公共経済学

17．年金 2（年金改革）
17.1
人口変化のモデル：２世代重複モデル
17.2
積立率とフェア年金
17.3 賦課方式から積立方式への移行と二重の負担
17.4 修正積立方式から賦課方式への移行
17.5
補論 1*：年金純債務と国債残高
17.6
補論 2*：公的年金の収益率と第 t 世代の効用変化
1
2
3
4
17.1
人口変化のモデル：２世代重複モデル
人口の成長率が一定でないケースにおける年金改革の問題について検討しよう。
年金改革とは何かを説明するために、公的年金の給付財源の相違について着目してみよう。
公的年金におけるある世代への年金給付の財源は
① その世代が積み立てた保険料
② 次の世代に賦課する(負担させる)保険料
の 2 つに分けることができる。
ある世代の公的年金の方式は、その世代の年金給付の財源に占める①と②の割合で定まる。
たとえば、
「①が 100％」＝その世代の公的年金は(完全な)積立方式
「②が 100％」＝その世代の公的年金は賦課方式
5
第 t 世代からある方式の公的年金を「導入」
＝第 t 世代以降の世代の給付をその方式で賄う公的年金にすること
第 t 世代である方式の公的年金を「廃止」
＝第 t 世代まででその方式の公的年金を終了すること
A 方式の公的年金から、t 期に B 方式の公的年金へ「移行」
＝第 t-1 世代で A 方式の公的年金を廃止し
第 t 世代から B 方式の公的年金を導入すること
「年金改革」＝公的年金をある方式から他の方式へ移行させること
第 1 世代から(はじめて何らかの方式の)公的年金が導入されるとする。
6
第 t 世代＝t 期の期首に生まれ t+1 期の期末まで生存する世代
Lt ＝第 t 世代の人口（公的年金加入者数＝給付対象者数）
17.3 節、17.4 節、17.5 節では、第 3 世代（団塊の世代）のみが人口が多く、その他の世代
の人口は少なくて一定であるケースに着目する。具体的には、
L0  0 、 L3  2 、 L1  L2  L4  L5    1
であるとする。
 ＝１人あたり年金受給額（給付水準）は各世代共通（確定給付）
以下の議論では、単純化のため、利子率（=市場収益率）はゼロとする。すなわち、民間資
産の収益率も国債（公債）の収益率もゼロであるとする。
7
期
世代
１
２
１
２
b1

b2
３
４
５
６

b3

b3

３
４
５
b4

b5

8
17.2 積立率とフェア年金
第 t 世代が年金加入者(受給者)であれば、第 t 世代は t+1 期に政府から年金給付を受ける「受
給権」を持つことになる。すなわち、
・ (政府が年金加入者に対して負っている加入者)1 人あたりの年金債務＝ 
・政府が第 t 世代に対して負っている「年金債務」＝ Lt
btF ＝ (将来の年金給付のために積み立てている第 t 世代の加入者)1 人あたり年金積立残高
＝t 期末における年金積立残高
Funded Pension
政府が第 t 世代に対して負っている「年金純債務」
（＝積立不足分）＝ Lt (  btF )
9
第 t 世代のための（ｔ期末における年金）積立率（＝年金積立残高／年金債務）を f t は、
F
ft 
bt

(17-1)
と定義される。
・
「(完全)積立方式」＝第 t 世代の公的年金は、積立率が 100%（ f t ＝1）
・
「賦課方式」＝積立率が 0%（ f t ＝0）
・
「修正積立方式」＝積立率が 0%と 100%の間（0＜ f t ＜1）
10
第 t 世代の積立残高の不足分   btF を補うための第 t+1 世代の（1 人あたり）保険料を btP1
とおけば、第 t 世代の積立不足分は Lt (  btF ) だから、
Lt 1  bt 1  Lt (  bt )
P
F
が成り立つ。
(17-2)
Pay-as-you-go Pension
したがって、(17-1)と(17-2)より
btP1 
Lt
(1  f t )
Lt 1
(17-3)
である。
11
第ｔ世代の青年期における（＝ｔ期の）１人あたり年金保険料（負担額） bt は、
bt  btF  btP
(17-4)
と表され、第ｔ世代の公的年金の純便益 g t と収益率を t は、それぞれ
g t    bt
g
t  t
bt
(17-5)
(17-6)
と定義できる。
「第 t 世代にとって公的年金がフェアである」
＝「第 t 世代の公的年金の収益率が市場収益率（＝ゼロ）に等しい（  t  0 ）
」こと
したがって、第 t-1 世代と第 t 世代が積立方式の公的年金であれば、 btP  0 かつ btF   だ
から、第 t 世代の公的年金はフェア年金である（  t  0 ）
。
また、 t  0 であれば、公的年金の拡充(  の増加)で第 t 世代の効用が上昇することについ
ては、補論 2 で説明する。
12
L0  0 、 L3  2 、 L1  L2  L4  L5    1
17.3 賦課方式から積立方式への移行と二重の負担
賦課方式の公的年金のもとでの収益率について検討するために、第 1 世代から賦課方式の公
的年金が導入されたとする（ 0  f1  f 2  ）
。このとき、各世代の純便益 g t と収益率 t
を、  を用いて表すことができる。
（問題 17-1）表 1 の空欄を埋めなさい。また、どの世代が大きな負担をしているかを、そ
の直感的な理由とともに説明しなさい。
＜表 1＞
世代ｔ
１
２
bt
0

 /2
2

gt


0
 /2

0
0
1
1/ 2
0
t
g t    bt
t 
gt
bt
３
bt  btP 
４
Lt 1

Lt
←
５
bt 
P
Lt 1
(1  f t 1 )
Lt
13
L0  0 、 L3  2 、 L1  L2  L4  L5    1
次に、年金改革にともなう二重の負担について検討するために、第 1 世代から導入されてい
た賦課方式の公的年金から、3 期に積立方式の公的年金へ移行するとしよう
（ 0  f1  f 2 ,1  f 3  f 4  ）
。そのときの、各世代の一人あたり純便益 g t と収益率 t は
表２のようになる。したがって、移行過程で大きな負担をすることになる世代が存在する。
（問題 17-2）表 2 の空欄を埋めなさい。また、どの世代が大きな負担をしているかを、そ
の直感的な理由とともに説明しなさい。
二重の負担
＜表２＞
世代ｔ
１
２
３
４
５
btF
0
0

btP
0

 /2

0

0
bt
0

3 / 2


gt


0
 / 2
0
0
0
1/ 3
0
0
t
g t    bt
t 
gt
bt
btP 
Lt 1
(1  f t 1 )
Lt
btF  ft
14
17.4 修正積立方式から賦課方式への移行
修正積立方式のもとでの収益率を検討するために、第 1 世代から積立率 1/2 の修正積立方式
の公的年金が導入されたとする（ 1 / 2  f1  f 2   ）。そのとき、各世代の一人あたり純
便益 g t と収益率 t を、  を用いて表すことができる。
（問題 17-3）表 3 の空欄を埋めなさい。また、表 1 と表 3 を比較することで、賦課方式と
比較すると修正積立方式の場合のほうが世代間の負担の格差は小さくなっている
ことを確認しなさい。
＜表３＞
世代ｔ
１
２
３
４
５
btF
 /2
 /2
 /2
 /2
 /2
btP
0
 /2
 /4

 /2
bt
3 / 2

 /4
 / 2
0
t
1

0
0
3 / 4
gt
 /2
 /2
1/ 3
1/ 3
0
g t    bt
t 
gt
bt
btP 
Lt 1
(1  f t 1 )
Lt
btF  ft
15
修正積立方式から賦課方式への移行による収益率の変化について検討するために、第 1 世代
から導入された積立率 1/2 の修正積立方式の公的年金が、4 期に賦課方式の公的年金へ移行
したとする（ 1/ 2  f1  f 2  f 3 , 0  f 4  f 5   ）
。そのとき、各世代の一人あたり純便益
g t と収益率 t を、  を用いて表すことができる。
（問題 17-4）表 4 の空欄を埋めなさい。そして、第 4 世代以降の世代の公的年金はフェア
年金となることを確認しなさい。
＜表４＞
世代ｔ
１
２
３
b
 /2
btP
0
 /2
 /2
 /2
 /4
bt

3 / 4
gt
 /2
 /2
0
 /4
t
1
0
1/ 3
F
t
g t    bt
t 
gt
bt
btP 
Lt 1
(1  f t 1 )
Lt
４
５
0
0



0
0

0
0
btF  ft
16
17.5
補論 1*：年金純債務と国債残高
第 1 世代から導入された積立率が 1/2 の修正積立方式の公的年金制度が第 3 世代
まで継続していたとする。
「年金国債」＝年金給付財源を国庫負担で賄うために発行される国債
Bt ＝年金国債の t 期の青年１人あたりの発行額（残高）
Bt は 3 期まではゼロであるが 4 期から  / 2 であるとする（表 5、表 6 を参照）。
17
年金国債を積立資産にすることで、実質的には何ら変化なしに、修正積立方式（を
第 4 世代）から表面的に「積立方式」に移行できることを確認しよう（17.4 節参照）。
そこで、4 期以降の年金基金は、これまでの運用資産に年金国債も加えて積立方式
に移行する（ 1/ 2  f1  f 2  f 3 , 1  f 4  f 5  ）。
そのとき、各世代の一人あたり純便益 g t と収益率 t は表５のようになる。
したがって、表３と同様の収益率のまま、修正積立方式から表面的に「積立方式」
に移行できることになる。
18
（問題 17-5）表 5 の空欄を埋めなさい。
＜表５＞
世代ｔ
１
４
５
 /4

 /2

0
3 / 4
3 / 2
 /4
1

0
0
0
0
0
 / 2
1/ 3
 /2

0
0
btF
 /2
btP
0
bt
 /2
 /2
gt
t
Bt
gt    bt
t 
gt
bt
２
３
 /2
 /2
 /2
1/ 3
 /2
Lt btP  Lt 1 (1  ft 1 )  (Lt Bt  Lt 1Bt 1 )
btF  ft
19
修正積立方式の年金を維持したままで、運用資産を年金国債に入れ替えることで表面
的に「修正積立方式」を維持しつつ、実質的には賦課方式に移行できることを検討し
よう。
そのために、3 期に給付する財源の積立不足分を年金国債で賄うとともに、4 期以降
の年金給付のための資産としてはその年金国債を積み立てる（1 / 2  f1  f 2   ）。
そのとき、各世代の一人あたり純便益 g t と収益率 t は表６のようになる。
したがって、表４と同様に、第 4 世代以降の世代の公的年金はフェア年金となる。
20
（問題 17-6）表 6 の空欄を埋めなさい。
＜表６＞
世代ｔ
１
２
３
４
５
F
t
b
 /2
 /2
 /2
 /2
 /2
btP
bt
0
 /2
 /2

 /4
3 / 4
 /2

 /2

gt
 /2
0
 /4
0
0
1
0
1/ 3
0
0
0
0
t
Bt
gt    bt
0
t 
gt
bt
 /2
Lt btP  Lt 1 (1  ft 1 )  (Lt Bt  Lt 1Bt 1 )
 /2
btF  ft
21
17.6
補論 2*：公的年金の収益率と第 t 世代の効用変化
第 16 章では、どのような条件のもとで、公的年金の拡充が各世代の効用を上昇させるかに
ついて検討した。
この補論では、利子率がゼロであるが、人口成長率は一定でないケースについて、第 16 章
と同様に第 t 世代の 2 期間を通じた予算制約式を導出する。
そして、第 t 世代の公的年金の収益率 t が正( t  0 )であれば、公的年金の拡充(給付水準 
の増加)で第 t 世代の効用が上昇することを導く。
22
利子率がゼロのときの、第 t 世代の青年期と老年期の予算制約式は、それぞれ
(17-7)
ct1  Yt  st  bt
(17-8)
ct 2  st  
である。ここに、 ct1 と ct 2 はそれぞれ青年期と老年期の消費、 Yt 、 s t 、 bt はそれぞれ青年
期の労働所得、貯蓄、公的年金の保険料である（16.2 節を参照）。
このとき、 bt は


L
bt   f t  t (1  f t ) 
Lt 1


(17-9)
と表すことができる。ここに、 f t は公的年金の積立率である。
（問題 17-7）(17-1)、(17-3)、(17-4)を用いて、(17-9)を導出しなさい。
23
第 t 世代から第 t+1 世代への人口の成長率を nt とおく。すなわち、nt  ( Lt 1  Lt ) / Lt であ
る。そのとき、 (17-7)、(17-8)、(17-9)を用いれば、第 t 世代の 2 期間を通じた予算制約式
は
ct1  ct 2  Yt  nt (1  f t )
(17-10)
と表すことができる。
（問題 17-8）(17-7)、(17-8)、(17-9)を用いて、(17-10)を導出しなさい。
また、第 t 世代の公的年金の収益率 t は
t 
nt (1  f t )
L
f t  t (1  f t )
Lt 1
(17-11)
と表すことができる。
（問題 17-9）(17-5) 、(17-6)、(17-9)を用いて、(17-11)を導出しなさい。
24
ct1  ct 2  Yt  nt (1  f t )
t 
nt (1  f t )
L
f t  t (1  f t )
Lt 1
(17-10)
(17-11)
(17-10)より、nt (1  f t )  0 であれば、第 t 世代にとって公的年金の拡充(  の増加)で第 t 世
代の効用が上昇する。
そして、(17-11)より、 t  0 であることは、 nt (1  f t )  0 であるための必要十分条件であ
る。
したがって、第 t 世代の公的年金の収益率 t が正( t  0 )であれば、公的年金の拡充(  の
増加)で第 t 世代の効用が上昇することになる。
25
17.1
人口変化のモデル：２世代重複モデル
17.2
積立率とフェア年金
17.3 賦課方式から積立方式への移行と二重の負担
17.4 修正積立方式から賦課方式への移行
17.5
補論 1*：年金純債務と国債残高
17.6
補論 2*：公的年金の収益率と第 t 世代の効用変化
26

Download Report