スライド 1

e 展開を用いた
ユニタリー・フェルミ気体の研究
西田祐介 (INT, ワシントン大学)
1. 実験的背景：ユニタリー・フェルミ気体
2. 理論：e 展開の定式化 (e = 4-d, d-2)
3. LO + NLO での結果
4. まとめと結論
“e expansion for a Fermi gas at infinite scattering length”
Y. N. & D. T. Son, Phys. Rev. Lett. 97, 050403 (2006)
Phys. Rev. A 75, 063617 (2007)
Y. N., Phys. Rev. A 75, 063618 (2007)
フェルミ粒子からなる様々な系
引力相互作用

超伝導・超流動
金属超伝導 (電子)
Kamerlingh Onnes (1911), Tc = ~9.2 K
BCS
 液体ヘリウム3
theory
Lee, Osheroff, Richardson (1972), Tc = 1~2.6(1957)
mK

高温超伝導 (電子 or ホール)
Bednorz and Müller (1986), Tc = ~160 K

冷却原子気体 (40K, 6Li)
Regal, Greiner, Jin (2003), Tc ~ 50 nK
• 核物質 (中性子): ?, Tc ~ 1 MeV
• カラー超伝導 (クォーク): ??, Tc ~ 100 MeV
2/15
フェッシュバッハ共鳴
原子気体
C.A.Regal and D.S.Jin,
Phys.Rev.Lett. (2003)
3/15
実験環境を自由にデザイン（統計性、分極、格子、・・・）
原子間の引力の強さを外磁場によって任意に制御できる
S波散乱長 “a” :  [0, ]
a (rBohr)
フェッシュバッハ共鳴
ゼロ束縛エネルギー
a>0
|a|
束縛分子
を形成
a<0
束縛状態なし
40K
引力大 a+0
B (Gauss)
引力小 a-0
BCS-BEC クロスオーバー
Eagles (1969), Leggett (1980)4/15
Nozières and Schmitt-Rink (1985)
?
強結合領域
-
超流動相
+
0
原子気体のBCS状態
束縛分子のBEC状態
弱い引力 : akF-0
弱い斥力 : akF+0
ユニタリー・フェルミ気体
• 強結合極限 : |akF|
• 原子気体 @ フェッシュバッハ共鳴
強結合系のプロトタイプ（高温超伝導、クォーク物質、・・・）
原子気体
強相関量子多体系を議論する理想的な環境
ユニタリー・フェルミ気体
George Bertsch (1999),
“Many-Body X Challenge”
原子気体 @ フェッシュバッハ共鳴 : r0 << kF-1 << |a|
散乱長が無限大 (a ) のコンタクト相互作用
(r0 0) をするスピン1/2のフェルミ粒子
強結合極限 akF= : 摂動展開は破綻
展開パラメータがないため解析計算は難しい
• これまでのアプローチ…
1. 平均場近似（+揺らぎ）
2. モンテ・カルロ数値シュミレーション
…
• 空間次元による系統的な展開
e 展開
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e 展開によるアプローチ (e = 4-d, d-2)
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g
d=4
BCS
-
強結合の
ユニタリー領域
g
d=2
• d4 : 弱く相互作用する
フェルミ & ボーズ粒子の系
有効結合定数 : g~(4-d)1/2
BEC
+
• d2 : 弱く相互作用する
フェルミ粒子の系
有効結合定数 : g~(d-2)
様々な物理量について、“4-d” あるいは “d-2” を
展開パラメータとする系統的な“摂動”展開が可能
場の理論を用いた定式化
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コンタクト相互作用する
スピン1/2のフェルミ粒子 :
真空中での2体散乱 (ゼロ密度 m=0)

(p0,p) 
iT
=
1
n

一般の空間次元 d でのT行列
“a”
散乱振幅は d=2,4,… にゼロ点を持つ
ゼロ相互作用極限に対応
d=4, d=2 近傍での振る舞い
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d=4-e (e<<1) のときのT行列
= ig
iT
ig
iD(p0,p)
フェルミ & ボーズ
粒子間は弱い結合
g = (8p2 e)1/2/m
d=2+e (e<<1) のときのT行列
ig
iT
=
フェルミ粒子間は
弱い結合
g = 2p e/m
計算例１：有効ポテンシャル（NLO）
• d=4 近傍での有効ポテンシャルとギャップ方程式
Veff (0,m) =
+
+ O(e2)
+
O(e)
O(1)
• d=2 近傍での有効ポテンシャルとギャップ方程式
Veff (0,m) =
+ O(e2)
+
O(1)
O(e)
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ゼロ温度での状態方程式
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• ユニタリー・フェルミ気体の状態方程式
１粒子当たりのエネルギー :
• d=4, d=2 近傍での普遍パラメータ x
状態方程式の e (=4-d, d-2) を用いた系統的な展開 !
計算例２：超流動中の準粒子
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• フェルミ準粒子の分散関係 : w(p)
NLO 自己エネルギー
- i S(p) =
e =4-d による展開
or
O(e)
O(e)
エネルギー・ギャップ :
対応する運動量 :
e =d-2 による展開
0
d=4-e から空間次元３への外挿
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• LO + NLO の結果を e=1 に外挿
NLO項は
LO項と
比べて
小さい
5 ~ 35 %
モンテ・カルロ数値シュミレーションの結果とよく一致
J.Carlson and S.Reddy,
Phys.Rev.Lett.95, (2005)
cf. d=2+e から d=3 へ外挿
NLO項はLO項の100 %
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4-d展開と d-2展開のマッチング
• ボレル変換 + パデ近似子
“4-d” による展開
x
♦=0.42
“d-2” による展開結果
2d
• d=3 に内挿した結果
4d
d
超流動相転移の臨界温度
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• 4-d, d-2 展開による臨界温度
NLOの補正項は
小さい ~4 %
• d=3 に内挿した結果
Tc / eF
4d
数値シュミレーション
• Bulgac et al. (’05): Tc/eF = 0.23(2)
• Lee and Schäfer (’05): Tc/eF < 0.14
• Burovski et al. (’06): Tc/eF = 0.152(7)
• Akkineni et al. (’06): Tc/eF  0.25
2d
d
まとめと結論
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1. ユニタリー・フェルミ気体の問題は
e =4-d, d-2 を使って“摂動論”的に解ける！
• d=4 近傍では、弱く相互作用するフェルミ & ボーズ粒子の系
• d=2 近傍では、弱く相互作用するフェルミ粒子の系
2. 様々な物理量 (x, D, e0, Tc ,…) を LO+NLO で計算
• 4-d 展開の NLO項は LO項に比べて十分小さい
• d=3 に外挿した結果は、MCシミュレーションとよく一致
弱く相互作用するフェルミ & ボース粒子の系
というユニタリー・フェルミ気体の描象は
現実の d=3 でもよい出発点かもしれない
3. 今後の課題
• 高次補正項の計算 + e 展開の解析的性質の理解
信頼できる定量的な方法へ
16/15
Back up slides
d=4 と d=2 の特殊性
Z.Nussinov and S.Nussinov,
cond-mat/0410597
2体の（s波）相対波動関数
ユニタリー極限 ( a ) での規格化積分
は d4 のとき
原点 (r0) で発散
2体の相対波動関数は原点に集中
ユニタリー・フェルミ気体は
d4 で自由なボーズ気体に帰着
d2 では、どんな引力ポテンシャルも束縛状態を持つ
“a” はゼロ相互作用に対応
d2 で自由なフェルミ気体に帰着
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e展開の結果（NLO）と比較
• 基底状態のエネルギー
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MC
平均場
数値計算近似
0.475
~0.42
0.591
~1.2
1.16
~0.58
0.699
~ 0.25
0.500
• フェルミ準粒子の励起エネルギー・ギャップ
1.31
• 凝縮の割合
0.661
• 臨界温度
0.249
数値計算と定量的に近い・平均場近似より改善
NNLO correction for x
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• NNLO correction for x
Arnold, Drut, Son, Phys.Rev.A (2006)
Nishida, Ph.D. thesis (2007)
x
Fit two expansions
using Padé approximants
Interpolations to 3d
• NNLO 4d + NNLO 2d
cf. NLO 4d + NLO 2d
d
Unitary Fermi gas
George Bertsch (1999),
“Many-Body X Challenge”
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Atomic gas : r0 =10Å << kF-1=100Å << |a|=1000Å
What are the ground state properties of
the many-body system composed of
spin-1/2 fermions interacting via a zero-range,
infinite scattering length contact interaction?
0 r0 << kF-1 << a 
kF-1
kF is the only scale !
Energy
per particle
r0
x is independent of systems
V0(a)
cf. dilute neutron matter
|aNN|~18.5 fm >> r0 ~1.4 fm
Universal parameter x
• Strong coupling limit
Perturbation akF=
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• Difficulty for theory
No expansion parameter
Models • Mean field approx., Engelbrecht et al. (1996): x<0.59
• Linked cluster expansion, Baker (1999):
• Galitskii approx., Heiselberg (2001):
• LOCV approx., Heiselberg (2004):
• Large d limit, Steel (’00)Schäfer et al. (’05):
Simulations • Carlson et al., Phys.Rev.Lett. (2003):
• Astrakharchik et al., Phys.Rev.Lett. (2004):
• Carlson and Reddy, Phys.Rev.Lett. (2005):
x=0.3~0.6
x=0.33
x=0.46
x=0.440.5
x=0.44(1)
x=0.42(1)
x=0.42(1)
Experiments Duke(’03): 0.74(7), ENS(’03): 0.7(1), JILA(’03): 0.5(1),
Innsbruck(’04): 0.32(1), Duke(’05): 0.51(4), Rice(’06): 0.46(5).
No systematic & analytic treatment of unitary Fermi gas
Lagrangian for e expansion
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• Hubbard-Stratonovish trans. & Nambu-Gor’kov field :
=0 in dimensional regularization
Ground state at finite density is superfluid :
Expand
with
• Rewrite Lagrangian as a sum : L = L0+ L1+ L2
Boson’s kinetic
term is added,
and subtracted here.
Feynman rules 1
• L0 :
Free fermion quasiparticle  and boson 
• L1 :
Small coupling “g”
between  and 
(g ~ e1/2)
Chemical potential
insertions (m ~ e)
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24/15
Feynman rules 2
• L2 :
“Counter vertices” to
cancel 1/e singularities
in boson self-energies
1.
k
p
O(e)
2.
p
+
= O(e)
p
+
= O(em)
p+k
k
p
O(em)
p+k
Power counting rule of
1. Assume
and consider
e
25/15
justified later
to be O(1)
2. Draw Feynman diagrams using only L0 and L1
3. If there are subdiagrams of type
or
add vertices from L2 :
4. Its powers of
or
e will be Ng/2 + Nm
5. The only exception is
Number of m insertions
Number of couplings “g ~ e1/2”
= O(1)
O(e)
Expansion over e = d-2
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Lagrangian
Power counting rule of e
1. Assume
and consider
justified later
to be O(1)
2. Draw Feynman diagrams using only L0 and L1
3. If there are subdiagrams of type
add vertices from L2 :
4. Its powers of
e will be Ng/2
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Hierarchy in temperature
At T=0, D(T=0) ~ m/e >> m
2 energy scales
(i) Low : T ~ m << DT ~ m/e
D(T)
• Fermion excitations are suppressed
• Phonon excitations are dominant
(i)
(ii)
(iii)
T
0
(ii) Intermediate : m < T < m/e
(iii) High : T ~ m/e >> m ~ DT
• Condensate vanishes at Tc ~ m/e
• Fermions and bosons are excited
~m
Tc ~ m/e
Similar power counting
• m/T ~ O(e)
• Consider T to be O(1)
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Large order behavior
• d=2 and 4 are critical points
free gas 2
3
4
r0≠0
• Critical exponents of O(n=1) 4 theory (e=4-d  1)
g
O(1)
+e1
+e2
+e3
+e4
+e5
Lattice
1
1.167
1.244
1.195
1.338
0.892
1.239(3)
• Borel transform with conformal mapping
g=1.23550.0050
• Boundary condition (exact value at d=2)
g=1.23800.0050
e expansion is asymptotic series but works well !
e expansion in critical phenomena
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Critical exponents of O(n=1) 4 theory (e=4-d  1)
O(1)
g

1
0
+e1
1.167
0
+e2
+e3
+e4
+e5
Lattice
Exper.
1.239(3)
1.240(7)
1.22(3)
1.24(2)
0.0185 0.0372 0.0289 0.0545 0.027(5)
0.016(7)
0.04(2)
1.244
e expansion is
1.195
1.338
0.892
• Borel summation with conformal mapping
g=1.23550.0050 & =0.03600.0050
asymptotic series
but works well ! • Boundary condition (exact value at d=2)
g=1.23800.0050 & =0.03650.0050
How about our case???
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Critical temperature
• Gap equation at finite T
Veff =
+
+
+ m insertions
• Critical temperature from d=4 and 2
NLO correction
is small ~4 %
Simulations :
• Bulgac et al. (’05):
Tc/eF = 0.23(2)
• Lee and Schäfer (’05): Tc/eF < 0.14
• Burovski et al. (’06): Tc/eF = 0.152(7)
• Akkineni et al. (’06): Tc/eF  0.25
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Matching of two expansions (Tc)
Tc / eF
• Borel + Padé approx.
4d
• Interpolated results to 3d
2d
d
NLO e1
2d + 4d
Bulgac et al.
Burovski et al.
Tc / eF
P / eFN
E / eFN
m / eF
S/N
0.249
0.135
0. 212
0.180
0.698
0.183
0.172
0.270
0.294
0.642
0.23(2)
0.27
0.41
0.45
0.99
0.152(7)
0.207
0.31(1)
0.493(14)
0.16(2)
Comparison with ideal BEC
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• Ratio to critical temperature in the BEC limit
Boson and fermion contributions to fermion density at d=4
• Unitarity limit
1 of 9 pairs is dissociated
• BEC limit
all pairs form molecules
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Polarized Fermi gas around d=4
• Rich phase structure near unitarity point
in the plane of
and
: binding energy
Polarized normal state
Gapless superfluid
1-plane wave
FFLO : O(e6)
Gapped superfluid
BCS
BEC
unitarity
Stable gapless phases (with/without spatially varying
condensate) exist on the BEC side of unitarity point

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