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2009年度電磁波工学
電磁波
アンテナ
2009年度電磁波工学
- A -
1
直角座標系(x,y,z)→球座標系(r, , )
r［直角座標系から球座標系への変換］
･･･半径方向距離
 ･･･あおり角
A  A sin  cos  A cos cos  A sin 
 ･･･回転角
y
座標変換
z
Ay
円筒座標系
Acos
ˆ  A xˆ  A yˆ  A zˆ
A
x
y
z
x
z
zˆ
A
 A
Az r
u
x
rˆ
ˆ
A
A
zˆ
xˆ
Ax
x
x
直角座標での右手系とは･･･
ˆ rˆAArˆˆ AAˆ
ˆA
ˆ A
A
ˆ A zˆ
Ar
A
-Asin
Ax
ˆ
Az A
ˆ
A
r
Ay  Ar sin  sin   A cos sin   A cos
A
zAz  Ar cos  Az sin 
-Asin
(p/2)-
xˆ  rˆ sin  cos  θˆ cos cos  ˆ sin 
ˆ
z   ˆ cos
r A yˆ rrˆsin sin θ cos sin
A
rz
ˆ
zˆ  rˆ cos  θ sin 
Au
Arcos

A A -sin Acos
A
Ar  Ax sin  cos  Ar-y sin
Azy
cos
rˆ
A  Ax cos cos  Ay cos sin   Azysin 
A cos sin

A   Ax sin   Ay cos
u
A
sin

r
Ar
Aru
［球座標系でのベクトル微分演算］
- Ar Ay
Acos
A
ry
Ax
y    1 A
1

1
A
sin
 sin  A sin
ˆ  A
ˆ 

divA
r 2rA
r 
2

yA cosr cos
r sin  
y r  r sin  

1 A 

ˆ   A
ˆ  rˆ  1
rotA
 r sin   A sin    r sin   

Arsin (p/2)- 
 1 Ar 1 
Arx
rA u
 θˆx

u sincos  r sin
   r r 
A
r
u
1 
rA   1 Ar 
 ˆ 
r  
 r r
A
V ˆ 1 V
1 V
ˆ
ˆ
grad V  r
θ

r x r 
r sin   u
x方向からｙ方向へ右ねじを回した際に進む方向がz方向に一致する。
yˆ
θˆ
2009年度電磁波工学
2
- Ar -
球座標系成分の直角座標系成分
との関係
z
-Asin
Arcos

Ar
Arsin
Arsin sin
(p/2)-
A
- A -
Arsin
Arsincos
(p/2)-

y
Acos
A coscos 
Acos
u
Acos sin
y
A
x
u
u
x
Ar  x, y, z成分 A  x, y, z成分 A  x, y成分
- A -
関数の勾配
  xˆ



 yˆ
 zˆ
x
y
z
y
(ベクトル量 )
ˆ dx  yˆ dy  zˆ dz 方向への関数 (x, y, z)
※ drˆ  x
の変化量を表す。
Acos

 A

u
x
-Asin

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3
ベクトルの回転(ベクトル量)
ベクトルの発散(スカラ量)
  A  lim
V  0
 A  nˆ dS
S
nˆ    A  lim
V
 A  tˆdl
C
S 0
※ ベクトルAのわき出し（発散）量を表す。
※ベクトルAの回転量を表す。
V
・・・ある微小体積，
S
S
・・・ Vを覆う表面，
C
dS
・・・ V上の微少面積，
nˆ
・・・面Sの単位法線ベクトル
A Ay Az
A  x 

(スカラ量），
x
y
z
S
dl
tˆ
x
 A  
x
Ax
・・・ある微小平面
・・・ Sを囲む周
・・・周上の微少距離
・・・閉路Cの単位接線ベクトル
y
z

  x Az  Ay   y Ax  Az   z Ay  Ax 
 y
y
z
z   z
x   x
y 

Ay
Az
(ベクトル量）
直角座標系
A  B  A  B  A B sin
積分変換

ˆ dv   A
ˆ  nˆ dS ガウスの発散定理


A


V
S
（体積積分  面積分）

 ˆ ˆ
ˆ
   A  nˆ dS   A  tdl ストークスの定理
S
C
（面積分  線積分）
B

A
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4
[問題１] 以下の恒等式を球座標系で証明しなさい。なお，各式の両辺
ˆ はベクトル関数， 
はベクトル量かスカラー量かも示しなさい。ただし，A
はスカラ関数である。
ˆ 0
 A
    0
（ベクトル量）≠（スカラ量）
に注意！！
[問題２] ある閉曲面S(S上の微小面積dS)が囲む微少体積V中に存
在する電荷量（電荷密度はr）の変化と電流密度ベクトルi の間の関係
からベクトルi の発散（ダイバージェンス）の意味を説明しなさい。
（［補足-1］の右上図参照）
[問題３] ある有限な平面Sとその周を表すC(C上の微小線要素dl)を
用いてベクトルAの回転（ローテーション）の意味を説明しなさい。
（［補足-1］の右上図参照）
［問題４］電磁気学で学んだAmpereの法則とFaradayの法則とはどの
様な法則であったか？それぞれ簡単に説明出来るように調べなさい。
2009年度電磁波工学
5
時間変化
i2
i1
する電流
［電荷の保存則］
n を含む
S
矛
式(4)の両辺の発散を取れば
盾
ベクトル恒等式より次式を得る。
t
C
  i  0 (5) 定常電流
i  

ˆ  nˆ dS   A
ˆ  tˆdl ストークスの定理


A
Maxwellの方程式


S
C
 H  t dl   i  n dS
Ampereの法則
C
S
(1)
ストークスの定理を用いて線積分（左辺）を面積分に変換
 H  t dl     H  n dS
   H  n dS   i  n dS
C
式(2)を(1)へ代入して
(2)
S
S
  H  i (4)
被積分項を比較すると次式が得られる。
D
 r：電荷密度



H

i

ˆ  nˆ dS 
ˆ ˆ
C
 A
t
 D：電束密度ベクトル
 A  tdl ストークスの定理
(8)
B
Faradayの法則
E

t
dl


C
S t  n dS
電位 D r
ストークスの定理を用いて線積分（左辺）を面積分に変換
(9)
S
C
 iD   


被積分項を比較すると次式が得られる。


   i C (6' )
E  
※ 電流や電荷量が時間的に変化す
る場合を考慮するために変位電流
iD 
D
t
を導入することで
B2
B：磁束密度ベクトル
E  t dl t t  E  n dS (10)
C
S
D  B

 i C (011)
 n idS
i E
dS
式(6)を(5)へ代入して 
C      i C n
S
S

t

 t

B
t
(5' )
［電流連続の式］
(3)
S
r
t
( 6)
B1
D
i  iC  i D  iC 
nt
S
t
C
  B  0 (13)
D  r
(12 )
式(8)，(12)，(13)，及び(14)を一組としてMaxwellの方程式と呼ぶ。
(14)
(7)
コイル
2009年度電磁波工学
復習＋追加
境界条件
・電磁界（E,H)の境界面に対する接線成分が連続である。
・ Maxwellの方程式＋境界条件で電磁界分布を決定出来る。
（境界値問題）
境界面に電荷の蓄積や
電流が存在しない場合。
媒質定数
ˆ  E
ˆ ,       8.8541012 [ F / m]　誘電率
D
r 0
0
ˆ  H
ˆ ,    (一般に)   4p 107 [ H / m]　透磁率
B
0
0
ˆi  E
ˆ
C
[S/m]　導電率
,  による媒質の分類
(1)
(2)
(3)
(4)
位置の関数･･･非（不）均一
⇔ 均一
周波数の関数･･･周波数特性 → 分散性
|E|，|H|の関数･･･非線形媒質
⇔ 線形媒質
E，Hの方向により変化する関数･･･異方性(偏波の影響) ⇔ 等方性
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