college 1b

Differentiaalvergelijkingen
Technische Universiteit Delft
Roelof Koekoek
wi2030WbMT
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
1 / 14
Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen
y 00 (t) + p(t)y 0 (t) + q(t)y (t) = 0
Beginvoorwaarden:
y (t0 ) = y0
y (t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t) :
(homogeen)
en y 0 (t0 ) = y1
(
c1 y1 (t0 ) + c2 y2 (t0 ) = y0
c1 y10 (t0 ) + c2 y20 (t0 ) = y1
Dit stelsel heeft precies ´e´en oplossing als de co¨effici¨entenmatrix
"
#
y1 (t0 ) y2 (t0 )
y10 (t0 ) y20 (t0 )
inverteerbaar is en dus als
y1 (t0 ) y2 (t0 )
W (y1 , y2 )(t0 ) := y 0 (t0 ) y 0 (t0 )
1
2
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
6= 0
wi2030WbMT
2 / 14
Determinant van Wronksi (Wronskiaan)
Definitie
De determinant
y1 (t) y2 (t)
W (y1 , y2 )(t) := y 0 (t) y 0 (t)
1
2
= y1 (t)y20 (t) − y2 (t)y10 (t)
heet de determinant van Wronski (of de Wronskiaan) van de
oplossingen y1 (t) en y2 (t)
Nu geldt:
Stelling
Twee functies f en g zijn lineair onafhankelijk ⇐⇒ W (f , g )(t) 6= 0
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
3 / 14
De stelling van Abel
Stelling
Als y1 (t) en y2 (t) oplossingen zijn van de homogene d.v.
y 00 (t) + p(t)y 0 (t) + q(t)y (t) = 0
met p(t) en q(t) continue functies op een interval I , dan geldt:
W (y1 , y2 )(t) = c · e −
R
p(t) dt
voor zekere c ∈ R
voor alle t ∈ I .
Gevolg:
c 6= 0
Roelof Koekoek (TU Delft)
⇐⇒
y1 en y2 zijn lineair onafhankelijk
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
4 / 14
Euler differentiaalvergelijking
Een lineaire differentiaalvergelijking van de vorm
t 2 y 00 (t) + αty 0 (t) + βy (t) = 0,
α, β ∈ R,
t>0
heet een Euler (differentiaal)vergelijking.
Met behulp van de substitutie t = e x oftewel x = ln t vinden we:
dy
dy dx
1 dy
=
·
= ·
dt
dx dt
t dx
=⇒
t
dy
dy
=
dt
dx
en
d 2y
d
=
2
dt
dt
=⇒
1 dy
1 dy
1 d 2y
1 d 2 y dx
dy
·
− 2·
= 2
= · 2 ·
−
t dx
t dx
dt
t dx
t
dx 2
dx
2
2
d y
dy
d y
t2 2 =
−
2
dt
dx
dx
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
5 / 14
Door de substitutie t = e x oftewel x = ln t gaat de d.v.
t 2 y 00 (t) + αty 0 (t) + βy (t) = 0,
α, β ∈ R,
t>0
dus over in de differentiaalvergelijking
Y 00 (x) + (α − 1)Y 0 (x) + βY (x) = 0,
Y (x) = y (t)
met karakteristieke vergelijking (stel Y (x) = e rx oftewel y (t) = t r )
r 2 + (α − 1)r + β = 0
Drie mogelijkheden:
1
r1 , r2 ∈ R, r1 6= r2 : y (t) = c1 t r1 + c2 t r2
2
r1 , r2 ∈ R, r1 = r2 = r : y (t) = c1 t r + c2 t r ln t
3
r1,2 = α ± iβ (β 6= 0): y (t) = c1 t α cos(β ln t) + c2 t α sin(β ln t)
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
6 / 14
Methode van ordeverlaging
Voorbeeld: t 2 y 00 (y ) − t(t + 2)y 0 (t) + (t + 2)y (t) = 0 met t > 0
Merk op dat y (t) = t een oplossing is
Stel nu y (t) = tu(t), dan volgt
y 0 (t) = tu 0 (t) + u(t)
en
y 00 (t) = tu 00 (t) + 2u 0 (t)
Invullen geeft dan
t 3 u 00 (t)+2t 2 u 0 (t)−t 3 u 0 (t)−t 2 u(t)−2t 2 u 0 (t)−2tu(t)+t 2 u(t)+2tu(t) = 0
oftewel
t 3 u 00 (t) − t 3 u 0 (t) = 0
=⇒
u 00 (t) − u 0 (t) = 0
Stel nu v (t) = u 0 (t), dan volgt (ordeverlaging)
v 0 (t) − v (t) = 0
⇐⇒
v 0 (t) = v (t)
=⇒
v (t) = c1 e t
Dus: u 0 (t) = c1 e t =⇒ u(t) = c1 e t + c2 =⇒ y (t) = c1 te t + c2 t
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
7 / 14
Inhomogene differentiaalvergelijkingen
y 00 (t) + p(t)y 0 (t) + q(t)y (t) = g (t) met
g (t) 6= 0
(1)
De algemene oplossing heeft de vorm
y (t) = yp (t) + yh (t),
waarbij yp (t) een ’particuliere’ oplossing is van (1) en
yh (t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t)
de algemene oplossing van de bijbehorende homogene diff. vgl.
Dus: y (t) = yp (t) + c1 y1 (t) + c2 y2 (t)
Twee methoden:
1
Methode van onbepaalde co¨effici¨enten
2
Methode van variatie van de constanten
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
8 / 14
Methode van onbepaalde co¨
effici¨
enten
ay 00 (t) + by 0 (t) + cy (t) = g (t)
Via de karakteristieke vergelijking
ar 2 + br + c = 0
bepalen we eerst de algemene oplossing yh (t) van de homogene d.v.
ay 00 (t) + by 0 (t) + cy (t) = 0
Op basis van het rechterlid g (t) en de ’homogene’ oplossing yh (t)
kunnen we nu vaak de vorm van een ’particuliere’ oplossing raden
Die vorm bevat dan ´e´en of meerdere co¨effici¨enten die nog bepaald
moeten worden (door in te vullen)
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
9 / 14
Methode van variatie van de constanten
ay 00 (t) + by 0 (t) + cy (t) = g (t)
Via de karakteristieke vergelijking
ar 2 + br + c = 0
bepalen we eerst de algemene oplossing
yh (t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t)
van de homogene d.v.
ay 00 (t) + by 0 (t) + cy (t) = 0
Stel nu y (t) = u1 (t)y1 (t) + u2 (t)y2 (t), dan volgt:
y 0 (t) = u10 (t)y1 (t) + u20 (t)y2 (t) +u1 (t)y10 (t) + u2 (t)y20 (t)
{z
}
|
stel dit gelijk aan 0
en vul dit in, dan volgt: u10 (t)y10 (t) + u20 (t)y20 (t) = g (t)
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
10 / 14
Dan volgt dus:
 0
 u1 (t)y1 (t) + u20 (t)y2 (t) = 0

u10 (t)y10 (t) + u20 (t)y20 (t) = g (t)
Dit kunnen we ook schrijven als:

 0
 

y1 (t) y2 (t)
u1 (t)
0


=

0
0
0
y1 (t) y2 (t)
u2 (t)
g (t)
Merk op dat de determinant van de co¨effici¨entenmatrix
y1 (t) y2 (t) = W (y1 , y2 )(t)
y 0 (t) y 0 (t) 1
2
de Wronskiaan is van de opl. y1 (t) en y2 (t) van de homogene d.v.
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
11 / 14
Als de oplossingen y1 (t) en y2 (t) lineair onafhankelijk zijn,
dan is die determinant W (y1 , y2 )(t) ongelijk aan nul
en bestaat er dus een unieke oplossing voor u10 (t) en u20 (t)
Daaruit volgen u1 (t) en u2 (t) door te integeren
(elk met een willekeurige integratieconstante)
y (t) = u1 (t)y1 (t) + u2 (t)y2 (t) is dan de algemene oplossing
van de inhomogene differentiaalvergelijking
inclusief c1 y1 (t) + c2 y2 (t) = yh (t), de alg. opl. van de homogene d.v.
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
12 / 14
Hogere orde differentiaalvergelijkingen
Een lineaire ne orde differentiaalvergelijking:
y (n) (t) + p1 (t)y (n−1) (t) + · · · + pn−1 (t)y 0 (t) + pn (t)y (t) = g (t)
Deze heet homogeen als g (t) ≡ 0 en anders inhomogeen
Stelling
Als p1 (t), p2 (t), . . . , pn (t) en g (t) continu zijn op een open interval I
en t0 ∈ I , dan bestaat er precies ´e´en functie y (t) die voldoet aan de
differentiaalvergelijking en de beginvoorwaarden
y (t0 ) = y0 ,
Roelof Koekoek (TU Delft)
y 0 (t0 ) = y1 ,
...,
Differentiaalvergelijkingen
y (n−1) (t0 ) = yn−1
wi2030WbMT
13 / 14
Determinant van Wronski en stelling van Abel
Als y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) oplossingen zijn van de homogene d.v.
y (n) (t) + p1 (t)y (n−1) (t) + · · · + pn−1 (t)y 0 (t) + pn (t)y (t) = 0,
dan is
y1 (t)
y2 (t)
...
y10 (t)
y20 (t)
...
W (y1 , y2 , . . . , yn )(t) = ..
..
..
.
.
.
y (n−1) (t) y (n−1) (t) . . .
1
2
0
yn (t) ..
.
(n−1)
yn
(t) yn (t)
Stelling
W (y1 , y2 , . . . , yn )(t) = c · e −
Roelof Koekoek (TU Delft)
R
p1 (t) dt
Differentiaalvergelijkingen
voor zekere c ∈ R
wi2030WbMT
14 / 14

Download Report