PowerPoint プレゼンテーション

海洋流体力学（地球流体力学）担当：島田
予習復習用教材置き場： http://www2.kaiyodai.ac.jp/~koji/gfd2014/
• 海洋流体力学とは、海洋に関する流体力学。本講義では、海
洋のみならず、大気も含めた地球流体力学について学ぶ。
Fluid Dynamics(流体力学)
Geophysical Fluid Dynamics（地球流体力学）
• 目標
海洋・大気大循環のイメージを描けるようにする。
海洋・大気に現れる波について理解する。
身近な自然現象を面白く観れるようになること。
• 重視すること
方程式とは、左辺と右辺のバランスである。
左辺、右辺を構成する項は、全て同じ大きさではない。
注目する現象により、各項の相対的な大きさは変わる。
重要な項だけ、考えるのが地球流体力学の真髄
細かいことは気にせず、大掴みで現象を観る心が大事
地球流体力学は、詳細にこだわることよりも、大局感を重視する。
写真で詳細まで再現するセンスではなく、一筆書きで特徴を捉えるような
ものである。
方程式と向き合ったとき、全ての項が大事であるように思ってきたかも
しれない。方程式とは釣り合い（バランス）を表現するものである。ある
項が無くてもほとんどバランスするようであれば、その項は無視したほ
うが全体を掴むためには見通しが良くなる。
u
u
u
u
u
 v  w  fv
t
x
y
z
圧力勾配項とバランス
できるのはどれか？
＝
1 p

 x
物理学
• 物事をできるだけ単純に考え、共通点（一般
性）を見出し、エッセンスを理解し、分かること
を実感すること。
• 研究を行うには、「問題設定が大事」
• 問題設定するために必要な力は、基礎をきち
んと理解しているかに掛かっている。
• 問題解決能力（解析手法や数値計算）は、知り
たい情熱があれば、そのとき、なんとかなる。
質点力学と流体力学
• 高校及び大学1、２年次に物理学について学んできた（必
修科目）。そこで対象とした力学は質点（系）力学であっ
た。そこでは、質点の運動を記述するものであり、運動す
る質点に乗って方程式を構築した。その方程式とは、
ニュートンの第二法則
du
F  m  m
dt
であった。（これだけは覚えていてくださいね）
流体の捉え方
（離散的な物体から連続体へ）
• 空気は1cm3 中に2.69×1019 個の分子を含む。質点力学
のように1つ1つの分子の動きを追う方法も可能であるが
実際的ではない。そこで、流体力学では、質点のように
個々の離散的物体の運動を追うのではなく、連続した物
体であるとし、その運動を考える。
• そこで、流体力学では、微小体積のBOXを想定し、その
BOXに対してニュートン第二法則を適用する。
• 微小なBOXの中の分子は、同じように振舞うと仮定する
のである。実際、風や流れがある場合に、ごくごく近くに
ある分子の動きはほとんど同じである。
流体運動も、ニュートン第二法則で記述される。
質点力学のニュートン第二法則
du
m
F
dt
質量
力
加速度
流体力学のニュートン第二法則（流体方程式）



du
V
 F  VFs  VFV
dt
質量
加速度
力
面積力
体積力
重力や浮力
など：体積に
働く力
圧力や摩擦など、面を押したり
擦ったりする力：面に働く力
流体運動は、固定された場所での
変化を考えたほうが分かりやすい
• 運動とともに流体は変形する。よって、質点力学のように流体を構
成する一粒一粒の水分子の運動を考えて方程式を組み立てるの
は実際的ではない。そこで、空間に固定されたBOXに注目する。
• 海洋や大気観測では、ある場所での流速、温度、塩分を観測し、
循環の全体像を考える。例えば、天気図などは、固定観測点にお
けるデータを基にして作成したものである。
ラグランジュとオイラーの方法
• 運動に従って考える方法をラグランジュの方法とよぶ。これは質点
力学の見方。
• 固定された場所での運動を考える方法をオイラーの方法と呼ぶ。こ
れが流体力学の一般的な方法。
ラグランジュとオイラーの方法
どこに移動
しても人数は
変わらない
ラグランジュの見方
ある固定された領域では、
（出る人数）－（入る人数）
だけ、人数が変わる
オイラーの見方
N
 N out  N in 収支を考える方法！
t
10人いる
4頭出て、２頭入っている。⇒氷の上のセイウチは2頭減る
オイラーとラジュランジュ記述の違い
いきなり、流体で考えると見通しがよくないので、形状は変わらな
い連続的な温度分布をもつ物体（棒）で考えてみよう。
T
で、温度分布 T  x
x
棒があり、速度uで移動している
一定の温度変化率  
時間変数を固定して見て
いるので、
T  10
x  10
T 0
x0
（言い換えれば）ある時刻
の空間温度変化を見てい
るので、
時刻t
速度uで移動している
時刻t+⊿ t
を持った
（さらに言い換えれば）
ある時刻にとまっている棒
の空間温度変化を見てい
るので
全微分ではなく偏微分
T 0
x  ut
T  10
x  10  ut
棒に乗って変化を見ると（ラグランジュの見方）
T  10
x  10
T 0
x0
時刻t
速度uで移動している
時刻t+⊿ t
T 0
x  ut
T  10
x  10  ut
棒上の特定の場所、例えば、○、△の部分の温度は変わっていない
これは、運動する物体に乗って見たときの考え方で、「ラグラン
ジュ的記述」という。これは、質点運動を記述する方法と同じ。
式で書くと、
dT
0
dt
次に、ある特定の場所での温度変化を考える
（オイラーの見方）
例えば、 x ＝Xの場所での温度が、 t ＝Δtの時刻に
どれだけ変化するかを考えてみる。
T  X
xX
時刻t
ut
T   ( X  ut )
xX
時刻t+⊿ t
T  10
x  10
速度uで
移動している
ut
T 0
x  ut
T  10
x  10  ut
位置Xでの温度Tの変化
⊿t経過すると
T   ( X  ut )
T
T   ( X  ut )  X  ut  u
t
x
T  X
⊿tの間に変
化した温度
⊿t経過したときの
位置xでの温度
T T
T

 u
t
t
x
位置xでの
最初の温度

T
x
より
T
T
u
0
t
x
空間位置変数xを固定して変化を見てい
るので、全微分ではなく偏微分
これから、
T
T
u
0
t
x
dT
0
dt
dT T
T

u
dt
t
x
ラグランジュ微分と
オイラー微分の関係
微小時間⊿tを考えると、考える位置xでの瞬間の速度を考えれ
ばよい。従って、一定速度uの場合だけでなく、速度が時間的
にも空間的にも変化する場合もこの関係は成り立つ。
一般的に、ラグランジュ微分とオイラー微分の関係は
dT T
T

u
dt
t
x
となる。
局所時間
変化項
移流項
温度に変化をもたらす外的要因（QT：加熱とか冷却）があれば
dT T
T

u
 QT
dt
t
x
となる。
ここまでは、温度分布を持った棒について考えたが、“変形しな
い”棒でなく、流体のような連続体でも上の関係は成り立つし、
考える変数は、温度Tでなくてもよい。例えば、塩分Sであっても
構わないし、密度ρであっても構わない。速度uやvやw（運動を
表す量）であっても構わない。
Tの代わりにuを、QT （加熱or冷却）の代わりにx軸方向に与えら
れる力を考えれば、流体の“速度変化（運動量変化）”を記述す
る、運動方程式になる。（ここでは、x方向だけを考えている。）
du
du
u 
 u
m
 V
 V   u   VFx
dt
dt
x 
 t
ここで、
 (密度) 、V (体積)、V (質量)  m
である。
仮想BOXに
与えられる力の
一般的表現
流体の運動方程式
流体は、3次元空間に存在するので、移流項はy方向、z方向に
ついてもx方向と同様の形式であらわされる。
 u
du
u
u
u 
V
 V   u  v  w   VFx
dt
x
y
z 
 t
 v
dv
v
v
v 
V
 V   u  v  w   VFy
dt
x
y
z 
 t
 w
dw
w
w
w 
V
 V 
u
v
 w   VFz  Vg
dt
x
y
z 
 t
体積Vの仮想BOXの面に掛かる力が
面積力（圧力など）:
V(F x 、 F y 、 F z)
体積Vの仮想BOXの質量（ρV）に比例して掛かる力が体積力
体積力（重力など）：
-ρVg
【数学の復習】テイラー展開の考え方（1次式近似）
関数f ( x)の　xのごく近くの x  xでの値、 f ( x  x)は、
f
f ( x  x)  f ( x)  x
x
真のf ( x  x)
f ' ( x ) x
近似した
f
f ( x  x)  f ( x)  x
x
f

x
x
f (x)
x x  x
接線 : 傾きは、 f ' ( x) 
f
x
xが十分小さい場合、この近似 (一次式 )でOK
xから x離れた場所での関数 f ( x  x)は、
n次関数まで用いてテイラー展開すると、
f ( x  x)  f ( x)  f ' ( x)(x) 
1
1
f ' ' ( x)(x) 2       f ( n ) ( x)(x) n     
2!
n!
小さい値に小さい値
をかけているから更
に小さくなる⇒無視
小さい値に小さい値
を何度もかけている
から更に更に小さく
なる⇒無視
流体に働く力（圧力：面積力）
仮想BOXのx方向に働く力「圧力差」を考える。
x方向について考えて
いるのでy方向は関係なし
圧力があれば、基本的には、その圧力
はBOXの内側に向かって働いている。
右側の面を押す圧力は、単純で
p '
p  p(x)
z
y
p '
x
( p '   p ' )
p'  p( x  x, y, z )
p
 p( x, y, z )  x
x
である。右側の面でx正方向に
働く力は、面を引っ張る圧力で
あるから、符号を逆転させれば
よい
p 

p'    p( x, y, z )  x 
x 

左の面Aを押す力は、
p  p( x)yz
右の面Bを引っ張る力は、
p 

p'   p( x)  x yz
x 

x正方向に働く力は「面Aを押す力」と「面Bを引っ張る力」
の合力であるから、
V
p
p
VFx  p  p   xyz  V
x
x
p
Fx  
x
と表現できる。感覚的には「圧力の高いほうから低いほうに
向かって」力が働くと考えればよい。そのため、マイナスの符号が
付いていると考えればよい。
y正方向に働く力も考え方は同じで、
p
Fy  
y
とすればよい。
z正方向には、面を押す力（圧力：面積力）
p
Fz  
z
に加えて、重力も働いている。重力は面を押す力ではない。
体積（物体の質量）に比例して掛かる力である（もともとは、
万有引力）。その大きさは、鉛直方向下向きで、仮想BOXの
質量に比例する。従って、方程式中では、
 Vg
となっているのである。
ρVは質量m
まとめると、
 u
du
u
u
u 
p


V
 V   u  v  w   V
dt
x
y
z 
x
 t
 v
dv
v
v
v 
p


V
 V   u  v  w   V
dt
x
y
z 
y
 t
 w
dw
w
w
w 
p
V
 V 
u
v
 w   V
 Vg
dt
x
y
z 
z
 t
となる。
両辺をρVで割ると、
du u
u
u
u
1 p

u v  w

dt t
x
y
z
 x
dv v
v
v
v
1 p
 u v  w  
dt t
x
y
z
 y
dw w
w
w
w
1 p

u
v
w

g
dt t
x
y
z
 z
となる。これが、粘性が無い場合の流体の方程式である。
実際の流体には粘性があり、粘性による力も働くが、
粘性を考えない流体のことを完全流体と呼び、
その運動方程式のことを
オイラー方程式(Euler’s equations of motion)と呼ぶ。
連続方程式
入る密度
仮想BOXの質量収支を考える
  
u 

x    u  x tyz
 
x  
x 

  utyz
出る密度（  ' ）
入る体積
入る質量
出る体積
出る質量
y
ut
z

'
u 

 u  x t
x 

入る質量から出る質量を引くと、
 
u 

utyz    
x  u 
x tyz
x 
x 

u 
 u
 
  u
  xyzt 
(x) 2 t
x 
x x
 x
 ( u )

xyzt　x
x方向の質量収支となる。
y方向の収支、 z方向の質量収支も同じようにして考えると、
 ( v)
y方向：　
xyzt
y
 ( w)
z方向：　
xyzt
z
となる。
質量変化は、
x方向、 y方向、 z方向の収支を足し合わせたものであるから、
  ( u )  ( v)  ( w) 
xyzt
xyz  


y
z 
 x
xyzは仮想 BOXで、サイズは変化しない。 xyzで割ると、
  ( u )  ( v)  ( w) 
t
  


y
z 
 x
  ( u )  ( v)  ( w) 
 


 


t
t
y
z 
 x
  ( u )  ( v)  ( w)



0
t
x
y
z
・・・・・・連続方程式
密度が一様 (   一定)なら、
 u v w 

u v w
  0      
  
0
t
x y z
 x y z 
連続の式の別の導出の仕方
（物理数学を受講した学生
にはこちらのほうが簡単）
空間中に固定された体積Vをもつ流体の質量変化を考える。
固定された体積Vの流体の質量変化は、その表面から入ってくる
質量に等しいから、
 

dV    u  ndS

t
 

ガウスの発散定理： u  n dS    u dV
を用いて


（uをuにしても成り立つ）


dV      (u )dV

t
左辺は体積が一定なので、
被積分の部分は一致するので、


 t dV     (u )dV
 ( u ) ( v) ( w) 


　   ( u )  


t
y
z 
 x
直感的な理解
発散するということは、膨張していると
いうことである。口を閉じた風船を暖め
て、膨らむ様子を想像してみよう。
膨らませる前の風船の“表面”を、空間
に固定された体積の境界としよう。
膨らんでいるとき、固定された仮想体積
領域の表面からは、膨らむ速度uとともに
密度ρの気体が出てゆく。（気体は風船
の中にとどまっているが、固定された領
域からは出てゆく）。つまり、単位時間に
固定された領域から失われる質量は、
「固定された体積領域の密度ρ」×「膨張速度（表面に直角外向き）」
を表面全体にわたって積分したものになる。
コリオリ力
• 回転角速度Ωを２倍した値に、速度を掛けたものがコリオリ力と
なる。何故、2倍になるのか？
• Youtubeの動画。女の子が投げたボールは女の子のところに
戻ってくる。それは回転台が1周ではなく半周回ったときである。
• つまり、回転台が1周する間に、ボールは２回転するのである。
x方向に働くコリオリ力
y
2v
y方向に働くコリオリ力
x
- 2u
x
y
f  2 と定義する。fをコリオリパラメータと呼ぶ。
コリオリ力を含めてやれば、地球流体力学の運動方程式は、
u
u
u
u
1 p
 u  v  w  fv  
t
x
y
z
 x
v
v
v
v
1 p
 u  v  w  fu  
t
x
y
z
 y
w
w
w
w
1 p
u
v
w

g
t
x
y
z
 z
となる。普通の流体力学と、地球流体力学の方程式の違いは
コリオリ力の項の有無だけである！
実は、室内スケールを扱う流体力学でもコリオリ力は働いている。
方程式のバランスを考えると、コリオリ力の項は他の項よりも
小さいので無視されているだけである。本当は、コリオリ力を
含めた方程式が一般的である。
コリオリ力の大きさ
• 圧力勾配項は流体の駆動力で存在するものとしよう。そ
れとバランスしているのは、どの項であるか？
例えば、視界に入っている川の流れを考える。
速度スケールUは流れの速度1m/s、空間スケールLは視界に入っているスケー
ルで100mとしよう。時間スケールTは、100mの距離流れるのに要する時間とす
れば、100秒となる。地球の自転角速度は、2π/約24時間＝7.26×10-5s-1なので
（wは今考えないことにしよう）、各項の大きさは、以下のアバウトに見積もれる。
u
u
u
u
1 p
 u  v  w  fv  
t
x
y
z
 x
コリオリ項の大きさ
左辺第1～3項の大きさ
 u u u 
O , u , v 
 t x y 
U U2
~ ~
~ 1.0 102
T
L
>>
O( fv) ~ 7.26105
よって、コリオリ力は無視できるのである
しかし、10kmのスケールを考えると、
ほぼ同じ大きさになり、無視できない！
コリオリ力の導出（その1）
x､yは動かない座標系
（宇宙からみた座標系）、
x’, y’は各速度Ωで回転する座標系
（地球上にいる人がみた座標系）
コリオリ力の導出は、嫌気がさすと思うの
で、講義では詳細を説明しません。f＝2Ω
になることだけ覚えておいてください。気
が向いたら、どうして角速度の２倍になる
のかを、以下の資料で確認して下さい。
２つの座標系の間は、
以下の関係にある
x  x' cost  y ' sin t
t
y  x' sin t  y ' cost
これを時間で 1回微分すると、回転していない系の速度となる。
dx
 dx'

 dy'

u
 cost 
 y '   sin t 
 x' 
dt
 dt

 dt

v
dy
 dx'

 dy'

 sin t 
 y '   cost 
 x' 
dt
 dt

 dt

これを時間で 2回微分すると、
回転していない系の加速度となる。
 d 2 x'
 d 2 y'
du d 2 x
dy' 
dx' 
  sin t  2  

 2  cos t  2  
dt dt
dt 
dt 
 dt
 dt
 dx'

 dy'

  sin t 
 y '    cost 
 x ' 
 dt

 dt

 d 2 x'
 d 2 y'
dv d 2 y
dy' 
dx' 
  cos t  2  

 2  sin t  2  
dt dt
dt 
dt 
 dt
 dt
 dx'

 dy'

  cost 
 y '    sin t 
 x ' 
 dt

 dt

回転系から見た時の運動方程式は、
du
dv 

F ' x  Fx cost  Fy sin t  m cost
 sin t 
dt
dt 

du
dv 

F ' y   Fx sin t  Fy cost  m  sin t
 cos t 
dt
dt 

du dv
F ' x の方程式の最右辺に、先に求めた
、を代入すると、
dt dt
du
d 2x
cost
 cost 2
dt
dt
2
2



d
x
'
dy
'
d
y'
dx' 
2
  sin t cos t  2  

 cos t  2  
dt 
dt 
 dt
 dt
 dx'

 dy'

2
  sin t cost 
 y '    cos t 
 x' 
 dt

 dt

dv
d2y
sin t
 sin t 2
dt
dt
2
2



d
x
'
dy
'
d
y'
dx' 
2
  sin t cost  2  

 sin t  2  
dt 
dt 
 dt
 dt
 dx'

 dy'

2
  sin t cost 
 y '    sin t 
 x' 
 dt

 dt

回転系から見た時の x方向の運動方程式が求まり、
du
dv 

F ' x  Fx cost  Fy sin t  m cost
 sin t 
dt
dt 

 d 2 x'
dy' 
 dy'

  
 m  2  
 x '  
dt 
 dt

 dt
 d 2 x'
dy'
2 
 m 2  2
  x' 
dt
 dt

となる。
y方向についても同様に、
du
d 2x
sin t
 sin t 2
dt
dt
2
 d 2 x'

dy' 
d
y'
dx' 
2
  sin t  2  

 sin t cos t  2  
dt 
dt 
 dt
 dt
 dx'

 dy'

  sin 2 t 
 y '    sin t cos t 
 x ' 
 dt

 dt

dv
d2y
cos t
 cos t 2
dt
dt
2
 d 2 x'

dy' 
d
y'
dx' 
2
  cos t  2  

 sin t cos t  2  
dt 
dt 
 dt
 dt
 dx'

 dy'

  cos t 
 y '    sin t cos t 
 x ' 
 dt

 dt

2
du
dv 

F ' y   Fx sin t  Fy cost  m  sin t
 cost 
dt
dt 

 d 2 y '
dx' 
 dx'

  
 m  2  
 y ' 
dt 
 dt

 dt
 d 2 y'
dx'
2 

 m 2  2
  y ' 
dt
 dt

のように y方向の運動方程式が求められる。
回転系から見た時の速度を用いれば、以下のようになる。
回転系の運動方程式
 du'
2 
m
 2v' x'   F ' x
（水平成分）
 dt

コリオリ力と遠心力の項が加わる。
 dv'

遠心力は、
m
 2u ' 2 y '   F ' y
回転系にいる観測者が“実際に”
 dt

コリオリ力
遠心力
観測する力には、遠心力は含まれ
ない⇒後述（ジオイド）の問題
コリオリ力の導出（その2）
静止系（慣性系）
回転系：原点Oまわりに角速度Ω

A’
r
 
B
  r (t )t

r
B
A

r (t  t )

r (t  t )

r (t )
O
位置Aにある物体がBに移動する。
その軌跡は、

r

r (t )
A

r (t )
O

t
位置Aにある物体がBに移動するが、
回転系に乗っている観測者の位置は
A’に移動しており。観測者からみた
物体の移動軌跡は、


r  r  t
演算子＜＞は
回転系に乗っている観測者が見たときの量
回転系に乗っている人が見た物体の移動距離が変化し
ている。ということは、移動距離の微分で表される
物体速度も変化している。
静止系（慣性系）から見たときの速度は、


r
d 
v  lim
 r
dt
t 0 t
回転系から見たときの速度は、

r

d 
v  lim

r
t
dt
t 0
と定義される。
d
は回転系にいる人が見たときの微分演算子になる。
dt
回転している系から見たときの位置のずれ方は、

  
r  r    r t
なので、 tで割ると、


r
r  

 r
t
t


r

r d  
d 
v  lim
 r , v  lim

r なので,
dt
t
dt
t 0 t
t 0
   
v  v  r
となる。
または、慣性系の速度を左辺に持ってきて、

dr
d   

r  r
dt
dt
ともあらわせる。
これは、静止系の時間微分（時間変化）と
回転系の時間微分（時間変化）
には以下の関係、

d
d

 
dt
dt
があることを意味している。
この関係は任意のベクトルで成立する。つまり、

dA
d   

A   A
dt
dt
（これまでは位置ベクトルで考えてきたが、
速度ベクトルであっても良い）
それなら、速度ベクトルを入れて考えてみよう。
左辺は加速度になり、質量を掛ければ
運動方程式の左辺になる。
d 
d   
v
v  v
dt
dt

d 2r
d  d      d   


r    r     
r    r 
2
dt
dt  dt

 dt


d2 
d    

r  2 
r   r
2
dt
dt
静止系の運動方程式、
2
d r 
m 2 F
dt
に代入すると、回転系の運動方程式、

  
d2  
d 
m 2 r  F  2m 
r  m    r
dt
dt

 
  
d 
m
v  F  2m  v  m    r
dt
が得られる。
回転系でも、実態のある外力の値は変化しない。


従って、 F  F としても一般性を失わない。
  
また、 m    r の項は、回転軸からの距離に比例するので、


r  r としても一般性を失わない。
一般性を失わないとは、通用するということ。
結局、

 
  
d 
m
v  F  2 m  v  m     r
dt
が得られる。これを成分で書くと、先に導出した結果と
同じになっていることが分かる。
補足：ベクトルの外積
ベクトルの外積
  
x, y, z軸正方向の単位ベクトル i , j , k とすると、
 
  
 

i  i  0, i  j  k , i  k   j ,

 
 
  
j  i   k , j  j  0, j  k  i
  
 
 

k  i  j , k  j  i , k  k  0












A  Ax i  Ay j  Az k , B  Bx i  B y j  Bz k , C  C x i  C y j  C z k
とすると、
 
 
  
 

A  B  Ax Bx (i  i  0)  Ax B y (i  j  k )  Ax Bz (i  k   j )

 
 
  
 Ay Bx ( j  i  k )  Ay B y ( j  j  0)  Ay Bz ( j  k  i )
  
 
 

 Az Bx (k  i  j )  Az B y (k  j  i )  Az Bz (k  k  0)



 ( Ay Bz  Az B y )i  ( Az Bx  Ax Bz ) j  ( Ax B y  Ay Bx )k
よって、
C x  Ay Bz  Az B y , C y  Az Bx  Ax Bz , C z  Ax B y  Ay Bx
今、

 
A     z k  Ax  0, Ay  0, Az   z  


B  r  rx i  ry j  Bx  rx , B y  ry , Bz  0
なので、
 


  r   z ry i   z rx j ( x成分：  y、 y成分： x)
補足：ベクトルの外積
ジオイドの問題
回転系にいる観測者が“実際に”観測する力には、遠心力は含まれないことの説明
（これは、回転系にいる人にとっては、考えていないもの）
回転流体の表面形状は、各大学の大学院入試にはよく出る問題です。
まずは、 x方向について、
回転系から見た時、遠心力とバランスして
静止させている力、 F 'sx 、とそこからの
ずれの力 F 'Mx（回転系にいる観測者が観測する力）
を考える。
 du'
2 
m
 2v' x'   F 'Sx  F 'Mx
 dt

静止するための力のバランスは、
u '  0、v'  0なので、
 m 2 x'  F 'Sx
一方、静止からのずれの運動に対しては、
 du'

m
 2v'   F 'Mx
 dt

となる。
y方向も同じように考えて、
 dv'

m
 2u '   F 'My
 dt

となる。
回転系にいる観測者が観測する力は、
F 'Mx と　F 'My である。
回転系にいることは忘れて、
プライム「 ' 」と添字「 M」をとると、
 du

 dv

m
 2v   Fx , m  2u   Fy
 dt

 dt

となる。つまり、回転系の運動方程式は、
非回転系の運動方程式に  2v、 2uを加えればよい。
f  2とすると、回転系の流体の運動方程式は、
du u
u
u
u
1 p

 u  v  w  fv  
dt t
x
y
z
 x
dv v
v
v
v
1 p
  u  v  w  fu  
dt t
x
y
z
 y
dw w
w
w
w
1 p

u
v
w

g
dt t
x
y
z
 z
となる。　（f：コリオリパラメータ。回転角速度の２倍）
ジオイドの理解
回転系にいる観測者が“実際に”観測する力には、遠心力は含まれないことの理解
（これは、回転系にいる人にとっては、考えていないもの）
遠心力が働いているのに静止？
摩訶不思議かと思うでしょうが、そのカラクリを
遠心力とバランスする力は F 'Sx とF 'Sy である。
 m 2 x'  F 'Sx ,  m 2 y '  F 'Sy
F 'Sx とF 'Sy とは、何を意味するのであろうか？　【右図】
流体を剛体回転させ
たときの水面形状と
等圧面
この力は圧力である。コップの中のコーヒーを回転
させたとき、表面はどんな形状になっているであろ
うか？　思い出してみよう！　中央が凹んでいるこ
とは、経験から分かる。つまり、カップの縁の方に
流体が多くあることを意味している。これは、周囲
の圧力が高く、中央部の圧力が低いことを意味する。
よって、この圧力傾度力は周囲から中央に向かって
掛かっている。
この圧力傾度力
ps '
ps '
F 'Sx  V
, F 'Sy  V
x
y
と遠心力がバランスしているのである。
ここで、 ps 'は、回転系から見たときの運動には関与しない
圧力である。
剛体回転する流体の表面形状（ジオイド）を
求めてみよう！
x'  r cos , y '  r sin 

 1

 cos
 sin 
x'
r r


 1

 sin 
 cos
y '
r r

なので（補足に微分演算子変換の説明あり）、
ps '
1 ps '
2
 m x'   V x'  V
  x' 
x'
 x'
ps '
1 ps '
2
2
2
 m y '   V y '  V
  y' 
y '
 y '
は、
2
2
ps ' 1
ps ' 
1
cos


sin




r r
 
ps ' 1
ps ' 
1
2
 r sin    sin 
 cos


r r
 
 2 r cos 
今、同心円状の圧力分布になることが

分かっているから、の項はゼロになる。

よって、回転系から見て静止しているときの運動方程式は、
1 ps '
 r
 r
2
となる。
また静水圧バランス、 p
  g
z
が成立しているとし、
1 ps '
 r
 r
2
を回転軸中心（ r  0）から rまで積分すると、
r
1
2
ps ' (r , z )    rdr   2 r 2  gz  C
0
2
r  0での水面の高さを h0とすれば、
pa   gh0  C
よって、
ps ' ( r , z ) 
となる。
1
 2 r 2  g ( z  h0 )  pa
2
水面での圧力はどこでも、大気圧 paに等しいので、
p s ' ( r , z )  pa
とすれば、
2r 2
z
 h0
2g
を得る（放物曲面）。このような形状であるとき、
遠心力と圧力傾度力がつりあって回転系から見れば
流体は静止して見える。
補足：微分演算子変換
x  r cos , y  r sin 
これを、 r及び で偏微分すると
x
x
y
r
 cos ,
  r sin  ,  sin  ,
 r cos
r

r

座標 (x, y)から極座標 (r ,  )への偏微分作用素の変換を考える。
関数 z  f ( x, y )をr , に関して偏微分すると、
合成関数の微分則より、
z z x z y
z
z


 cos
 sin 
r x r y r
x
y
z z x z y
z
z


 r sin 
 r cos
 x  y 
x
y
となる。
補足：微分演算子変換
微分演算子の関係は、
  
sin   x 
 
cos   
 y 
 
となる。右辺及び左辺に
  

  cos
 r   
 1     sin 


 r  
 cos sin  


  sin  cos 
の逆行列、
 cos  sin  


 sin  cos 
を作用させると、
  
 
   cos  sin  
r
 x   


    sin  cos  1 

 y 
 r 
 
が導かれる。
分けて書くと、

 1
 cos
 sin 
x
r r

 1
 sin 
 cos
y
r r
となる。










回転球体（地球）では？
地衡流
大規模な海洋の流れ、大気の風
地球流体力学は、詳細にこだわるより大局感を重視すると述べた。
大局感の代表選手が等圧線に沿って流れる地衡流である。海洋学では地衡流、
気象学では地衡風と呼ぶ。
方程式と向き合ったとき、全ての項が大事であるように思ってきたかもしれない。
方程式とは釣り合い（バランス）を表現するものである。ある項が無くてもほとんど
バランスするようであれば、その項を無視したほうが全体を掴むためには良い。
細かいことは、まず“切り捨てる”センスが大事。これが地球流体の思考方法。
u u u u
, u , v , w , fv
t x y
z
圧力勾配項とバランス
できるのはどれか？
1 p

 x
スケール・アナリシス
u
u
u
u
1 p
現象に合わせて、
 u  v  w  fv  
時間：T
t
x
y
z
 x
水平スケール：L
v
v
v
v
1 p
鉛直スケール：D
 u  v  w  fu  
水平流速：U
t
x
y
z
 y
鉛直流速：W
2
2
2
P
圧力：P
U
U
U
U
各項の
fU
でスケーリングすると、
L
大きさ T
L
L
L
運動方程式の各項の
大きさは、右のように
なる（w,zを含むスケーリング下記参照）  鉛直速度の大きさの考え方 
密度があまり変化しない海洋の場合、
海洋を考えてみよう。大洋の水深（D）
は数km。一方、海洋循環の水平スケー連続方程式は、   u  v  w   0
 x y z 
t


ル（L）は、数10kmから数1000km。
L
D
D
 （非常に小さい）
L
であるから、
 u v  w
U W
D
 ,  ~
 ~  W ~ U ~ U
L D
L
 x y  z
水平運動方程式で圧力は左辺のどれかの項と
バランスしているはずである。
圧力( p )のオーダー O( p )は、
U U2
P ~ L( ,
, fU )
T L
時間変化項
移流項
コリオリ項
となる。
U U2
fU  ,
T L
であれば、もしくは、これを fUで割ったものが、　1
   T (時間ロスビー数 ),  T  O(1：十分小さい
)
fT
U
   (空間ロスビー数 ),   O(1：十分小さい
)
fL
場合には、水平運動方程式の左辺はコリオリ力の項だけが大事 !
例えば、黒潮の代表流速U=1m/s,水平スケールL=1000km、
f=2Ωsinθ=8.4×10-5s-1を代入すると、
U2
6
5
4 U
~ 1.0 10 , fU  8.6 10 ~ 1.0 10 , ~ 0.01
L
fL
左辺では、コリオリ項が他の項と比べて圧倒的に大きい。この
スケールでは圧力勾配とバランスできるものは、コリオリ力を
含む項だけであると考えられる。従って、大きなスケールでは、
1 p
 fv  
 x
1 p
 fu  
 y
1 p
u
f y
1 p
v
f x
のバランスに運動方程式はなっている。これを地衡流バランスの
式という。厳密には、このバランスを100％満たしていないが、
巨視的に見た場合ほとんど、このバランスになっているのである。
500hPaの高度,
2009/10/28
等値線の混んでいるとこ
ろが偏西風
偏西風は蛇行している
その謎は、講義の最後の
方で・・・
上空では、どうなっているか？
等圧面の高さ
例えば、
500hPaの高度
この高度より上に乗っている
大気の質量を考える
質量は小
低圧
冷たい空気
質量は大
高圧
暖かい空気
南
北
地表面では、ほとんど同じ圧力
＝上に乗っている空気の質量が同じ
北
南
鉛直方向のスケールアナリシス
静水圧近似が可能である条件とは？
1 p
g
静水圧近似： 0  
 z
鉛直運動方程式のバランスを考える。
dw w
w
w
w
1 p

u
v
w

g
dt t
x
y
z
 z
2
2
2
U
P
U
U
U
g




T
L
L
L
L
圧力( p )のスケール O( p )は、水平運動方程式から
U U 2

P ~ L ,
, fU  のどれかであった。
T L

この時点では、地衡流バランスしている、つまり
U U2
fU  ,
であるとしなくとも良い。
T L
鉛直運動方程式の右辺第一項と左辺の各項の比をとると、
 U U2 
 U U2 

  , 

  , 
L 
T
L 
T
左辺の各項



＝
P
鉛直運動方程式圧力勾配項

1 U U 2
 ,
, fU 
L
 T L

U U 2 

 ,
T L 
L UT 1 U 

2
2
, 
,
,
＝ 1,

2
UT L fT fL 

U U

 ,
, fU 

T L
移流時間スケール TをL / Uとすれば、
 U 
＝ 1, 
 fL 
2
U
~ O(1)
fL
であっても、δが小さければ、
鉛直運動方程式の左辺は無視できる。
【静水圧近似の条件① 】水平運動のスケールが
鉛直運動のスケールよりも十分大きいとき静水圧近似可能
また、
U
~ O(（小さい）
)
fL
①はよく教科書に書かれているが、
②は以外に書かれていないよ
であれば、  ~ O(1)であっても、
鉛直運動方程式の左辺は無視できる。
【静水圧近似の条件② 】地衡流バランスが卓越するとき、つまり、
コリオリ力が運動を支配しているような場合、静水圧近似可能
なんで重力加速度項（g）は大きいものとして
話を進めてきたのか？
• 海洋の代表的な大きさとして、水平流速1m/s、鉛直流速
0.01m/s、水平スケール10km、鉛直スケール1km(δ=0.1)
、時間スケール、1日（～1.0×106）、g=9.8m/s2としてみよう。
U
1m / s
6
2
~ 0.1

1
.
0

10
m
/
s
T
1.0 105 s
U2
1m / s 1m / s
5
2
移流項： 
~ 0.1

1
.
0

10
m
/
s
L
1.0 104 m
重力加速度： g  9.8m / s 2 ~ 1.010m / s 2
時間変化項： 
圧倒的に重力加速度項が大きい！
だから、この項を無視することは無かったのです。
温度風の関係（密度分布から流速を求める方法）
水平運動方程式は地衡流バランスが成立している場合には、
1 p
1 p
u
, v 
f y
f x
これをｚで微分し、静水圧バランス（近似）の関係、
p
  g
z
を用いると、
u
1   p 
g

 
z
 0 f y  z 
0 f
v
1   p 
g

 
z
 0 f x  z 
0 f

y

x
となる。これを温度風の式と呼ぶ。
密度 (  )を平均 (  0 )とズレ (  ' )に分けて考える。
温度風関係式の導出の補足
  0   '
は深層（ 6000m）で1050kg / m3 , 表層で1020kg / m3
水平方向には、せいぜい、
1 - 2kg / m3の差しかない。
1
1
1
1
1
1 
' 
1 
'  1






1  ~
1   ~


 0   ' 0   '  0  0 
0  0  0
1  
 0 
u
1   1 p 

z
f z   y 
 1   p  p   1 
 
 

  y  z  y z   
1  1 
 '  
p   1 
 '  
~   1    (  0   ' ) g 
 1   
f   0   0  y
y z   0   0 

1
f
 1

'   ' p    ' 
 2 

  2  g


  0  0  y y z   0 
g  '
~
f 0 y
1
~
f
1
0
2
はすごく小さいので無視。
もしも、ρが一定である場合、
u
1   p 
g

 
z
 0 f y  z 
0 f
v
1   p 
g



 
z
 0 f x  z 
0 f

0
y

0
x
となり、水平流速は鉛直方向に変化しない、
つまり、水柱は深さによらず同じ運動をする。これを、
テイラー・プラウドマンの定理を言う。
（もしくは、テイラー・コラム[水柱]と言う）
鉛直方向に密度が変化している場合には、（成層がある場合には）、
どうなるであろうか？密度が一定ではない、
  const
として考えてみよう。
u
1   p 
g

 
z
 0 f y  z 
0 f
v
1   p 
g



 
z
 0 f x  z 
0 f

y

x
をｚで積分すると、

u  u ( z0 ) 
dz

 0 f z0 y
g
v  v( z0 ) 
z

dz

0 f z0 x
g
z
密度ρは水温、塩分、圧力から決めるので、ある深さz0での流速
が分かっていれば、任意の深さの流速は求められる。
こうして、流れを求める方法を「地衡流計算」と言う。
大規模な海洋の流れは、流れを測定しなくとも、水温、塩分観測
から求めることが可能なのである（⇒実習Ⅱ）。（但し、第0近似である）

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