Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4 2628 CD Delft Kansmodellen voor Finance (wi3417tu) 4 november 2014, 18.30-21.30 uur (No books, no notes.) T o e l i c h t i n g . Een antwoord alleen is niet voldoende: er dient een motivatie, toelichting of berekening aanwezig te zijn. P u n t e n v e r d e l i n g : elk onderdeel is 1 punt waard; het cijfer is het aantal behaalde punten plus 1. 1. a. Geef de definitie van arbitrage. b . I n het binomiale boom model nemen we aan dat O < d; één van de andere aannamen is: d < 1 + r. Als d > 1 + ?" is er arbitrage mogelijk; toon dit aan met behulp van een portfolio(berekening); gebruik n = l. 2 . Beschouw het volgende binomiale model voor de aandeelprijs: = 2 0 , Si{H) = 4 0 , Si{T) = 10, S2{HH) = 7 0 , S2iHT) = 2 0 , S2{TH) = 3 0 , S2{TT) - 5. De rente is r = 1/4. a. Bereken de waarde VQ van een Europese put met strike K = 3 3 en expiratie op t i j d s t i p n = 2. b . Bepaal het replicerend portfolio (aandelenbezit en banksaldo) op t i j d s t i p n = 0. 3. Beschouw het binomiale model met kansen p = 1/3 en q = 2 / 3 . Definieer cüi = Xi = -1 als oJi = T . Definieer M Q = JQ = O, 5*0 = 1 , en voor ??, > 1: n n—1 j=l j=0 Elk van de drie zo gedefinieerde processen is aangepast = +1 als (adapted). Hieronder volgen vragen over de eigenschappen van deze processen. Geef telkens een antwoord plus een verklaring. D a t w i l zeggen, indien "ja": toon het aan; indien "nee": laat zien waarom niet. Wanneer je een eigenschap van voorwaardelijke verwachtingen ( T O W K etc) gebruikt, geef dat dan aan en waarom het mag. Het is gegeven dat M Q , M I , . . . een Markov proces is. a. Is Mo, M l , . . . een martingaal? b . Is ^o, 5*1,... een Markov proces? een martingaal? c. Is /o, J l , . . . een Markov proces? een martingaal? Je mag gebruiken dat / „ = ^ M , j — | . 4. Beschouw een binomiale boom model met parameters: r = — 1 / 4 ; negatieve rente dus. u = 3 / 2 , d = 1 / 2 , 5*0 = 8, en a. Bereken de waarde Vo van een derivaat dat op = 3 uitbetaalt als een Europese call met strike K = 6, mits de aandeelprijs niet hoger is geweest dan 1 3 , en anders ifiets uitbetaalt. b . Geef de (algemene) risico-neutrale prijsformule voor VQ van een derivaat VN als verwachting onder de real-world kansmaat P, gebruikmakend van de state price density (. Bepaal bovendien ({HHH) en ({HTH) voor de gegeven boom, als p = g = | .