oplossingen oefensessie 4

Juno KOEKELKOREN D.1.4. OEFENINGENREEKS 4 OEFENING 1 Voor een zekere populatie zijn de scores bij de WISC normaal verdeeld met 𝜇 = 100 en standaardafwijking 𝜎 = 15. Gebruik telkens een tekening om je antwoord te ondersteunen. 1. Welk percentage van deze populatie heeft een score lager dan 100? 𝑃(𝑁(100,15) < 100) 100 − 100
= 𝑃 𝑁 0,1 <
15
= 𝑃 𝑁 0,1 < 0 = 𝟎, 𝟓 2. Welk percentage van deze populatie heeft een score hoger dan 140? 𝑃(𝑁 100,15 > 140) 140 − 100
= 𝑃 𝑁 0,1 >
15
40
= 𝑃 𝑁 0,1 >
15
8
= 1 − 𝑃 𝑁 0,1 ≤ 2
= 1 − 0,9962 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟖 3. Welk percentage van deze populatie heeft een score lager dan 80? 𝑃(𝑁(100,15) < 80) 80 − 100
= 𝑃 𝑁 0,1 <
15
−20
= 𝑃 𝑁 0,1 <
15
4
= 1 − 𝑃 𝑁 0,1 < 3
= 1 − 0,9082 = 𝟎, 𝟎𝟗𝟏𝟖 4. Welk percentage van deze populatie heeft een score lager dan 120? 𝑃(𝑁(100,15) < 120) 120 − 100
= 𝑃 𝑁 0,1 <
15
20
= 𝑃 𝑁 0,1 <
15
4
= 𝑃 𝑁 0,1 <
= 𝟎, 𝟗𝟎𝟖𝟐 3
1BA PSYCH 2013-‐2014 Statistiek 1 – Oefeningenreeks 4 1 Juno KOEKELKOREN 5. Welk percentage van deze populatie heeft een score die ligt tussen 90 en 120? 𝑃(90 < 𝑁(100,15) < 120) 90 − 100
120 − 100
=𝑃
< 𝑁 0,1 <
15
15
10
20
=𝑃 −
< 𝑁 0,1 <
15
15
4
2
= 𝑃 𝑁 0,1 <
− 𝑃 𝑁 0,1 < − 3
3
2
= 0,9082 − 1 − 𝑃 𝑁 0,1 <
3
= 0,9082 − 1 − 0,7486 = 0,9082 − 0,2514 = 𝟎, 𝟔𝟓𝟔𝟖 6. Welk percentage van deze populatie scoort minstens 10% hoger of lager dan de verwachting? 𝑃 𝑁 100,15 ≥ 110 + 𝑃(𝑁(100,15) ≤ 90) 110 − 100
90 − 100
= 𝑃 𝑁 0,1 ≥
+ 𝑃 𝑁 0,1 ≤
15
15
2
10
= 1 − 𝑃 𝑁 0,1 ≤
+ 𝑃 𝑁 0,1 ≤ −
3
15
= 1 − 0,7486 + 1 − 0,7486 = 2 . 0,2514 = 𝟎, 𝟓𝟎𝟐𝟖 1BA PSYCH 2013-‐2014 Statistiek 1 – Oefeningenreeks 4 2 Juno KOEKELKOREN OEFENING 2 1. Voor 𝑥 = 1,635, met 𝑣 = 6, wat is dan de waarde voor de verdelingsfunctie 𝐹! ! (𝑥)? 𝐹!!! 1,635 = 𝟎, 𝟎𝟓 2. Voor 𝑥 = 11,59, met 𝑣 = 21, wat is dan de waarde voor de verdelingsfunctie 𝐹! ! (𝑥)? ! 11,59 = 𝟎, 𝟎𝟓 𝐹!!"
! 𝑥 = 0,025 3. Zoek 𝑥 waarvoor geldt dat 𝐹!!"
𝑥 = 𝟒𝟎, 𝟒𝟖 ! 𝑥 = 0,975 4. Zoek 𝑥 waarvoor geldt dat 𝐹!!!
𝑥 ≈ 𝟓𝟎 OEFENING 3 1. Zoek bij de Student t-‐verdeling de (t-‐)waarde 𝑥 waarvoor geldt dat 𝐹!!" 𝑥 = 0,95 en zet deze waarde uit op de grafiek. 𝑥 = 𝟏, 𝟕𝟏𝟏 2. Indien je t-‐waarde -‐1,721 krijgt bij 𝑣 = 21, hoeveel procent van de waarnemingen valt er dan onder deze t-‐waarde? 𝑃 𝑇!" ≤ −1,721 = 1 − 𝑃 𝑇!" ≤ 1,721 = 1 − 0,95 = 𝟎, 𝟎𝟓 3. Als je bij 𝑣 = 10, de t-‐waarde 2,764 vindt, hoeveel procent van de waarnemingen valt dan onder deze waarde en hoeveel procent valt boven deze waarde? 𝑃 𝑇!" < 2,764 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟎 𝑃 𝑇!" > 2,764 = 1 − 𝑃 𝑇!" < 2,764 = 1 − 0,990 = 𝟎, 𝟎𝟏 4. Zoek de t-‐waarde waaronder 10% van de waarnemingen valt bij 𝑣 = 13. 10% = 0,1 = 1 − 0,9 𝑃 𝑇!" < 𝑥 = 0,1 𝑃 𝑇!" < −𝑥 = 1 − 𝑃 𝑇!" < 𝑥 = 1 − 0,9 = 0,1 𝑃 𝑇!" < 𝑥 = 0,09 ⇔ 𝑥 = 1,35 𝑃 𝑇!" < 𝑥 = 0,1 ⇔ 𝑥 = −𝟏, 𝟑𝟓 1BA PSYCH 2013-‐2014 Statistiek 1 – Oefeningenreeks 4 3 Juno KOEKELKOREN OEFENING 4 1. Stel dat 𝑋 een 𝒳 ! -‐verdeling volgt met 10 vrijheidsgraden. De variabele 𝑌 is standaardnormaal verdeeld. Definieer 𝑍 als volgt: 𝑌
𝑍=
𝑋/10
Wat is de verdeling van 𝑍? ! 𝑍 = t-‐verdeling !
! 𝑇!" = ! !"
!
2. Bij de trekking van de standaard Lotto worden 6 getallen getrokken. Om één van die getallen te trekken gebruikt men een trommel met 40 ballen, elk met een getal van 1 t.e.m. 40. Is de verdeling van die getallen normaal, bij benadering normaal of helemaal niet normaal?` ! Helemaal niet normaal: er is geen sprake van teruglegging. 3. Bij een test moeten de leerlingen 20 Nederlandse woorden correct schrijven. De score (𝑌) van een leerling op die test is gelijk aan het aantal correct geschreven woorden. Die score is dus een discrete toevalsvariabele en varieert tussen 0 en 20. Wat is de kansverdeling van 𝑌? ! De kansverdeling van 𝒀 is afhankelijk van leerling tot leerling. Er kan geen algemene kansverdeling opgesteld worden op basis van de resultaten van één enkele leerling; er mag dus niet veralgemeend worden. 4. Je trekt steekproeven van 10 jongeren in het eerste middelbaar uit Vlaanderen. Bij elke leerling neem je de test van punt 3 af. Je definieert 𝑋 als het aantal geslaagde (score ≥ 10) leerlingen in een steekproef wat is de verdeling van 𝑋? ! 𝑿 is binomiaal verdeeld: geslaagd / niet-‐geslaagd. 5. Je trekt steekproeven van 10 jongeren in het eerste middelbaar uit Vlaanderen. Bij elke leerling neem je de test van punt 3 af. Wat is de verdeling van 𝑌? ! 𝒀 (𝟏𝟎 < 𝟑𝟎) is niet normaal verdeeld. " Vuistregel: 𝑛 > 30 ⇒ bij benadering normale verdeling 6. Je trekt een steekproef van 60 jongeren in het eerste middelbaar uit Vlaanderen. Bij elke leerling neem je de test van punt 3 af. Wat is de verdeling van 𝑌? ! 𝒀 (𝟔𝟎 > 𝟑𝟎) is bij benadering normaal verdeeld. " Vuistregel: 𝑛 > 30 ⇒ bij benadering normale verdeling 1BA PSYCH 2013-‐2014 Statistiek 1 – Oefeningenreeks 4 4 Juno KOEKELKOREN OEFENING 5 𝑋 = 𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 ℎ𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑔𝑒𝑧𝑖𝑛 Steekproef Mogelijke waarden van 𝑋: 1 !
Kansverdeling van 𝑋: 𝑃 1 = ! 2 !
𝑃 2 = ! Kans 𝑥 (1,1,1) 1 (1,1,2) 1,33 (= 4/3) (1,2,1) 1,33 (= 4/3) (1,2,2) 1,67 (= 5/3) (2,1,1) 1,33 (= 4/3) (2,1,2) 1,67 (= 5/3) (2,2,1) 1,67 (= 5/3) (2,2,2) 2 𝑥 𝑃(𝑋 = 𝑥) 3 3 3 27
. . = 4 4 4 64
3 3 1
9
. . = 4 4 4 64
3 1 3
9
. . = 4 4 4 64
3 1 1
3
. . = 4 4 4 64
1 3 3
9
. . = 4 4 4 64
1 3 1
3
. . = 4 4 4 64
1 1 3
3
. . = 4 4 4 64
1 1 1
1
. . = 4 4 4 64
1,33 (= 4/3) 1,67 (= 5/3) 2 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,75 27
64
9
27
3.
= 64 64
3
9
3.
= 64 64
1
64
1 1BA PSYCH 2013-‐2014 1,25 1,75 2,25 𝓧𝟐 -‐verdeling Statistiek 1 – Oefeningenreeks 4 5 Juno KOEKELKOREN OEFENING 6 𝑁(𝜇 , 𝜎) 𝜇 = 25, 𝜎 = 5, 𝑛 = 25 ⇒ 𝑁 25 ,
!
!"
= 𝑁(25,1) 1. 𝑃(𝑁 25,1 < 27) = 𝑃 𝑁 0,1 < 27 − 25 = 𝑃(𝑁 25 , 5 < 2 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟕𝟐 = 𝟗𝟕, 𝟕𝟐% 2. 𝑃(22,5 < 𝑁 25 , 1 < 25,5) = 𝑃 22,5 − 25 < 𝑁 0,1 < 25,5 − 25 = 𝑃 −2,5 < 𝑁 0, 1 < 0,5 = 𝑃 𝑁 0,1 < 0,5 − 𝑃(𝑁 0,1 < −2,5) = 0,6915 − (1 − 𝑃(𝑁 0,1 < 2,5) = 0,6915 − (1 − 0,9938) = 0,6915 − 0,0062 = 𝟎, 𝟔𝟖𝟓𝟑 = 𝟔𝟖, 𝟓𝟑% OEFENING 7 𝑁(𝜇 , 𝜎) 𝜇 = 185,6; 𝜎 = 12,7 ⇒ 𝑁 185,6 ; 12,7 1. 𝑃 𝑋 > 190 * 𝑛 = 10 12,7
= 𝑃 𝑁 185,6 ;
> 190 10
190 − 185,6
= 𝑃 𝑁 0,1 >
12,7/ 10
4,4
= 1 − 𝑃 𝑁 0,1 <
12,7/ 10
= 1 − 𝑃 𝑁 0,1 < 1,096 ≈ 1 − 𝑃 𝑁 0,1 < 1,10 ≈ 1 − 0,8643 ≈ 𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟕 = 𝟏𝟑, 𝟓𝟕% 1BA PSYCH 2013-‐2014 Statistiek 1 – Oefeningenreeks 4 6 Juno KOEKELKOREN 2. 𝑃 𝐵 10, 𝜋 = 5 * 𝜋 = 𝑃 𝑋 > 198,3 ⇔ 𝜋 = 𝑃 𝑁(185,5 ; 12,7) > 190 198,3 − 185,5
⇔ 𝜋 = 𝑃 𝑁(0,1) >
12,7
12,8
⇔ 𝜋 = 𝑃 𝑁(0,1) >
12,7
⇔ 𝜋 = 𝑃 𝑁(0,1) > 1,01 ⇔ 𝜋 = 1 − 𝑃 𝑁 0,1 < 1,01 ⇔ 𝜋 = 1 − 0,8413 ⇔ 𝜋 = 0,1587 𝑃 𝐵 10, 𝜋 = 5 = 𝑃(𝐵 10; 0,1587 = 5) 10!
⇔ 𝑃 𝐵 10; 0,1587 = 5 =
0,1587! (1 − 0,1587)!"!! 5! 10 − 5!
30240
⇔ 𝑃 𝐵 10; 0,1587 = 5 =
0,1587! (0,8413)! 120
⇔ 𝑃 𝐵 10; 0,1587 = 5 = 252 . 0,1587! . 0,8413! ⇔ 𝑷 𝑩 𝟏𝟎; 𝟎, 𝟏𝟓𝟖𝟕 = 𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟔𝟗𝟏𝟓𝟐𝟒𝟏 1BA PSYCH 2013-‐2014 Statistiek 1 – Oefeningenreeks 4 7 Juno KOEKELKOREN OEFENING 8 𝑋 = 𝑔𝑒𝑠𝑙𝑎𝑐ℎ𝑡 𝑧𝑤𝑒𝑚𝑚𝑒𝑟 Mogelijke waarden van 𝑋: J M !"
!"
!"
!"
Kansverdeling van 𝑋: 𝑃 𝐽 = !"" = !" 𝑃 𝑀 = !"" = !" 1. A. 𝑷 𝟏 𝒎𝒆𝒊𝒔𝒋𝒆 = 𝑃(𝐵 𝜋 = 0,48; 𝑛 = 12 = 1) !"!
!"
= !! !"!! ! 0,48! (1 − 0,48)!"!! = ! . 0,48 . 0,52!! = 12 . 0,48 . 0,52!! = 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟑 B. 𝑷 𝟒 𝒎𝒆𝒊𝒔𝒋𝒆𝒔 = 𝑃(𝐵 𝜋 = 0,48; 𝑛 = 12 = 4) !"!
!".!!.!".!
= !! !"!! ! 0,48! 1 − 0,48 !"!! = !.!.!.! . 0,48! . 0,52! = 495 . 0,48! . 0,52! = 𝟎, 𝟏𝟒𝟎𝟓 2. 𝑷 𝒉𝒐𝒐𝒈𝒔𝒕𝒆𝒏𝒔 𝟑 𝒎𝒆𝒊𝒔𝒋𝒆𝒔 = 𝑃 0 𝑚𝑒𝑖𝑠𝑗𝑒𝑠 + 𝑃 1 𝑚𝑒𝑖𝑠𝑗𝑒 + 𝑃 2 𝑚𝑒𝑖𝑠𝑗𝑒𝑠 + 𝑃(3 𝑚𝑒𝑖𝑠𝑗𝑒𝑠) = 𝑃 𝐵 𝜋 = 0,48; 𝑛 = 12 = 0 + 𝑃 𝐵 𝜋 = 0,48; 𝑛 = 12 = 1 +𝑃 𝐵 𝜋 = 0,48; 𝑛 = 12 = 2 + 𝑃(𝐵 𝜋 = 0,48; 𝑛 = 12 = 3) =
12!
12!
0,48! 0,52!" + 12.0,48. 0,52!! +
0,48! 0,52!" 0! 12 − 0 !
2! 12 − 2 !
+
12!
0,48! 0,52! 3! 12 − 3 !
= 1.1. 0,52!" + 12.0,48. 0,52!! + 66. 0,48! 0,52!" + 220. 0,48! 0,52! = 𝟎, 𝟎𝟗𝟒𝟑 1BA PSYCH 2013-‐2014 Statistiek 1 – Oefeningenreeks 4 8 Juno KOEKELKOREN OEFENING 9 1. We hebben een discrete variabele in dit onderzoek. 2. 𝑃 𝐵 𝜋 = 0,38; 𝑛 = 15 = 𝑘 𝑷 𝒎𝒊𝒏𝒅𝒆𝒓 𝒅𝒂𝒏 𝟑 𝒄𝒉𝒂𝒖𝒇𝒇𝒆𝒖𝒓𝒔 = 𝑃 0 𝑐ℎ𝑎𝑢𝑓𝑓𝑒𝑢𝑟𝑠 + 𝑃 1 𝑐ℎ𝑎𝑢𝑓𝑓𝑒𝑢𝑟 + 𝑃(2 𝑐ℎ𝑎𝑢𝑓𝑓𝑒𝑢𝑟𝑠) = 𝑃 𝐵 0,38 ; 15 = 0 + 𝑃 𝐵 0,38 ; 15 = 1 + 𝑃(𝐵 0,38 ; 15 = 2) =
15!
0,38! 1 − 0,38
0! 15 − 0 !
+
!"!!
15!
0,38! 1 − 0,38
2! 15 − 2 !
15!
0,38! 1 − 0,38
1! 15 − 1 !
+
!"!!
!"!!
= 1.1. 0,62!" + 15.0,38. 0,62!" + 105. 0,38! . 0,62!" = 𝟎, 𝟎𝟒 OEFENING 10 1. Totale trajectduur: 𝑁
17 + 7 + 2 , 4 = 𝑵(𝟐𝟔, 𝟐) 2. 𝑷 𝑿 = 𝟐𝟓, 𝟐𝟓 = 𝟎 " tijd = continue variabele ! kans op exacte tijd = 0 3. 𝑃 𝑿 < 𝟐𝟔 = 𝟎, 𝟓 ! 26 is het gemiddelde = 𝑃(𝑁 26,2 < 26) 26 − 26
= 𝑃 𝑁 0,1 <
2
= 𝑃(𝑁 0,1 < 0 = 0,5 1BA PSYCH 2013-‐2014 Statistiek 1 – Oefeningenreeks 4 9

Download Report