地球流体力学における方程式の系譜①

ここまでのまとめ
基本方程式
u
u
u
u
1 p
 u  v  w  fv  
t
x
y
z
 x
v
v
v
v
1 p
 u  v  w  fu  
t
x
y
z
 y
w
w
w
w
1 p
u
v
w

g
t
x
y
z
 z
 


 u   v   w w  0
t x
y
z
基本方程式に対しスケールアナリシスの“心眼”を使って
どの項を無視し、どの項を残すのかを決めてあげる、
すると、見たい現象を記述できる方程式になる。
ちょっとだけコリオリ力の復習
コリオリ項を右辺に持ってゆく
さらに、ラグランジュ形式で記述
u
u
u
u
1 p
 u  v  w   fv 
t
x
y
z
 x
v
v
v
v
1 p
 u  v  w   fu 
t
x
y
z
 y
du
1 p
  fv 
dt
 x
v>0、即ち、北向きの速度であれば、
東向き流速uが増加する
東向き作用する力になっている。
流れの進行方向に対して右手方向に
動かす力になっている。
コリオリ・シュート！
du
1
  fv 
dt

dv
1
  fu 
dt

p
x
p
y
運動の軌跡
ある瞬間
の速度
コリオリ力
地衡流
u
u
u
u
1 p
u
v
 w  fv  
t
x
y
z
 x
v
v
v
v
1 p
 u  v  w  fu  
t
x
y
z
 y
w
w
w
w
1 p
u
v
w

g
t
x
y
z
 z
 


 u   v   w  0
t x
y
z
条件：
1
U
 1,  1
fT
fL
g
u
f
g
v
f

y

x
浅水方程式近似
したときの地衡流
（後ろの浅水近似
を参照）
時間スケールTが大きく、
空間スケールLが大きいこと
具体的には、
慣性周期よりも長く、慣性周期の間に流
体が進む距離よりも大きなスケールを
対象とする場合の近似になっている
慣性振動
地衡流について考えたとき、時間変化項、移流項は小さい
として「無視」していた。「無視」の意味を考えよう。例えば、宇
宙から地球を眺めるとしよう。地球を巡る雲の動きから大規
模な風のパターンが分かるだろう。しかし、ビルの谷間に吹く
風は認知できない。「認知できないこと」＝「無視」である。大
局的には、ビルの谷間の風が、大気大循環に大きな影響を
及ぼすことはない。
しかし、ビルの谷間の風もなんとか分かるし、大規模な風も
感じ取れるような微妙なスケールではどうなるのだろう？時
間微分項が無視できるかどうかは、
du 
U
 大きさは、 と、 fuやfv大きさは、 fU 
dt 
T 
の大小関係で決まっており、
1
1
 1　 非回転系、
 1　 回転系
fT
fT
とエイヤと判断し、方程式を単純化してバランスのエッセンス
を取り出した。
1
1
~ 1　 T ~
fT
f
ぐらいのときにどうなるのだろう？どれの項も無視できない
じゃないかと考えるだろう。こんな時は、物事を２つに分けて
考える。どう考えるのかと言うと、 u , v, p などの変数を地衡流
バランスしている成分と、していない成分に分けるのである。
u  u g  ui
v  v g  vi
p  p g  pi gの付いているものは、地衡流バランスしている成分であり、
iのついていつものは、地衡流バランスしていない成分である。
ここで、地衡流バランスする圧力pgが支配的で、piは無視でき
る（認知できない）とすれば、
 dug dui 
1 p



 f (v g  vi )  

dt 
 x
 dt
 dvg dvi 
1 p g

  f (u g  ui )  

dt 
 y
 dt
地衡流成分は、
dug
dvg
1 p g
1 p g
 fv g  
,  fu g  
,  0,  0
 x
 y
dt
dt
なので、これらを代入すると、
地衡流以外の成分に対する方程式は、
dui
dvi
 fvi  0,  fui  0
時間スケール (T )が、
dt
dt
1 / fの現象に注目しているので、
Ui
1
fU i
1
1
1
T
fT
T ~  ~ 1
f
fT
となる。
1
1
変形すると、
1 dui
1 dvi
vi 
, ui  
f dt
f dt
これを地衡流以外の式に代入すると、
2
d 2ui
d
vi
2
2

f
u

0
,

f
vi  0
i
2
2
dt
dt
となる。この微分方程式の解は、
ui  V0 cos( ft  0 ), vi  V0 sin( ft  0 )
これは、よくみると、
ui  vi  V0
2
2
2
等速円運動になっている！
回転台でボール転がしをしている動画を思い出してほしい。回転台に乗って
みれば、円運動していたよね。しかし、回転台の外から見ると単なる直線運動
だった。これは、等速直線運動（慣性の法則：ニュートンの第一法則）を自転
する地球に乗った人が見ていることに他ならない。コリオリ力が加わっている
のに加速しない！ニュートンの第二法則（F=m×α）に反する！おかしい or
不思議だと思うでしょう。これは意味深で、加速しないからコリオリ力は見かけ
の力なのです。
孫の手
2階微分項と微分しない項があり、微分しない項の係数がプラス
の場合、振動方程式になる。
三角関数は2階微分すると符号が変わる！
一般的には、微分の階の差が2であるとき、
三角関数解（振動）になる。
もし、
d 2u
2

f
u0
2
dt
なら、
2階微分しても符号が変わらない関数が解になる。つまり、
u  Ae ft   Be( ft  )
この場合には、指数関数解（増幅か減衰）になる。
138ｍ深の流速；
黒：東西流速、灰：南北流速
実際の
観測例１
（海洋）
北極海：
北緯74.5度
西経158度
水深138ｍ
の流速
2002年10月
平均流を差し
引いた流速
★
地衡流
生の流速
実際の観測例２（海氷）2003年8月16日～21日
• 慣性振動は流体でなくとも起こる。
• 海氷の場合、圧力勾配は掛からない。
• 従って、慣性振動は、“隣接する氷が
押し合いへし合いしていなければ（自
由に動ければ）”必ず起こる。
u0 , v0
+
(u-u0 ), (v-v0)
=
11.1ｋｍ
u, v
11.5ｋｍ
2003年8月16日
の海氷密接度
2003年1月19日
の海氷密接度
夏（2003年8月16日～21日）
慣性振動あり
冬（2003年1月19日～20日）
慣性振動なし
慣性振動のまとめ（カラクリ）
コリオリ力だけを考えると、どのような運動をするのか考えてみよう！
初速度が与えられたあと、圧力勾配が無いような場合
圧力勾配項をカット！
u
u
u
u
1 p
 u  v  w  fv  
t
x
y
z
 x
v
v
v
v
1 p
 u  v  w  fu  
t
x
y
z
 y
2
d 2u
d
v
2
2

f
u

0
,

f
v0
2
2
dt
dt
振動方程式
du
 fv  0
dt
dv
 fu  0
dt
uだけの方程式、
vだけの方程式
にする
u  V0 cos( ft   ), v  V0 sin( ft   )
u  v  V0
2
2
2
慣性振動の解(等速円運動)
温度風の式（地衡流の変形）
1 p
1 p
 fv  
,　 fu  
 x
 y
1 p
0
g
 z
地衡流の式
静水圧近似
2 p
  2 p


 g
,  g
zx
x zy
y
v
g 
u
g 
f

,　f

z
 x
z
 y
温度風の式
ある深さの流速が分かっている場合、密度の空間分布が分かれば、
流速場は分かるという意味。CTD観測により水温、塩分を計測し、
密度を求めれば、流速計を使わずに流れが求められる。
密度(  )を平均 (  0 : 一定)とズレ (  ' )に分けて考える。
  0   ' ,
温度風関係式の導出の補足
は深層（ 6000m）で1050kg / m3 , 表層で1020kg / m3
水平方向には、せいぜい、
1 - 2kg / m3の差しかない。
つまり、  0   '
1
1
1
1
1 
' 
1 
' 
1   ~
1  



 0   ' 0   '  0  0 
0  0 
1  
 0 
テイラー展開
u
1   1 p 

z
f z   y 
1
0
1 p
g
 z
p
  g
z
 1   p  p   1 
 
 

  y  z  y z   
1  1 
 '  
p   1 
 '  
~   1    (  0   ' ) g 
 1  
f   0   0  y
y z   0   0   は一定なので微分したら0
0
1
1  1

'   ' p    ' 
はすごく小さいので無視
 2 
~   2  g

2
0
f   0  0  y y z   0 
g  '
g 
0は一定で、微分したら 0なので、
~

f 0 y
f 0 y
微分されるものに 0を加えても変わらない。
1

f
密度一様の浅水方程式
u
u
u
u
1 p
u
 v  w  fv  
t
x
y
z
 x
v
v
v
v
1 p
 u  v  w  fu  
t
x
y
z
 y
w
w
w
w
1 p
u
v
w

g
t
x
y
z
 z
 


 u   v   w  0
t x
y
z
D
1
U
 1　もしくは、  1,  1
L
fT
fL
を満たせば、静水圧近似可能
D : 鉛直スケール、L : 水平スケール、
T : 時間スケール、f :コリオリパラメータ
u
u
u
u
1 p
 u  v  w  fv  
t
x
y
z
 x
v
v
v
v
1 p
 u  v  w  fu  
t
x
y
z
 y
1 p
p
0
 g　   g
 z
z
u v w
 
0
x y z
任意の深さ zから海面 z  まで、
p
  g
z
を積分すると、
p ( z   )  p ( z )   g (  z )
 p ( z )  pa  g (  z ) 海面z  での圧力は大気圧 p（一定）
a
これを代入すると、水平方向の方程式は以下のようになる。
u
u
u
u

u
 v  w  fv   g
t
x
y
z
x
v
v
v
v

 u  v  w  fu   g
t
x
y
z
y
右辺に現れるηは、水平位置(x,y)の関数であり、鉛直方向の位置には
関係しない。海面の盛り上がりだから、深さなんて関係しないよね。
だから、左辺は深さには関係なく成立。よって、zで微分している左辺の項はカット！
u
u
u

u
 v  fv   g
t
x
y
x
v
v
v

 u  v  fu   g
t
x
y
y
浅水（水平運動）方程式
次に、連続方程式を鉛直積分すると、


 u v 
w
 H z dz  　H  x  y dz
 u v 
w( z   )  w( z   H )  ( H   )  
 x y 
平坦な海底での鉛直流速は0、
海面での wは水位 の時間変化 d / dtなので、
 u v 
d
 ( H   )  
dt
 x y 
u
u
u

u
 v  fv   g
t
x
y
x
v
v
v

 u  v  fu   g
t
x
y
y
浅水連続方程式
浅水（水平運動）方程式
浅水方程式の線形近似
u
1次（線形）の項のみでなく、 u など、
x
２次以上の項を含む場合を非線形であるという。
O( )。
u, v,は小さいとする　ならば、 u , v,の　2乗やそれらを掛けあわせたものは


さらに小さくなる　O( 2 ) 。O( 2 )の項を、無視してみる、
u
u
u

u
 v  fv   g
t
x
y
x
v
v
v

 u  v  fu   g
t
x
y
y
 u v 
d 



u
v
 ( H   )  
dt t
x
y
 x y 
u

 fv   g
t
x
v

 fu   g
t
y
線形化された浅水方程式
 u v 

  H   
t
 x y 
なんやら、すごくシンプルな方程式になった。
水の“波”は、波高（水面の凸凹）が伝わる現象であるから、
波高を表すηだけの方程式にしてあげて、ηの振る舞い
（解）を調べればよい。
次のページから、慣れ親しんでいる“水の波”（表面重力波）
について考える。
g
u
f
g
v
f

y

x
浅水近似したときの地衡流の式
⇒２点の水位差から流れが求められる
演習問題
ベーリング海峡はｆ＝1.32×10-4（北緯65度）、重力加速度は9.8m/s2とする。
(1)ベーリング海峡は南北に開いた海峡で、北米大陸沿岸の水位
はユーラシア大陸沿岸の水位よりも20cm高い。ベーリング海峡の
幅が100kmであるとき、海峡を流れる流速を求めなさい。
(2)海水の密度が一様であるとしたとき、流れの鉛直構造ははどう
なるか？
(3)ベーリング海峡の水深が一様で40ｍであるとすると、そのとき、
ベーリング海峡を通過する流量を求めなさい。1Sv=106m3/sとする。
スベルドラップは偉大なる海洋物理学者。
非回転系の重力波（f=0の場合）
 u v 
u

v


 fv   g
,  fu   g
,   H   
t
x
t
y
t
 x y 
波の波高を表す だけの方程式にしてやればよい。
  u 
 2
  v 
 2
 2
  u v 
    g 2 ,     g 2 , 2   H   
t  x 
x
t  y 
y
t
t  x y 
  2  2 
 2
  gH  2  2 
2
t
y 
 x
波動方程式
  0 expi(kx  ly  t )
波動方程式の解
   (k 2  l 2 ) gH
振動数と波数の関係
c   / (k 2  l 2 )   gH
位相速度
（非分散：cは波数k, lに依存しない）
重力波の伝播と収束・発散
図の右方向（ x正の方向）に伝播する波の解を考える。
  0 cos(kx  t )
これを水平運動方程式に代入すると、
u

 g
 gk 0 sin(kx  t )
t
x
さらに積分して、 uを求めると、
g
g


c
H
波の峰では右方向（  ）の流れ、波の谷では左方向（ - ）の流れ、
ug
k
0 cos(kx  t )   
この結果、峰の右側に水は集まり（収束）、峰の左側の水は減る（発散）
その結果、点線のように水位は変化する。
波は、水の収束・発散で伝播するのである。
回転系の重力波（慣性重力波）
u

v

 fv   g
   ①,  fu   g
   ②　運動方程式　t
x
t
y
 u v 

  H       ③　連続方程式
t
 x y 
波の波高を表す に関する方程式にしてやればよい。非回転系の場合
と比べて、 だけの式にするには、ひとひねり必要。分かってしまえば、
その答えは、非回転系の場合に対して fを含む項（□で囲んだ項）が加わるだけ。
2
2
 2






2
 2  f    gH  2  2 
y 
 t

 x
  0 expi(kx  ly  t )
   (k 2  l 2 ) gH  f 2    f
波動方程式
波動方程式の解
振動数と波数の関係
2
f
c   / (k 2  l 2 )   gH  2 2 位相速度
(k  l ) （分散性：cは波数k, lに依存）
回転系重力波（慣性重力波）の解法の詳細
非回転のときと同じように、連続方程式を　tで微分し、
u v
、をうまく使って変形してゆく、
t t
  2  2 
 u v   2
 v u 

  u v 
  H     2   H     gH  2  2   fH   
t
t
t  x y 
y 
 x y 
 x y 
 x
運動方程式
運動方程式の
u

v

 fv   g
,  fu   g
t
x
t
y
クセもの
次のページで
それぞれ、 x, yで微分すると
  u 
v
 2   v 
u
 2
  f
 g 2 ,　    f
g 2
x  t 
x
x y  t 
y
y
代入する
これらの微分順序を入れ替えて足しあわせると、
  2  2 
  u v 
v
 2
u
 2
    f
g 2  f
 g 2   g  2  2  
t  x y 
x
x
y
y
y 
 x
 v u 
f    ④
 x y 
 v u 

 v u 
  を上手く で表したい。　


は、渦度を表している




x

y

x

y





今度は、運動方程式① をyで, ②を xで微分してあげよう。
  u 
v
 2   v 
u
 2
   f
 g
,　  f
 g
t  y 
y
xy t  x 
x
xy
これらを組み合わせると、
  v u 
   
t  x y 
 u v 
f     0
 x y 
となる。2つ目の  は、連続の式③、
 u v 

  H   
t
 x y 
を使えば、上手く で表せて、
  v u  f 
  
 ⑤
t  x y  H t
となるから、④式を tで微分したもの
 2  u v 
  v u 
   2  2 
    fH     gH  2  2   0
2 
 t  x y 
t  x y 
t  x
y 
に連続の式と⑤式を代入すると、上手く だけの式になる。
   2 
   2  2 
2    
 2   f

  gH  2  2   0
t  t 
t  t 
t  x
y 
微分演算子をまとめて
  2  2 
   2 
2   
  gH  2  2   0
 2   f 
t  t 
y 
 t 
 x
  2  2 
   2
2
 2  f   gH  2  2   0
t  t
y 

 x
 の中が 0であれば、満たされるから。
 2
  2  2 
2
 2  f   gH  2  2   0
y 
 t

 x
慣性重力波の方程式
（非回転系の重力波の方程式）
非回転系の重力波の方程式は、
  2  2 
 2
 gH  2  2   0
2
t
y 
 x
であった。回転系の重力波
 　中のf 2だけ！
の方程式は左辺の　   (k 2  l 2 ) gH  f 2    f
f2
c   / (k  l )   gH  2 2
(k  l )
2
2
27.614度
30.000度
74.465度
85.765度
バレンツ海での水温・塩分断面
Arctic Ocean Atlas for Winter Period (1948—1993年の平均値）
M2臨界緯度74.465付近で塩分断面に
ドーム状（凸状）構造が見える。
M2潮汐と慣性振動の共鳴で海水運動
が強化され、混合が促進されている。
この断面
M2臨界緯度
演習問題
【1】津波Ⅰ
(1) 津波の伝播速度を導出しなさい。
(2) チリで地震が発生してから23時
間45分後（85500秒後）に九州に津
波が到来した。重力加速度（ｇ）は
10m/s2であるとし、震源地と九州間
の水深が一定としたとき、その水深
を求めなさい。
大洋の平均水深を船で観測しなくと
も分かるだよ。
チリから九州までの距離は
17100km
であるとする。
実際には、海の水深は分かっているから、ど
こかで地震が発生したする。地震波は海洋波
よりも早く、即座にキャッチできる。その後
の海洋波（津波）がいつ来るかも、自分で分
かる。
演習問題
【２】
津波Ⅱ
A
B
(1) 日本海中部地震の津波到来時刻の等値線を見るとその間隔は一定ではないこと
に気づく。A領域では何故、津波到達時刻が遅くなっている。また、B領域では到
着時刻の等時線の間隔が込んでいる。何故かについても述べよ。
(2) 日本海北部の日本海盆の水深は約3500mであることが読み取れる。一方、山陰
沿岸域の水深は500mよりも浅いことは分かるが詳細は読み取ることができない。
山陰沿岸域では等時線の間隔が日本海盆と比較して1/4になっている。浅水重力
波の性質を利用して山陰沿岸域の水深を求めなさい。
演習問題【３】地衡流Ⅰ
近年は、人工衛星で海面の凹凸を観測できるようになった
A地点
η=10cm
暖水塊
半径
70km,
水位差
30cm
B地点
η= 130cm
（１）A地点とB地点は140km離れ
ており、水位の差は120cmで
ある。水位の空間変化は一定
としてA-B地点間の流速を求
めなさい。コリオリパラメータｆ
は北緯33度での値、
2Ωsin(33°)=7.9215×10-5を使
いなさい。
（２）三陸沖で観測された暖水塊
の流速を求めなさい。コリオリ
パラメータｆは北緯40度での値
2Ωsin(40°)=9.349×10-5を使い
なさい。
船底に取り付けた多層音響式流向流速系（ADCP）で計測した流速
A地点
η=10cm
B地点
η= 130cm
演習問題【４】地衡流Ⅱ
• 下図は、2011年1月から2012年1月までの北半球対流圏
上部（～約12ｋｍ上空）の東西風速を示したものである。
横軸は月、縦軸は緯度である。青色系は東向きの風（西
風）、赤色系は西向きの風（東風）に対応する。中緯度帯
の西風（偏西風）が最も強くなるのは1～2月であることが
分かる。その理由について説明しなさい。図を描いて説
明してよい。
演習問題【５】津波Ⅲ
下表は、2011年3月11日に発生した津波の第一波の到達時刻と地震発
生から到達時間を示したものである。津波のように、慣性周期よりも
非常に短い時間で海面変位が生じるとき、コリオリ力は無視できる。
以下の問いに答えなさい。
（１）館山市布良から横須賀までの距離が50kmで、水深が一定であると
したとき、その水深を求めなさい。
（２）横浜と東京晴海の間の距離は25kmで水深は20mであるとき、東京
晴海に津波の第一波が到達する時刻を求めなさい。
第一波
都道府県
津波観測点名
始まり
日
千葉県
館山市布良
時
分
11
15
24
38
11
15
54
68
横浜
11
16
10
84
東京晴海
11
？
？
？
神奈川県横須賀
東京都
第一波が到達
するまでの時間
（分）
演習問題【６】総合
浅水近似、線形近似が可能で、密度が一様な海の
場合、水平運動方程式、連続方程式は以下のよ
うに表される。ここで、fはコリオリパラメータ、
u,v,,wはそれぞれ水平流速の東西成分、南北成
分、鉛直成分で、ηは海面変位であり、海底から
平均海面までの高さをHとする。以下の問いに答
えなさい。

u
 fv   g
･････①　t
x

v
 fu   g
･････②　t
y
u v w


 0　･････③
x y z
（１）回転の影響が無視できるための条件を示し、その
ときの水平運動方程式を示しなさい。
（２） ③式から、海面変位ηの時間変化を表す式を導出
し、海面変位が起こる理由について説明しなさい。
（３）（１）および（２）で導出した式より、波動方程式を導
き、重力波の伝播速度を求めなさい。
（４）地衡流（地衡風）の関係式を示し、地衡流（地衡
風）が成立するための条件を、説明しなさい。
（５）津軽海峡において、本州側の水位は北海道側の
水位よりも0.5m高く、水位の傾斜度は一定であった。
海峡の幅が100kmであるとき、海流は地衡流であると
し、その速度を求めなさい。但し、海水の密度は一定
で、コリオリ・パラメータｆは1.0×10-4 s-1、重力加速度g
は10.0m/s2であるとする。

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