De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-1
De getallenverzamelingen
Inhoud
1.1 Verzamelingen
Zelf doorlezen
1.2.1 Natuurlijke getallen
1. Verzamelingen
2. Natuurlijke getallen en principe van volledige inductie
• De natuurlijke getallen, N
• Bewijs door volledige inductie
• worden gebruikt om aantallen te tellen
• Notatie:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
N0 = N \ {0}
• N is oneindig groot
3. Gehele getallen en rationale getallen
¨ getallen, R
4. De verzameling van reele
• Het volledig en totaal geordend veld (R, +, ×, ≤)
• Het binomium van Newton
5. Absolute waarde en intervallen
6. Complexe getallen
• Ordening op N: voor twee getallen x, y ∈ N geldt
x<y
x>y
x=y
(’x is kleiner dan y ’) of
`
(’x is groter dan y ’) of
`
(’x is gelijk aan y ’)
• Elke niet-lege deelverzameling van N heeft een kleinste element.
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-3
1.2.2 Bewijs door volledige inductie
STELLING 1.2 Een uitspraak P (n) die afhangt van een
natuurlijk getal
n, geldt voor alle natuurlijke getallen
indien voldaan is aan:
(∗)
(∗∗)
P (k) juist is voor zeker k ∈ N, dan is
P (k + 1) eveneens juist
Indien
(∗) P (0)
(∗∗) ∀k ∈ N : P (k) ⇒ P (k + 1)
• Stel dat er een natuurlijke getal n is waarvoor P (n)
niet geldt.
• Dan is de verzameling A = {n ∈ N | P (n) is vals }
niet leeg.
De uitspraak P (0) is juist
• Schematisch:
Bewijs uit het ongerijmde:
=⇒ ∀k ∈ N : P (k)
• (∗) is de basisstap en (∗∗) is de inductiestap
• In de inductiestap wordt aangenomend dat de uitspraak P (k) waar is.
Deze aanname heet de inductiehypothese
• De verzameling A heeft een kleinste element, zeg
n0 ∈ A
• Omdat P (0) juist is (basisstap!), is n0 6= 0
• Dan is n0 − 1 een natuurlijk getal en n0 − 1 6∈ A,
zodat P (n0 − 1) juist is
• Uit de inductiestap volgt dan dat P (n0) juist is.
⇒ Tegenspraak, want n0 is een element van A
De getallenverzamelingen
Conclusie:
De getallenverzamelingen
1-5
We komen tot een tegenspraak als we aannemen dat
het principe van volledige inductie niet waar is. Bijgevolg
Een uitspraak P (n) over natuurlijke getallen geldt voor
is het principe wel waar.
elke n
Variaties op volledige inductie
≥ N als:
• P (N ) is juist (beginstap)
• Als P (k) juist is voor zekere k ≥ N , dan is ook
P (k + 1) juist (inductiestap)
Een uitspraak P (n) over natuurlijke getallen geldt voor
elke n
∈ N als:
• P (0) is juist (beginstap)
• Als P (n) juist is voor elk natuurlijk getal n ≤ k , dan
is P (k + 1) ook juist (inductiestap)
De getallenverzamelingen
Voorbeeld
Voor elke n
∈ N0 geldt
n(n + 1)
1 + 2 + ··· + n =
2
Bewijs:
We zullen dit bewijzen met volledige inductie.
Zoals elk bewijs met volledige inductie bestaat dit bewijs
uit drie delen
• de basisstap
• de inductiestap
• de conclusie
De getallenverzamelingen
1-7
Te bewijzen:
1 + 2 + ··· + n =
de basisstap
• Voor n = 1 is de uitspraak
1·2
1=
2
en dit is inderdaad juist
n(n + 1)
2
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-9
de inductiestap
de conclusie
• Neem aan dat voor zekere k ≥ 1 de uitspraak juist
is, dat wil zeggen dat
k(k + 1)
1 + 2 + ··· + k =
2
• Tel hierbij aan beide kanten k + 1 op en werk uit
k(k + 1)
1 + 2 + · · · + k + (k + 1) =
+ (k + 1)
2 k
= (k + 1)
+1
2
k+2
= (k + 1)
2
(k + 1)(k + 2)
=
2
• Bijgevolg is de uitspraak juist voor k + 1
• De beginstap en de inductiestap zijn allebei bewezen.
• Vanwege het principe van volledige inductie geldt de
uitspraak dus voor elke n ≥ 1.
• Bewezen is dat
1 + 2 + ··· + n =
geldt voor elke n
∈ N0 .
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-11
Somnotatie
Productnotatie
• Als a1, a2, . . . , an getallen zijn, dan is
n
X
ak = a 1 + a 2 + · · · + a n
• Als a1, a2, . . . , an getallen zijn, dan is
n
Y
ak = a 1 · a 2 · · · · · a n
k=1
k=1
het product van de getallen a1 , a2, tot en met an
• k is de sommatie-index
• k is gewoon een symbool, kan vervangen worden
door een ander symbool dat nog niet in gebruik is
n
n
X
X
a1 + a 2 + · · · + a n =
aj =
• maar niet
a1 + a 2 + · · · + a n =
aν
ν=1
j=1
n
X
n=1
an
n(n + 1)
2
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-13
n-faculteit:
n! n-faculteit (Engels: n-factorial) is gedefinieerd als het
product van de natuurlijke getallen van 1 tot en met n
n
Y
n! =
k = 1 · 2 · ··· · n
k=1
0! = 1
• Z is een uitbreiding van N
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
• Binnen Z kunnen we optellen, aftrekken en vermenigvuldigen.
(afspraak)
• De faculteit van n wordt snel heel groot
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
1.3.1 De gehele getallen, Z
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
Het resultaat is steeds weer een geheel getal.
9! = 362880
10! = 3628800
• n! is gelijk aan het aantal manieren om n verschillende objecten op een rij te zetten.
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-15
1.3.2 De rationale getallen, Q
• Q is een uitbreiding
n m van Z:
o
Q=
| m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0
n
Dit zijn alle breuken of rationale getallen.
p
• De twee breuken m
n en q zijn aan elkaar gelijk als
als mq = np
• Optellen van breuken
m p mq + np
+ =
n q
nq
• Vermenigvuldigen van breuken
m p mp
× =
n q
nq
• Delen van breuken (niet door nul)
m p m q mq
: = × =
n q
n p np
Q is een totaal geordend veld • In Q kunnen we goed rekenen, het is een veld
• Een vergelijking zoals
ax + b = c
met a, b, c ∈ Q, a 6= 0,
heeft in Q een oplossing
• De ordening op N wordt uitgebreid tot Z en Q
• Net als in N is de ordening totaal, dat wil zeggen,
voor elk tweetal rationale getallen x en y geldt
x<y
o`f
x>y
o`f
x=y
⇒ (Q, +, ×, ≤) is een totaal geordend veld
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-17
Q is niet volledig • Er zitten ’gaten’ in Q.
• Er is geen rationaal getal a met a2 = 2.
• Daardoor is Q niet geschikt om analyse op te doen
(limieten, afgeleiden, . . . ).
• We bekomen R, de reele
¨ getallen, door de gaten in
Q op te vullen.
PAUZE
• R is wel geschikt om analyse op te doen.
When you have eliminated the impossible, what ever
remains, however improbable must be the truth.
[Sir Arthur Conan Doyle (1859-1930)]
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-18
1.4 De reele
¨ getallen, R
• R wordt op axiomatische wijze ingevoerd
• drie definierende
¨
voorwaarden:
1. Er is een optelling + en een vermenigvuldiging ×
zodat (R, +, ×) een veld is.
2. Er is een ordening ≤ op R zodat
een totaal geordend veld is.
3. R is volledig
(R, +, ×, ≤)
• (Q, +, ×, ≤) is ook een totaal geordend veld, maar
het is niet volledig.
• De volledigheid is het grote verschil tussen R en Q.
Eerste definierende
eigenschap van
¨
de reele
¨ getallen:
(R, +, ×) is een veld
⇒ Er is een optelling + en een vermenigvuldiging
× op R.
⇒ De gebruikelijke rekenregels zijn geldig in (R, +, ×),
zie paragraaf 1.4.1
• associativiteit van + en ×
• commutativiteit van + en ×
• neutraal element: 0 voor optellen, 1 voor vermenigvuldigen
• tegengesteld element
• invers element 1/x bestaat als x ∈ R0
• distributieve eigenschappen
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-20
Tweede definierende
eigenschap van
¨
de reele
¨ getallen:
(R, +, ×, ≤) is een totaal geordend veld
Bovengrens en ondergrens
Zij W een deelverzameling van R.
• b ∈ R is een bovengrens van W indien
∀x ∈ W : x ≤ b.
• Er is een orderelatie ≤ op R.
Als er een bovengrens bestaat dan is W naar boven
• x is positief als x > 0 (soms ook: strikt positief).
• x is negatief als x < 0 (soms ook: strikt negatief).
• Relatie met algebra¨ısche bewerkingen:
⇒ Als x ≤ y en a ∈ R, dan x + a ≤ y + a.
⇒ Als x ≤ y en a > 0, dan ax ≤ ay .
⇒ Als x ≤ y en a < 0, dan ax ≥ ay .
begrensd.
• a ∈ R is een ondergrens van W indien
∀x ∈ W : a ≤ x.
Als er een ondergrens bestaat dan is W naar onder
begrensd.
• Verder gelden gebruikelijke eigenschappen (zie Eigen-
• Als W zowel naar onder begrensd als naar boven
begrensd is, dan noemen we W kortweg begrensd.
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-22
schap 1.4)
Supremum en infimum
• s ∈ R is de kleinste bovengrens of supremum van
W indien:
1. s is een bovengrens van W,
≤ b.
• t ∈ R is de grootste ondergrens of infimum van W
indien:
1. t is een ondergrens van W,
2. voor elke ondergrens a van W geldt dat t
• Notatie s = sup W en t = inf W.
Maximum en minimum
Zij W een deelverzameling van R.
2. voor elke bovengrens b van W geldt dat s
≥ a.
• Het maximum van W is het grootste element van W,
notatie max W.
• Het minimum van W is het kleinste element van W,
notatie min W.
• Het maximum en het minimum van W (als ze bestaan)
behoren altijd tot W.
• Het supremum en het infimum van W behoren niet
steeds tot W.
• Als max W bestaat, dan is sup W = max W.
• Als min W bestaat, dan is inf W = min W.
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-24
Supremum en infimum
s = sup W als en slechts als
(
∀x ∈ W : x ≤ s,
∀ε > 0 : ∃x ∈ W : s − ε < x.
• s is een bovengrens, maar s − ε is geen bovengrens
Volledigheid
De ordening is volledig indien
• elke niet-lege naar boven begrensde deelverzameling heeft een supremum,
• elke niet-lege naar onder begrensde deelverzameling heeft en infimum.
t = inf W als en slechts als
(
∀x ∈ W : x ≥ t,
Derde definierende
eigenschap van
¨
de reele
¨ getallen:
∀ε > 0 : ∃x ∈ W : t + ε > x.
• t is een ondergrens, maar t + ε is geen ondergrens
(R, +, ×, ≤) is volledig
• Q is niet volledig
• De volledigheid is het grote verschil tussen R en Q.
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-26
Twee stellingen
STELLING 1.6
• Eigenschap van Archimedes
STELLING 1.7
• Dichtheid van Q in R
⇒ Zelf doornemen
Binomiaalcoeffici
ent
¨
¨
Voor n
∈ N en k ∈ {0, 1, . . . , n} is
n
n!
=
.
k!(n − k)!
k
n is gelijk aan het aantal manieren om uit n objecten
k
er k te kiezen.
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-28
1.4.2 Het binomium van Newton
Voor elke n
∈ N0 en voor elke x, y ∈ R geldt
n X
n j n−j
n
(x + y) =
x y
j
1.5 Absolute waarde en intervallen
De absolute waarde of modulus
getal
j=0
Bewijs:
|x| van een reeel
¨
x wordt gedefinieerd door
x indien x ≥ 0,
indien x = 0,
|x| = 0
−x indien x < 0.
• Uiteraard is |x| ≥ 0 en |x| = 0 als en slechts als
x = 0.
met volledige inductie...
• |x| ≤ r als en slechts als −r ≤ x ≤ r
• |x| < r als en slechts als −r < x < r
• |x| = | − x|,
• |xy| = |x||y|,
|x|
• xy = |y| .
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-30
Driehoeksongelijkheid
1.5.2 Open en gesloten intervallen
• Niet juist is |x + y| = |x| + |y|
• Wel geldt:
Voor x, y
gesloten interval [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}
a
∈R
half-open interval [a, b[ = {x | a ≤ x < b}
|x + y| ≤ |x| + |y|
Voor x, y, z
Afstand
a
∈R
|x − y| ≤ |x − z| + |z − y|
¨ getallen
De afstand tussen twee reele
wordt voorgesteld door
x en y
d(x, y) en gedefinieerd door
d(x, y) = |x − y|.
b
b
half-open interval ]a, b] = {x | a < x ≤ b}
a
b
open interval ]a, b[ = {x | a < x < b}
a
De lengte van
b−a
b
]a, b[, [a, b[, ]a, b] en [a, b] is
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-32
Oneindig en min-oneindig
• we voegen aan R twee symbolen +∞ en −∞
toe
Algebra¨ısche bewerkingen
• Sommige (niet alle) bewerkingen definieren
¨
we ook
voor ±∞
• x + (±∞) = (±∞) + x = ±∞,
• x(±∞) = (±∞)x = ±∞, als x > 0
• x(±∞) = (±∞)x = ∓∞, als x < 0
• (+∞) + (+∞) = +∞,
• (−∞) + (−∞) = −∞,
• (+∞)(+∞) = (−∞)(−∞) = +∞,
• (+∞)(−∞) = (−∞)(+∞) = −∞.
dit zijn ge´ en
´ reele
¨ getallen
• Uitgebreide reele
¨ getallen: R = R ∪ {−∞, +∞}
• Afspraak: met ∞ (zonder ±-teken) bedoelen we
+∞
• Voor elke x ∈ R geldt
x < +∞ en x > −∞.
De getallenverzamelingen
• de bewerkingen (+∞) + (−∞), (−∞) + (+∞),
0×(±∞) en (±∞)×0 worden niet gedefinieerd
De getallenverzamelingen
1-34
Oneindige intervallen
1.5.3 Omgevingen
• ]a, +∞[ = {x ∈ R | x > a} oneindig open
interval
Neem δ
• [a, +∞[ = {x ∈ R | x ≥ a} oneindig gesloten
interval
de δ -omgeving van a.
• ] − ∞, b[ = {x ∈ R | x < b} oneindig open
interval
• ] − ∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b} oneindig gesloten
interval
• ] − ∞, +∞[ = R
> 0 en a ∈ R. Dan is
B(a, δ) = {x ∈ R | |x − a| < δ}
• B(a, δ) is het open interval ]a − δ, a + δ[ met
middelpunt a en straal δ ;
⇒ het bevat alle punten waarvan de afstand
tot a kleiner is dan δ .
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-36
Inwendig punt en randpunt
Zij V
⊂ R.
• x is een inwendig punt van V indien er een δ omgeving van x bestaat die volledig bevat is in V,
• x is een randpunt van V indien elke δ -omgeving van
x zowel punten van V bevat als punten buiten buiten
V bevat.
Open en gesloten
• V is een gesloten verzameling als elk randpunt van
V tot V behoort.
1.6 Complexe getallen
• R heeft beperkingen. Een vergelijking als
x2 + 1 = 0
heeft geen oplossingen in R.
• De complexe getallen vormen een uitbreiding van
R waarin deze vergelijking wel een oplossing heeft,
namelijk het getal i (ook −i is een oplossing).
Definitie
• Een complex getal heeft de vorm
z = a + ib
• V is een open verzameling als elk randpunt van V
niet tot V behoort.
• Een open interval is een open verzameling.
met a, b
∈ R.
¨ deel van z
• a = <z is het reele
• b = =z is het imaginaire deel van z
• Een gesloten interval is een gesloten verzameling.
• C is de verzameling van alle complexe getallen.
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-38
Bewerkingen
• Optelling en vermenigvuldiging
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(a + ib) · (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
• (C, +, ·) is een veld (maar niet geordend!)
• Deling gaat handig met de complex toegevoegde
z = a + ib = a − ib.
• Merk op zz = a2 + b2 is reeel.
¨
Als w = c + id en z = a + ib, dan
w wz
wz
=
= 2
z
zz
a + b2
ac + bd + i(ad − bc)
=
a2 + b 2
ac + bd
ad − bc
= 2
+
i
.
a + b2
a2 + b 2
Modulus en argument: poolcoordinaten
¨
• Als verzameling komt C overeen met het vlak R2.
• We spreken van het ‘complexe vlak’
√
√
• De modulus is |z| = zz = a2 + b2.
• Het argument is de hoek met de positieve reele
¨ as.
imaginaire as
6
•
b
z = a + bi
r = |z|
θ = arg z
-
a
re¨ele as
De getallenverzamelingen
De getallenverzamelingen
1-40
Rekenen met poolcoordinaten
¨
• Als z = a + ib poolcoordinaten
¨
r = |z| en θ =
arg z heeft, dan is
a = <z = r cosθ,
p
r = a2 + b 2 ,
b = =z = r sinθ
tan θ = b/a
• Delen z1 = |z1|
z |z2|
2
z1
= arg z1 − arg z2
arg
z2
• Omdat i2 = (−i)2 = −1 heeft de veelterm
z2 + 1
twee nulpunten in C, namelijk z
• Elke tweedegraadsveelterm
az 2 + bz + c
• Vermenigvuldigen
|z1z2| = |z1| |z2|
arg(z1z2) = arg z1 + arg z2
Hoofdstelling van de algebra
met a
heeft twee oplossingen in C
(modulo 2π).
= ±i.
6= 0
mogelijk samenvallend
• Voor elke nde graads veelterm
p(z) = anz n+an−1z n−1+· · ·+a1z+a0,
zijn er z1, z2 , . . . , zn
(modulo 2π).
∈ C met
p(z) = an(z − z1)(z − z2) · · · (z − zn).
⇒ z1, z2, . . . , zn zijn de nulpunten van p
an 6= 0
© Copyright 2024 ExpyDoc
