college 1a

Differentiaalvergelijkingen
Technische Universiteit Delft
Roelof Koekoek
wi2030WbMT
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
1 / 15
Even voorstellen...
Dr. Roelof Koekoek
Gebouw EWI
Kamer HB 04.300
tel. 015-2787218
E-mail: [email protected]
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
2 / 15
Vak:
Differentiaalvergelijkingen
Docent:
Dr. Roelof Koekoek
Rooster:
di. 15:45 - 17:30 uur
vr. 13:45 - 15:30 uur
Boek:
William E. Boyce & Richard C. DiPrima
Elementary Differential Equations and
Boundary Value Problems (10th ed.)
Wiley, 2012, ISBN 978-1-118-32361-8
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
3 / 15
Differentiaalvergelijkingen
Definitie: Een differentiaalvergelijking is een vergelijking in een
onbekende functie en ´e´en of meer van haar afgeleiden
Classificatie:
• Gewone differentiaalvergelijking: functie van ´
e´en variabele en
haar gewone afgeleiden
• Parti¨
ele differentiaalvergelijking: functie van meerdere variabelen
en haar parti¨ele afgeleiden
Tweedeling: lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen
De orde van een differentiaalvergelijking is de orde (hoogte) van de
hoogste afgeleide die voorkomt
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
4 / 15
Differentiaalvergelijkingen
Doel: Het vinden van de oplossing, de verzameling van alle
oplossingen van de differentiaalvergelijking
Dit vak gaat over methoden en technieken om zoveel mogelijk
verschillende typen differentiaalvergelijkingen op te lossen
De methode hangt af van het type van de differentiaalvergelijking
We beginnen met eerste orde differentiaalvergelijkingen
Lineaire differentiaalvergelijkingen zijn veel eenvoudiger dan
niet-lineaire
We beperken ons eerst tot gewone differentiaalvergelijkingen
Later zullen we ook parti¨ele differentiaalvergelijkingen bekijken
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
5 / 15
Eerste orde differentiaalvergelijkingen
Algemene vorm:
y 0 = F (x, y )
of
dy
= F (x, y )
dx
Hierbij staat F (x, y ) voor een of andere uitdrukking met x en y
Hierin is x de onafhankelijke en y de afhankelijke variabele
Immers: y is de onbekende functie van de variabele x
Kwalitatieve benadering door middel van richtingsvelden:
in elk punt (x, y ) kunnen we de richtingsco¨effici¨ent y 0 bepalen
We weten dus hoe de grafiek van y = y (x) ’loopt’ in dat punt (x, y )
Deze richtingen kunnen we aangeven in het (x, y )-vlak (richtingsveld)
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
6 / 15
Richtingsvelden
y0 = x + y
Voorbeeld 1:
en y (0) = 1
y
y
(0, 1)
0
1
FIGURE 3
D irection field foryª=x+y
Roelof Koekoek (TU Delft)
2
0
x
1
2
x
FIGURE 4
The solution curve through (0, 1)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
7 / 15
Richtingsvelden
y 0 = x 2 + y 2 − 1 en
Voorbeeld 2:
y (0) = 0
y
y
_2
_1
2
2
1
1
0
1
2
x
_2
_1
0
-1
-1
_2
_2
2
x
FIGURE 6
FIGURE 5
Roelof Koekoek (TU Delft)
1
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
8 / 15
Separabele differentiaalvergelijkingen
Een eerste-orde differentiaalvergelijking heet separabel als:
g (x)
1
dy
= F (x, y ) = g (x)f (y ) =
met f (y ) =
dx
h(y )
h(y )
Dan volgt:
Z
Z
h(y ) dy = g (x) dx =⇒
h(y ) dy = g (x) dx
Voorbeeld:
x2
dy
=
dx
y
(y 6= 0)
y dy = x 2 dx
1 2
1
y +c1 = x 3 +c2 ,
2
3
Roelof Koekoek (TU Delft)
Z
⇐⇒
c1 , c2 ∈ R
Z
y dy =
⇐⇒
Differentiaalvergelijkingen
x 2 dx
1 2 1 3
y − x = C,
2
3
C ∈ R.
wi2030WbMT
9 / 15
Lineaire differentiaalvergelijkingen
Een eerste-orde differentiaalvergelijking heet lineair als deze
geschreven kan worden in de vorm
dy
+ P(x)y = Q(x)
dx
met P(x) en Q(x) continue functies
Integrerende factor I (x):
I (x)y 0 (x) +P(x)I (x) y (x) = I (x)Q(x)
| {z }
I 0 (x)
I 0 (x) = P(x)I (x) is separabel:
er kan dus altijd zo’n I (x) gevonden worden
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
10 / 15
Lineaire differentiaalvergelijkingen
I (x)y 0 (x) +P(x)I (x) y (x) = I (x)Q(x)
| {z }
I 0 (x)
dan:
d
[I (x)y (x)] = I (x)Q(x)
dx
(productregel)
Z
I (x)y (x) =
Roelof Koekoek (TU Delft)
I (x)Q(x) dx
=⇒
y (x) =
Differentiaalvergelijkingen
1
I (x)
Z
I (x)Q(x) dx
wi2030WbMT
11 / 15
Lineaire differentiaalvergelijkingen
Voorbeeld 1:
x
dy
+ y = 2x,
dx
x >0
Schrijf de differentiaalvergelijking eerst in de standaardvorm:
1
y 0 (x) + y (x) = 2, x > 0
x
en vermenigvuldig met een integrerende factor I (x):
1
I (x)y 0 (x) + I (x)y (x) = 2I (x), x > 0
x
1
Nu volgt: I 0 (x) = I (x) =⇒ I (x) = e ln x = x, x > 0
x
Z
d
[x · y (x)] = 2x =⇒ x · y (x) = 2x dx = x 2 + C
Dus:
dx
x2 + C
Ten slotte volgt: y (x) =
, x >0
x
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
12 / 15
Lineaire differentiaalvergelijkingen
Voorbeeld 2:
y 0 − 2xy = 3x
I (x)y 0 (x) − 2xI (x)y (x) = 3xI (x)
I 0 (x) = −2xI (x)
=⇒
I (x) = e −x
2
Z
i
d h −x 2
3
2
2
2
2
e y (x) = 3xe −x =⇒ e −x y (x) = 3xe −x dx = − e −x +C
dx
2
Z
3
2
2
2
Dus: e −x y (x) = 3xe −x dx = − e −x + C
2
3
2
Ten slotte volgt: y (x) = − + Ce x
2
3
Merk op dat y (x) = − (C = 0) kennelijk een oplossing is en dat
2
klopt!
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
13 / 15
Lineaire differentiaalvergelijkingen
Andere methode:
variatie van de constante
dy
+ P(x)y = Q(x)
dx
Los eerst de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking op:
(1)
dy
+ P(x)y = 0
dx
Deze differentiaalvergelijking is separabel en dus altijd oplosbaar
De oplossing bevat een willekeurige integratieconstante
Vervang de constante door een functie u(x) en substitueer dit in (1)
Dan valt u(x) weg en blijft een vergelijking met alleen u 0 (x) over
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
14 / 15
Variatie van de constante
y 0 − 2xy = 3x
Voorbeeld:
Los eerst op:
2
y 0 − 2xy = 0 =⇒ y (x) = ce x met c ∈ R
2
Neem nu y (x) = u(x)e x en substitueer dit in de inhomogene d.v.:
2
2
2
2
u 0 (x)e x + 2xu(x)e x − 2xu(x)e x = 3x =⇒ u 0 (x)e x = 3x
0
u (x) = 3xe
−x 2
Z
=⇒ u(x) =
3
2
2
3xe −x dx = − e −x + C
2
3
2
2
Dan volgt: y (x) = u(x)e x = − + Ce x
2
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
15 / 15

Download Report