応用数学II

三角関数（復習①）
三角関数（復習②）
イ）正弦
ロ）正接
ハ）正割
ニ）余弦
ホ）余接
へ）余割
y
sin  
r
y
tan  
x
r
1
sec   
x cos 
x
cos  
r
x
1
cot  
y tan
r
1
cosec  
y sin 
余角
r
y
角
x
三角関数（復習③：加法定理）
加法定理
sin      sin  cos   cos sin  (1)
sin      sin  cos   cos sin  (2)
cos     cos cos   sin  sin  (3)
cos     cos cos   sin  sin  (4)
三角関数（復習④：加法定理）
加法定理の証明
A(1,0)
C(cos(  , sin (  )
C

B

A
O
AC
2
 cos(   )  1  sin(   )  0
2
 2  2 cos(   )
2
三角関数（復習⑤：加法定理）
加法定理の証明
AC'2
 cos  cos    sin   sin  
2
 2  2cos cos   sin  sin  
C

O

B
A
A(cos, －sin)
C(cos , sin )
2
三角関数（復習⑥：加法定理）
加法定理の証明
以上より，
cos(   )  cos cos   sin  sin 
→－
cos(   )  cos cos   sin  sin 
→p/2-
p
p

p

cos(     )  cos    cos   sin    sin 
2
2

2
 sin      sin  cos   cos sin 
→－
sin     sin  cos   cos sin 

三角関数（復習⑦：和⇔積の公式）
加法定理より，
sin x  y   sin x cos y  cos x sin y
sin x  y   sin x cos y  cos x sin y
ここで，
 
 
x
, y
2
2
とおくと，
  x  y,   x  y
sin   sin
 
cos
 
 cos
 
sin
 
2
2
2
2
 
 
 
 
sin   sin
cos
 cos
sin
2
2
2
2
三角関数（復習⑧：和⇔積の公式）
以上より，
 
 
 
 
sin   sin
cos
 cos
sin
2
2
2
2
 
 
 
 
sin   sin
cos
 cos
sin
2
2
2
2
よって，
sin   sin   2 sin
 
cos
 
2
2
 
 
sin   sin   2 cos
sin
2
2
三角関数（復習⑨：和⇔積の公式）
同様に余弦の加法定理から以下の関係が得られ
る．
 
 
cos  cos   2 cos
cos
2
2
 
 
cos  cos   2 sin
sin
2
2
また，これらの関係を利用して，積→和の関係
を求めることができる．
三角関数（復習⑨：その他）
cos2   sin 2   1
sin 
tan 
cos
1
cos '   sin  , sin  '  cos , tan '  2
cos 
sin x
lim
1
x 0
x
2p
2p
2p
0
0
0
 cosd  0,
2
cos
 d  p ,
 cos d  4
常微分方程式（復習①）
定数係数の2階の同次方程式
d2y
dy
 a  by  0
2
dx
dx
上式の3つの項が0となるためには→「ある関数
を何回微分しても，関数の形が変わらない」
→
x
y  e はこの条件を満足．
y'  e x , y"  2 e x を代入すると・・・，
  a  b  0
2
（特性方程式）
常微分方程式（復習②）
(I)特性方程式が二つの異なる実根をもつ場合
ex) y" y'2 y  0
特性方程式
： 2    2  0
特性方程式の解：
  1,  2
x
2 x
基底
： y1  e , y2  e
x
2 x
一般解
： y  c1e  c2 e
常微分方程式（復習③）
(II)特性方程式が二つの共役複素根をもつ場合
ex) y"2 y'10y  0
特性方程式
： 2  2  10  0
特性方程式の解：   1  3i, 1  3i
基底： y1  e x 3 xi  e x e 3 xi  e x cos3x  i sin 3x 
y 2  e x 3 xi  e x e 3 xi  e x cos3x  i sin 3x 
常微分方程式（復習④）
実数の基底は以下のようにして求められる．




1
1 x
 y1  y 2   e cos3x  i sin 3x   e x cos3x  i sin 3x 
2
2
 e x cos3x
1
1 x
 y1  y 2   e cos3x  i sin 3x   e x cos3x  i sin 3x 
2i
2
x
 e sin 3x
一般解：
y  c1 e x cos3x  c2 e x sin 3x
安達貴浩:
常微分方程式（復習⑤）
(III)特性方程式が重根をもつ場合
ex) y"8 y'16 y  0
特性方程式
： 2  8  16  0
特性方程式の解：
  4
4 x
4 x
基底
：
y1  e , y2  x e
4 x
4 x
一般解
： y  c1e  c2 x e
演習①
１）右の図のr, x, yを用いて以下の値を
記述しなさい．
r
sin  , cos , tan , cot , sec , cosec
２）以下の加法定理を完成
させなさい．
余角
y
角
x
sin   , sin   , cos   , cos   
３）以下の和→積の公式を完成させなさい．
sin   sin  , sin   sin 
cos  cos  , cos  cos 
演習②
1  cos x
４） lim
?
x 0
x
2p
2p
0
0
2
cos
 d  ?,
 cos d  ?
５）以下を証明しなさい．
cos '   sin 
６）フーリエ級数，フーリエ積分はそれぞれどの
ような関数に適用可能か？
演習③
７）以下の常微分方程式の一般解を求めなさ
い．
i) y"8 y'16y  0
ii) y"25y  0
８）以下の式を簡単にせよ．
sin( ), cos( ), tan( )
p
p
p
sin(   ), cos(   ), tan(   )
2
2
2
sin(p   ), cos(p   ), tan(p   )
解答1)
イ）正弦
ロ）正接
ハ）正割
ニ）余弦
ホ）余接
へ）余割
y
sin  
r
y
tan  
x
r
1
sec   
x cos 
x
cos  
r
x
1
cot  
y tan
r
1
cosec  
y sin 
余角
r
y
角
x
解答2)
加法定理
sin      sin  cos   cos sin  (1)
sin      sin  cos   cos sin  (2)
cos     cos cos   sin  sin  (3)
cos     cos cos   sin  sin  (4)
解答3)
sin   sin   2 sin
 
cos
 
2
2
 
 
sin   sin   2 cos
sin
2
2
cos  cos   2 cos
 
cos
 
2
2
 
 
cos  cos   2 sin
sin
2
2
解答4)
 x
1  (1  2 sin  )
1  cos x
2

lim
 lim
x 0
x 0
x
x
2 x 
2 x 
2 sin  
sin  
2
2


 lim
 lim
x 0
x 0
x
x
2
2 x 
sin  
2 x

(ロピタルの定理
 lim

1

0

0
2
x 0
 x 2
でも証明可）
 
2
2
解答4)
1.5
1
0.5
cosq
cos2q
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.628 1.256 1.884 2.512 3.14 3.768 4.396 5.024 5.652 6.28
2p
2p
0 cos d  2  p
2
p /2
 cosd  sin  
p /2
0
0
2p
1
 cos d  4
0
解答5)
cos     cos
 d cos  
cos '  
  lim
d   0


cos cos   sin  sin    cos
（加法定理）
 lim
 0

cos cos   1
sin  sin  
 lim
 lim
（問題4)）
 0



0


  sin 
解答6)，7), 8)
6) フーリエ級数：周期関数
フーリエ積分：非周期関数（±∞で0）
7)
i) y  (c1  c2 x)e 4 x
ii) y  A cos5x  B sin 5x
8)
sin( )   sin  , cos( )  cos , tan( )   tan
p
p
p
sin(   )  cos , cos(   )  sin  , tan(   )  cot
2
2
2
sin(p   )  sin  , cos(p   )   cos , tan(p   )   tan

Download Report