt, M. (2006). Wat doen we (niet) met breuken. Nieuwe Wiskrant , 6-10.
Den Hertog, J. (2006). Rekenvaardigheid en gecijferdheid. Panama-Post - Reken-wiskundeonderwijs:
onderzoek, ontwikkeling, praktijk , 30-34.
Gravemeijer, K., Bruin-Muurling, G., & van Eijck, M. (2009). Aansluitingsproblemen tussen primair en
voortgezet onderwijs. Panama-Post , 14-19.
Keijzer, R., & Jonker, V. (2009). Over de muurtjes heenkijken. Utrecht: Freudenthal Instituut.
Kline, M. (1973). Why Johnny Can't Add: The Failure of the New Math. New York City: St. Martin's
Press.
La Bastide - Van Gemert, S. (2006). 'Elke positieve actie begint met critiek'. Hilversum: Uitgeverij
Verloren.
Leuverink, J. (2010). De doorlopende leerlijn bij het vermenigvuldigen van breuken. Opgeroepen op
juni 2014, van Information Expertise Center / Repository TU/e:
http://alexandria.tue.nl/extra2/afstversl/esoe/690054.pdf
Meijerink, H. e. (2009). Referentiekader Taal en Rekenen. Almelo: Lulof Druktechniek.
Oonk, W., Van Zanten, M., & Keijzer, R. (2007). Gecijferdheid, vier eeuwen ontwikkeling. Panamapost - Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk , 3-18.
Poskitt, K. (2005). Grappige, grillige en geniale getallen. Alkmaar: Kluitman.
Prenger, J. (2005). Taal telt! Een onderzoek naar de rol van taalvaardigheid en tekstbegrip in het
realistisch wiskunde onderwijs. Enschede: PrintPartners Ipskamp.
51
Prenger, J. (2009). Terug naar 'ouderwets' rekenonderwijs of blijven we 'realistisch' rekenen. Taal
lezen , 6-8.
Rekenen in het oude Egypte. (sd). Opgeroepen op juni 2014, van Math4all:
http://www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis/Onderdelen/RGEgypte.html
Singer-Freeman, K., & Goswami, U. (2001). Does half a pizza equal half a box of chocolates? Proportional matching in an analogy task. Cognitive Development , 811-829.
Streefland, L. (1988). Realistisch Breukenonderwijs. Culemborg: Technipress.
Streefland, L. (1988). Realistisch Breukenonderwijs. Culemborg: Technipress.
Tielemans, J. (1999). Psychodidactiek. Leuven/Apeldoorn: Garant-Uitgevers.
Van Bijsterveldt-Vliegenthart, J. M. (2010, juli 8). Besluit referentieniveaus Nederlandse taal en
rekenen. Opgeroepen op Februari 2014, van Overheid.nl:
https://zoek.officielebekendmakingen.nl/stb-2010-265.pdf
Van de Walle, J. A., Karp, K. S., & Bay-Williams, J. M. (2013). Elementary and Middle School
Mathematics. New Jersey: Pearson Education, Inc.
Van de Walle, J., Karp, K., & Bay-Williams, J. (2013). Elementary and Middle School Mathematics.
New Jersey: Pearson Education, Inc.
Van den Brom, P. (2006). Gebroken Getallen: Reken-wiskundedidactiek. Utrecht/Zutphen:
ThiemeMeulenhoff.
Van den Brom, P., Van Zanten, M., Van den Bergh, J., Meijer, R., & Vrolijk, A. (2006). Gebroken
getallen. Utrecht/Zutphen: ThiemeMeulenhoff.
Van der Craats, J. (2007, Augustus 8). Rekenvaardigheden op de basisschool. Opgeroepen op mei 7,
2014, van Universiteit van Amsterdam: http://staff.science.uva.nl/~craats/RekenenBasisschool.pdf
Van Groenestein, M., Borghouts, C., & Janssen, C. (2011). Protocol Ernstige RekenWiskundeproblemen en Dyscalculie. Assen: Van Gorcum.
Versteeg, B. (2008). Pizza's en repen. Volgens Bartjens , 7-9.
52
BIJLAGEN
Bijlage 1 – Brief aan docenten van groep 8 van basisscholen in omgeving Sassenheim (inclusief
opdrachtenblad en vragenlijst.
Beste docent van groep 8,
Hartelijk dank dat u deel wilt nemen aan mijn onderzoek!
Deze envelop bevat naast deze brief het volgende:
 Informatie over het onderzoek waar u aan deelneemt
 Een opdrachtenblad met acht opgaven over het vermenigvuldigen van breuken
 Een vragenlijst met zes open vragen over de didactiek bij het vermenigvuldigen van breuken
 Een leeg, geruit papier
 Een leeg, gelinieerd papier
 Een rood A6-formulier met daarop een drietal vragen over u en uw werkervaring.
 Een gefrankeerde, lege envelop
De uitwerkingen van de acht opgaven kunt u noteren op het leeg, geruit papier. Op het gelinieerd papier kunt
u uw antwoorden op de acht vragen noteren. Ik hoop dat u een zo duidelijk en uitvoerig mogelijk antwoord zal
en kan geven op deze acht vragen. Het zal zo’n twintig minuten kosten om de opdrachten te maken en de
vragen te beantwoorden.
U kunt, als u klaar bent met het maken van de opgaven en het beantwoorden van de vragen, de ingevulde
documenten in de envelop doen. Op de envelop staat het retouradres. U hoeft de envelop alleen nog op de
bus te doen.
Indien u belangstelling heeft naar het uiteindelijk onderzoeksrapport dan mag u uw gegevens invullen op
onderstaand strookje en het strookje bijvoegen in de envelop.
Voor vragen of opmerkingen kunt u uiteraard bellen of mailen.
Nogmaals hartelijk bedankt voor uw deelname!
Vriendelijke groet,
Marjon Schippers
Docent wiskunde Rijnlands Lyceum Sassenheim
[email protected]
06 23670801
Ja, ik wil graag na afronding van het onderzoek het onderzoeksrapport ontvangen.
Naam:
E-mail:
53
OVER HET ONDERZOEK
Het breukenonderwijs heeft in Nederland geen doorlopende leerlijn bij de overgang van het primair naar het
voortgezet onderwijs. Het vermenigvuldigen van breuken levert bij leerlingen in latere jaargangen nog veel
problemen op. Geeke Bruin-Muurling noemt in haar promotieonderzoek over dit probleem dat de didactiek
en strategieën bij het vermenigvuldigen van breuken door docenten beter op elkaar aan zou moeten sluiten
om het rekenonderwijs in Nederland te verbeteren. Naast Bruin-Muurling geeft ook Jeroen Leuverink in zijn
afstudeerverslag aan dat de doorlopende leerlijn in het primair onderwijs en het voortgezet onderwijs
verbeterd zou moeten worden om het rekenonderwijs te verbeteren (en daarnaast de rekencapaciteiten van
de leerling). Jan Bosman, sectiehoofd wiskunde van het Rijnlands Lyceum Sassenheim (RLS), was opgevallen
dat er grote verschillen bestaan in aanpak en notatie tussen docenten van basisscholen in omgeving
Sassenheim en wiskundedocenten op het RLS.
De bevindingen van bovengenoemde personen waren voor mij een aanleiding om de didactiek van docenten
van groep 8 van basisscholen in omgeving Sassenheim en wiskunde/-rekendocenten nader te gaan
onderzoeken.
Met mijn onderzoek wil ik graag, met behulp van de wiskunde/-rekendocenten van het RLS een aanpak
bedenken hoe wij de wiskunde/-rekenlessen, waarin het vermenigvuldigen van breuken aan bod komt, beter
aan kunnen laten sluiten op de rekenlessen in groep 8 van het basisonderwijs in omgeving Sassenheim.
Het onderzoek bestaat uit twee delen. In het eerste gedeelte wil ik, met behulp van het opdrachtenblad en de
vragenlijst, er achter komen welke verschillen en overeenkomsten er zijn tussen basisschooldocenten van
groep 8 in omgeving Sassenheim en wiskunde-/rekendocenten van het eerste leerjaar van het RLS in het
gebruik van oplosmethoden en didactiek bij het vermenigvuldigen van breuken.
Het tweede gedeelte van mijn onderzoek bestaat uit een groepsgesprek met de docenten van de eerste
klassen van het RLS. We zullen hier mogelijke aanpassingen/toevoegingen bespreken van/aan de gebruikte
didactiek, zodat gebruikte leerlijnen in het basisonderwijs en het voortgezet onderwijs beter op elkaar zullen
sluiten.
54
OPDRACHTEN
Voor u ligt een opdrachtenblad met acht opgaven over breuken. Naar schatting zal het ongeveer vijf á tien
minuten duren om de opdrachten te maken. Gelieve de volgende acht opgaven uitwerken op het geruit
papier.
Opgave 6:
Opgave 1:
Opgave 2:
Opgave 3:
van deel van een taart is…
In een supermarkt zijn de gevulde koeken in de
aanbieding voor van de prijs. Er is een pak dat een
gebroken koek bevat, daarom wordt deze zelfs nog
goedkoper. Dit pak wordt nog eens voor van de
aanbiedingsprijs verkocht. Welk deel van de
oorspronkelijke prijs moet je betalen voor het pak met
gebroken koeken?
Opgave 4:
Opgave 7:
Opgave 5:
Opgave 8:
Einde opgavenblad. Bedankt voor uw medewerking!
VRAGEN
Voor u ligt een vragenlijst met betrekking tot het onderwerp ‘Het vermenigvuldigen van breuken’. De lijst
bestaat uit zes open vragen. Naar schatting zal het ongeveer tien á vijftien minuten duren om de vragenlijst in
te vullen. Probeer een zo duidelijk en uitvoerig mogelijk antwoord te geven op de vragen. Gelieve uw
antwoorden noteren op het gelinieerd papier.
1.
Hoe ziet een les over ‘het vermenigvuldigen van breuken’ er in het algemeen uit? Hoe wordt het
onderwerp geïntroduceerd en wat wordt er uitgelegd?
2.
Maakt u gebruik van modellen tijdens uw uitleg aan de leerlingen? (Bijvoorbeeld: het knippen van
oppervlaktes, tekenen van pizza’s etc.). Zo ja, welke modellen gebruikt u?
3.
Loopt u bij deze aanpak tegen problemen aan? Heeft u er wel eens over gedacht om een andere
aanpak te gebruiken, en zo ja, waarom?
4.
Wat zou een goede alternatieve manier zijn om dit onderwerp aan leerlingen uit te leggen?
5.
Hoe wordt volgens u het vermenigvuldigen van breuken in het voortgezet onderwijs onderwezen?
6.
Op welke punten sluit de huidige didactische aanpak in het basisonderwijs en voortgezet onderwijs
bij het vermenigvuldigen van breuken goed op elkaar aan en op welke punten juist niet?
Einde vragenlijst. Bedankt voor het invullen!
55
Bijlage 2 – Brief aan wiskunde- en rekendocenten van het eerste leerjaar van het RLS
Beste collega,
Hartelijk dank dat je deel wilt nemen aan het onderzoek!
Deze envelop bevat naast deze brief het volgende:
 Informatie over het onderzoek waar je aan deelneemt
 Een opdrachtenblad met acht opgaven over het vermenigvuldigen van breuken
 Een vragenlijst met drie korte vragen over uw leeftijd en werkervaring en zes open vragen over de
didactiek bij het vermenigvuldigen van breuken
 Een leeg, geruit papier
 Een leeg, gelinieerd papier
 Een geel A6-formulier met daarop een drietal vragen over jou en jouw werkervaring.
De uitwerkingen van de acht opgaven kunnen genoteerd worden op het leeg, geruit papier. Op het gelinieerd
papier kunnen de antwoorden op de zes vragen genoteerd worden. Ik hoop dat je een zo duidelijk en uitvoerig
mogelijk antwoord zal en kan geven op deze zes vragen.
Als je klaar bent met het maken van de opgaven en het beantwoorden van de vragen, mag je de ingevulde
documenten terug in de envelop doen. De envelop mag je vervolgens in mijn postvakje in de docentenkamer
leggen.
Als je belangstelling hebt naar het uiteindelijk onderzoeksrapport, dan mag je jouw gegevens invullen op
onderstaand strookje en het strookje bijvoegen in de envelop.
Voor vragen of opmerkingen kan je uiteraard bellen of mailen.
Nogmaals hartelijk bedankt voor je deelname!
Vriendelijke groet,
Marjon Schippers
06 23 67 08 01
Ja, ik wil graag na afronding van het onderzoek het onderzoeksrapport ontvangen.
Naam:
E-mail:
OVER HET ONDERZOEK
Het breukenonderwijs heeft in Nederland geen doorlopende leerlijn bij de overgang van het primair naar het
voortgezet onderwijs. Het vermenigvuldigen van breuken levert bij leerlingen in latere jaargangen nog veel
problemen op. Geeke Bruin-Muurling noemt in haar promotieonderzoek over dit probleem dat de didactiek
en strategieën bij het vermenigvuldigen van breuken door docenten beter op elkaar aan zou moeten sluiten
om het rekenonderwijs in Nederland te verbeteren. Naast Bruin-Muurling geeft ook Jeroen Leuverink in zijn
afstudeerverslag aan dat de doorlopende leerlijn in het primair onderwijs en het voortgezet onderwijs
verbeterd zou moeten worden om het rekenonderwijs te verbeteren (en daarnaast de rekencapaciteiten van
de leerling). Jan Bosman, sectiehoofd wiskunde van het Rijnlands Lyceum Sassenheim (RLS), was opgevallen
dat er grote verschillen bestaan in aanpak en notatie tussen docenten van basisscholen in omgeving
Sassenheim en wiskundedocenten van het RLS.
De bevindingen van bovengenoemde personen waren voor mij een aanleiding om de didactiek van docenten
van groep 8 van basisscholen in omgeving Sassenheim en wiskunde/-rekendocenten van het RLS nader te
56
gaan onderzoeken.
Met mijn onderzoek wil ik graag, met behulp van de wiskunde/-rekendocenten van het RLS een aanpak
bedenken hoe wij de wiskunde/-rekenlessen, waarin het vermenigvuldigen van breuken aan bod komt, beter
aan kunnen laten sluiten op de rekenlessen in groep 8 van het basisonderwijs in omgeving Sassenheim.
Het onderzoek bestaat uit twee delen. In het eerste gedeelte wil ik, met behulp van het opdrachtenblad en de
vragenlijst, er achter komen welke verschillen en overeenkomsten er zijn tussen basisschooldocenten van
groep 8 in omgeving Sassenheim en wiskunde-/rekendocenten van het eerste leerjaar van het RLS in het
gebruik van oplosmethoden en didactiek bij het vermenigvuldigen van breuken.
Het tweede gedeelte van mijn onderzoek bestaat uit een groepsgesprek met de docenten van de eerste
klassen van het RLS. We zullen hier mogelijke aanpassingen/toevoegingen bespreken van/aan de gebruikte
didactiek, zodat gebruikte leerlijnen in het basisonderwijs en het voortgezet onderwijs beter op elkaar zullen
sluiten.
OPDRACHTEN
Voor u ligt een opdrachtenblad met acht opgaven over breuken. Naar schatting zal het ongeveer vijf á tien
minuten duren om de opdrachten te maken. Gelieve de volgende acht opgaven uitwerken op het geruit
papier.
Opgave 6:
Opgave 1:
Opgave 2:
Opgave 3:
van deel van een taart is…
In een supermarkt zijn de gevulde koeken in de
aanbieding voor van de prijs. Er is een pak dat een
gebroken koek bevat, daarom wordt deze zelfs nog
goedkoper. Dit pak wordt nog eens voor van de
aanbiedingsprijs verkocht. Welk deel van de
oorspronkelijke prijs moet je betalen voor het pak met
gebroken koeken?
Opgave 4:
Opgave 7:
Opgave 5:
Opgave 8:
Einde opgavenblad. Bedankt voor uw medewerking!
57
VRAGEN
Voor je ligt een vragenlijst met betrekking tot het onderwerp ‘Het vermenigvuldigen van breuken’. De lijst
bestaat uit zes open vragen. Naar schatting zal het ongeveer tien á vijftien minuten duren om de vragen te
beantwoorden. Probeer een zo duidelijk en uitvoerig mogelijk antwoord te geven op de vragen. Gelieve de
antwoorden noteren op het gelinieerd papier.
1.
Hoe ziet een les over ‘het vermenigvuldigen van breuken’ er in het algemeen uit? Hoe wordt het
onderwerp geïntroduceerd en wat wordt er uitgelegd?
2.
Maak je gebruik van modellen tijdens jouw uitleg aan de leerlingen? (Bijvoorbeeld: het knippen van
oppervlaktes, tekenen van pizza’s etc.). Zo ja, welke modellen gebruik je?
3.
Loop je bij deze aanpak tegen problemen aan? Heb je er wel eens over gedacht om een andere
aanpak te gebruiken, en zo ja, waarom?
4.
Wat zou een goede alternatieve manier zijn om dit onderwerp aan leerlingen uit te leggen?
5.
Hoe wordt volgens jou het vermenigvuldigen van breuken in het basisonderwijs onderwezen?
6.
Op welke punten sluit de huidige didactische aanpak in het basisonderwijs en voortgezet onderwijs
bij het vermenigvuldigen van breuken goed op elkaar aan en op welke punten juist niet?
Einde vragenlijst. Bedankt voor het invullen!
58
Bijlage 3 – Verwerkingsformulier opdrachten deelnemers onderzoek
Opgave
Oplosmethode 1: teller keer teller, noemer keer noemer
Alleen tellers of alleen noemers vermenigvuldigen
Breuken eerst gelijknamig maken
Rekenfout
Niet vereenvoudigen
1
2
3
4
5
6
7
8
Oplosmethode 2: Oppervlakte tekenen
Geen geschikte oppervlakte kiezen
Geen goede oppervlakte arceren
Verkeerde conclusie
Niet vereenvoudigen
Oplosmethode 3: Interpretatie als deel van
Foutieve interpretatie als deel van
Niet uit de redenatie komen
Niet vereenvoudigen
Oplosmethode 4: Rekenen met getallenlijn
Geen goede nummering op getallenlijn gebruiken
Rekenfout
Verkeerd aftekenen op getallenlijn
Niet vereenvoudigen
Oplosmethode 5: Vertalen naar dagelijkse situatie
Geen geschikte situatie kiezen
Rekenfout
Foutieve beredenering
Niet vereenvoudigen
Oplosmethode 6: Herhaald optellen
Rekenfout
Niet vereenvoudigen
59

GETALLENKENNIS B3 Les 37 Bewerkingen met breuken N aam

GETALLENKENNIS B2 Lessen 22 en 24 Breuken N aam

Wat leert uw kind in groep 8?

4.2 - mathonline

rekenen - Pieter Wijten

Informatiepanelen Cultuurlandschap

Het gekste idee is niet gek genoeg! Een fixatievrij

NAAM

INFO Laparoscopische liesbreuk AZ St.