2009年度 電磁波工学 電磁波 アンテナ 2009年度 電磁波工学 - A - 1 直角座標系(x,y,z)→球座標系(r, , ) r[直角座標系から球座標系への変換] ・・・ 半径方向距離 ・・・あおり角 A A sin cos A cos cos A sin ・・・ 回転角 y 座標変換 z Ay 円筒座標系 Acos ˆ A xˆ A yˆ A zˆ A x y z x z zˆ A A Az r u x rˆ ˆ A A zˆ xˆ Ax x x 直角座標での右手系とは・・・ ˆ rˆAArˆˆ AAˆ ˆA ˆ A A ˆ A zˆ Ar A -Asin Ax ˆ Az A ˆ A r Ay Ar sin sin A cos sin A cos A zAz Ar cos Az sin -Asin (p/2)- xˆ rˆ sin cos θˆ cos cos ˆ sin ˆ z ˆ cos r A yˆ rrˆsin sin θ cos sin A rz ˆ zˆ rˆ cos θ sin Au Arcos A A -sin Acos A Ar Ax sin cos Ar-y sin Azy cos rˆ A Ax cos cos Ay cos sin Azysin A cos sin A Ax sin Ay cos u A sin r Ar Aru [球座標系でのベクトル微分演算] - Ar Ay Acos A ry Ax y 1 A 1 1 A sin sin A sin ˆ A ˆ divA r 2rA r 2 yA cosr cos r sin y r r sin 1 A ˆ A ˆ rˆ 1 rotA r sin A sin r sin Arsin (p/2)- 1 Ar 1 Arx rA u θˆx u sincos r sin r r A r u 1 rA 1 Ar ˆ r r r A V ˆ 1 V 1 V ˆ ˆ grad V r θ r x r r sin u x方向からy方向へ右ねじを回した際に進む方向がz方向に一致する。 yˆ θˆ 2009年度 電磁波工学 2 - Ar - 球座標系成分の直角座標系成分 との関係 z -Asin Arcos Ar Arsin Arsin sin (p/2)- A - A - Arsin Arsincos (p/2)- y Acos A coscos Acos u Acos sin y A x u u x Ar x, y, z成分 A x, y, z成分 A x, y成分 - A - 関数の勾配 xˆ yˆ zˆ x y z y (ベクトル量 ) ˆ dx yˆ dy zˆ dz 方向への関数 (x, y, z) ※ drˆ x の変化量を表す。 Acos A u x -Asin 2009年度 電磁波工学 3 ベクトルの回転(ベクトル量) ベクトルの発散(スカラ量) A lim V 0 A nˆ dS S nˆ A lim V A tˆdl C S 0 ※ ベクトルAのわき出し(発散)量を表す。 ※ベクトルAの回転量を表す。 V ・・・ ある微小体積, S S ・・・ Vを覆う表面, C dS ・・・ V上の微少面積, nˆ ・・・ 面Sの単位法線ベクトル A Ay Az A x (スカラ量), x y z S dl tˆ x A x Ax ・・・ ある微小平面 ・・・ Sを囲む周 ・・・ 周上の微少距離 ・・・ 閉路Cの単位接線ベクトル y z x Az Ay y Ax Az z Ay Ax y y z z z x x y Ay Az (ベクトル量) 直角座標系 A B A B A B sin 積分変換 ˆ dv A ˆ nˆ dS ガウスの発散定理 A V S (体積積分 面積分) ˆ ˆ ˆ A nˆ dS A tdl ストークスの定理 S C (面積分 線積分) B A 2009年度 電磁波工学 4 [問題1] 以下の恒等式を球座標系で証明しなさい。なお,各式の両辺 ˆ はベクトル関数, はベクトル量かスカラー量かも示しなさい。ただし,A はスカラ関数である。 ˆ 0 A 0 (ベクトル量)≠(スカラ量) に注意!! [問題2] ある閉曲面S(S上の微小面積dS)が囲む微少体積V中に存 在する電荷量(電荷密度はr)の変化と電流密度ベクトルi の間の関係 からベクトルi の発散(ダイバージェンス)の意味を説明しなさい。 ([補足-1]の右上図参照) [問題3] ある有限な平面Sとその周を表すC(C上の微小線要素dl)を 用いてベクトルAの回転(ローテーション)の意味を説明しなさい。 ( [補足-1]の右上図参照) [問題4] 電磁気学で学んだAmpereの法則とFaradayの法則とはどの 様な法則であったか?それぞれ簡単に説明出来るように調べなさい。 2009年度 電磁波工学 5 時間変化 i2 i1 する電流 [電荷の保存則] n を含む S 矛 式(4)の両辺の発散を取れば 盾 ベクトル恒等式より次式を得る。 t C i 0 (5) 定常電流 i ˆ nˆ dS A ˆ tˆdl ストークスの定理 A Maxwellの方程式 S C H t dl i n dS Ampereの法則 C S (1) ストークスの定理を用いて線積分(左辺)を面積分に変換 H t dl H n dS H n dS i n dS C 式(2)を(1)へ代入して (2) S S H i (4) 被積分項を比較すると次式が得られる。 D r:電荷密度 H i ˆ nˆ dS ˆ ˆ C A t D:電束密度ベクトル A tdl ストークスの定理 (8) B Faradayの法則 E t dl C S t n dS 電位 D r ストークスの定理を用いて線積分(左辺)を面積分に変換 (9) S C iD 被積分項を比較すると次式が得られる。 i C (6' ) E ※ 電流や電荷量が時間的に変化す る場合を考慮するために変位電流 iD D t を導入することで B2 B:磁束密度ベクトル E t dl t t E n dS (10) C S D B i C (011) n idS i E dS 式(6)を(5)へ代入して C i C n S S t t B t (5' ) [電流連続の式] (3) S r t ( 6) B1 D i iC i D iC nt S t C B 0 (13) D r (12 ) 式(8),(12),(13),及び(14)を一組としてMaxwellの方程式と呼ぶ。 (14) (7) コイル 2009年度 電磁波工学 復習+追加 境界条件 ・ 電磁界(E,H)の境界面に対する接線成分が連続である。 ・ Maxwellの方程式+境界条件で電磁界分布を決定出来る。 (境界値問題) 境界面に電荷の蓄積や 電流が存在しない場合。 媒質定数 ˆ E ˆ , 8.8541012 [ F / m] 誘電率 D r 0 0 ˆ H ˆ , (一般に) 4p 107 [ H / m] 透磁率 B 0 0 ˆi E ˆ C [S/m] 導電率 , による媒質の分類 (1) (2) (3) (4) 位置の関数 ・・・ 非(不)均一 ⇔ 均一 周波数の関数 ・・・ 周波数特性 → 分散性 |E|,|H|の関数 ・・・ 非線形媒質 ⇔ 線形媒質 E,Hの方向により変化する関数 ・・・ 異方性(偏波の影響) ⇔ 等方性 6
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