Basiswiskunde_Colleg..

Basiswiskunde_College_1.nb |
Vak Basiswiskunde 2DL00
Cursus 2013-2014
Basis van wiskundige kennis en vaardigheden
Kennismaking vooraf met wiskunde op TU/e
Ook vak in allerlei schakelprogramma’s
Zie ook http://owinfo.tue.nl/
1
Basiswiskunde_College_1.nb |
Collegedocent
F.J.L. Martens
MF5.071b
Wsk & Inf
(040)-2474280
[email protected]
(Vermeld in correspondentie de vakcode 2DL00)
2
Basiswiskunde_College_1.nb |
Vakinhoud
é Algebraïsche rekenvaardigheden
é Functies
Goniometrische functies, exponentiële functie, logaritme
Inverse functies
Cyclometrische functies
é Differentiëren
Taylorpolynomen
é Integreren
Eigenschappen van integralen
Berekenen van integralen
3
Basiswiskunde_College_1.nb |
Leerdoelen
é Rekenvaardigheden op hoger plan
Herkennen van patronen
é Samenhang en structuur
Elders toepassen
é Meer gevoel voor concepten
é Verlangen naar meer
é Zie de informatie over het vak
Besteed er bij ieder onderwerp aandacht aan
4
Basiswiskunde_College_1.nb |
Materiaal
Calculus, Adams, Essex, 8e druk, (7e of 6e kan ook)
Dictaat Rekenvaardigheden
http://oncourse.tue.nl/
http://www.win.tue.nl/~fransm/onderwijs/2DL00/
5
Basiswiskunde_College_1.nb |
Toetsing
Tentamens van 18:30 - 21:30
woensdag 25 juni 2014
woensdag 13 augustus 2014
Locatie: Auditorium 8, 9 en 10
Bonusregeling
Identiteitsbewijs
Wijzigingen voorbehouden
6
Basiswiskunde_College_1.nb |
College 1
P.1 De reële getallen en de reële rechte
P.2 Cartesische coördinaten in het vlak
P.3 Grafieken van kwadratische vergelijkingen
P.4 Functies en hun grafieken
7
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.1 Reële getallen
Getallen
van Dale: weergeven van aantal/hoeveelheid
wiskundig: objecten om mee te rekenen
Soorten
Natuurlijke getallen (verzameling N)
1, 2, 3,…
Gehele getallen (verzameling Z)
…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Rationale getallen (verzameling Q)
2
, 4 = 8, - 1…
3
2
5
Reële getallen (verzameling R)
2
3
= 0.6666 …,
2 = 1.4142 …, e = 2.7182 …, p = 3.1415 …
2 is geen rationaal getal
8
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.1 Getallenrechte
-2
-1
0
11
32
1
2
3
e
2
p
a
Getal a uit R õ punt a op rechte
a < b õ a ligt links van b
Voor reële getallen a en b geldt a < b óf a = b óf a > b
Intervallen (zie boek)
@a, bD, alle x met a § x § b ; @a, bL, alle x met a § x < b ;
Ha, bD, alle x met a < x § b ; H-¶, bL, alle x met x < b ;
a
b
a
a
b
@a, bD
Ha, bL
@a,¶ L
9
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.1 Voorbeelden
(1) Voor welke x is x 2 - 5 x < -6?
Dan x 2 - 5 x + 6 < 0 ofwel Hx - 2L Hx - 3L < 0;
Tekenverloop Hx - 2L Hx - 3L :
+
-
+
2
3
Antwoord 2 < x < 3 ofwel x œ H2, 3L
(2) Voor welke x is
1
x
1
x
¥ 3?
1-3 x
¥0
x
van 1-3 x :
x
- 3 ¥ 0 ofwel
Tekenverloop
-
+
1
0
Antwoord: 0 < x §
1
3
ofwel x œ J0, 1 F
3
10
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.1 Absolute waarde
(1) Voor welke x is x - 1 § x?
Op voorhand: voor alle oplossingen x geldt dat x ¥ 0 omdat de absolute waarde
niet negatief is.
Laat x ¥ 1 : Dan x - 1 = x - 1 .
De oorspronkelijke ongelijkheid wordt x - 1 § x ofwel -1 < 0 .
In dit geval geldt de ongelijkheid altijd.
Laat x < 1 : dan x - 1 = 1 - x .
De oorspronkelijke ongelijkheid wordt 1 - x § x ofwel
11
Basiswiskunde_College_1.nb |
Antwoord: alle x œ R met x ¥ 1 , anders gezegd x œ B 1 , ¶N.
2
2
Opm 1: Kan ook met behulp van grafieken van x - 1 en x.
12
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.2 Cartesische coördinaten in vlak
Y
b
PHa,bL
a
Punt P in vlak õ Coördinaten Ha, bL
X
Afstand d van PHx1 , y1 L tot QHx2 , y2 L: d =
Bestudeer zelf sectie P.2
Hx1 - x2 L2 + Hy1 - y2 L2
13
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.2 Vergelijking lijn
Een lijn gaat door de punten PH1, 1L en QH3, 2L.
Geef een vergelijking van de lijn.
Hx,yL
Y
2
1
1
Meth 1:
y-1
x-1
3
=
1
2
X
ofwel de vergelijking is y =
1
2
Hx - 1L + 1
Meth 2: Vergelijking is van vorm y - 1 = mHx - 1L en Q moet voldoen.
Dus 1 = m 2 ofwel m = 1 . Een vergelijking is y - 1 = 1 Hx - 1L.
Opm Verticale lijn door H1, 1L heeft vgl x = 1.
2
2
14
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.3 Plaatjes van kwadratische vgl
Cirkel met middelpunt H2, 1L en straal 1 heeft vgl Hx - 2L2 + Hy - 1L2 = 1
Y
Hx,yL
2
1
1
2
3
X
Dus x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 2 y + 1 = 1 ofwel x 2 - 4 x + y 2 - 2 y = -4
15
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.3 Voorbeeld
Schets de verzameling van alle punten Hx, yL in het vlak
met x 2 + 6 x + y 2 - 4 y § 12.
Nu is 6 = 2 μ 3 en -4 = 2 μ H-2L.
Dus x 2 + 6 x + 9 + y 2 - 4 y + H-2L2 § 12 + 9 + 4
Gevolg: Hx + 3L2 + Hy - 2L2 § 25.
De afstand van Hx, yL tot H-3, 2L is kleiner of gelijk 5.
Y
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
2
-2
X
16
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.3 Parabool
Y
Q
P
X
[
Parabool heeft brandpunt (focus) P en richtlijn (directrix) [.
Punt Q op parabool heeft gelijke afstand tot punt P als tot lijn [.
Standaardvergelijking van parabool 4 p y = x 2 of y =
brandpunt H0, pL en richtlijn y = -p.
Het punt H0, 0L heet de top (vertex)
x2
4p
met
17
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.3 Voorbeeld
Schets de verzameling van alle Hx, yL met x 2 - 4 x ¥ y.
Kijk naar de grens x 2 - 4 x = y.
Dan x 2 - 4 x + 4 - 4 = y ofwel Hx - 2L2 - 4 = y.
Parabool splitst vlak in twee stukken.
18
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.3 Rest
Zelf doen
é Verschuiven van figuren
é Ellipsen met vgl
x2
a2
+
é Hyperbolen met vgl
y2
b2
x2
a2
=1
-
y2
b2
=1
19
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.4 Functies en grafieken
Een functie f van verzameling D in verzameling S is een
recept, dat aan iedere x in D een uniek element f HxL in S toekent.
De verzameling D wordt het domein van f genoemd en met DHf L aangegeven.
De elementen f HxL worden de functiewaarden of beelden van f genoemd.
Het bereik (range) van f , notatie RHf L, bestaat uit alle beelden f HxL, x in DHf L.
Voorbeeld: de sinus is de functie met naam sin en sinHxL is een functiewaarde.
20
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.4 De domeinconventie
Als een functie f gedefinieerd is zonder het domein te noemen, dan bestaat
DHf L uit alle x in R waarvoor f HxL een reëel getal is.
Voorbeeld: de sinus is een functie en sinHxL is een functiewaarde.
Voor het domein van de sinus geldt dat DHsinL = R.
21
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.4 Voorbeeld 1
Beschouw f HxL = 2 - x .
Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek.
DHf L = H-¶, 2D, RHf L = @0, ¶L
Via gafiek van
x.
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
-4
-2
2
4
22
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.4 Voorbeeld 2
Beschouw f HxL = 1 + x 2 .
Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek.
DHf L = R, RHf L = @1, ¶L
Via f H0L = 1 en f HxL º x als x Ø ≤¶
5
4
3
2
1
-4
-2
-1
2
4
23
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.4 Voorbeeld 3
Beschouw f HxL =
x+1
.
x-2
Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek.
DHf L = H-¶, 2L ‹ H2, ¶L
We schetsen eerst grafiek van f . Als x Ø ≤¶, dan f HxL º 1.
Als x Ø 2 en x > 2, dan f HxL Ø ¶. Als x Ø 2 en x < 2, dan f HxL Ø -¶
4
2
-2
-2
-4
2
4
6
RHf L = H-¶, 1L ‹ H1, ¶L
24
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.4 Voorbeeld 4
Beschouw f HxL =
x 2 +1
.
x
Wat zijn DHf L en RHf L? Geef schets van de grafiek.
DHf L = H-¶, 0L ‹ H0, ¶L
Er geldt f HxL = x +
1
x
. We schetsen eerst de grafiek via de grafieken van x en 1 .
x
4
2
-4
-2
2
4
-2
-4
Omdat f £ HxL = 1 -
1
x2
heeft f een maximum in x = -1 en een minimum in x = 1.
De bijgehorende waarden zijn -2 respectievelijk 2.
Dus RHf L = H-¶, -2D ‹ @2, ¶L
25
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.4 Even en oneven functies
Beschouw een functie f met domein DHf L zó, dat als x œ DHf L, dat dan -x œ DHf L.
De functie f is even als f H-xL = f HxL voor alle x œ DHf L.
De functie f is oneven als f H-xL = -f HxL voor alle x œ DHf L.
2
4
1
-4
-2
2
2
-1
-2
4
-4
-2
2
4
-2
-4
De eerste grafiek is van een oneven functie. Hij is symmetrisch tov oorsprong.
De tweede grafiek is van een even functie. Hij is symmetrisch tov de y-as.
Beschouw de sinus. Noem alle symmetrie-assen en -punten.
26
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.4 Vraag
Beschouw de grafiek van een functie f met domein DHf L = @0, 2D.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-3
-2
-1
1
2
3
Schets de grafieken van de functie g gedefineerd door gHxL = f H-xL, gHxL = f H2 - xL, gHxL = f HxL + 2,
en gHxL = 2 - f HxL.
27
Basiswiskunde_College_1.nb |
P.4 Antwoord
-3
-3
-2
-2
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
-1
-1
1
2
3
-3
-2
-1
3.0
2.0
2.8
1.8
2.6
1.6
2.4
1.4
2.2
1.2
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
3
1
2
3
28
Basiswiskunde_College_1.nb |
Extra opgaven bij college 1
(1) Bepaal alle oplossingen x van de ongelijkheid 2 x - 1 § x
(2) Schets in het vlak de verzameling van alle punten Hx, yL met x + y § 0 .
29

Download Report