公共経済学

公共経済学
15. 公的年金2
人口の成長率が一定でないケースにおける年金改革の問題について検討しよう。
＜人口変化のモデル：２世代重複モデル＞
第ｔ世代＝ｔ期の期首に生まれ t+1 期の期末まで生存
Lt ＝第ｔ世代の人口（公的年金制度加入者数）
第１期から公的年金制度を導入： L0  0
L3  2 、 L1  L2  L4  L5    1
：第 3 世代のみが人口２でその他の世代は人口１
（第 3 世代＝団塊の世代）
期
世代
１
２
３
４
５
１
２
３
４
５
６
期
世代
１
２
１
２
b1

b2
３
４

b3

b3

３
４
５
５
６
bt ＝第ｔ世代の青年期における１人当たり年金保険料
 ＝老年期における１人当たり年金受給額
Tt ＝ｔ期の総年金保険料
Bt ＝ｔ期の総年金受給額
Tt  bt Lt
Bt   Lt 1
(15-1)
(15-2)
＜賦課方式、積立方式、修正積立方式＞
単純化のため利子率（=市場収益率）はゼロとする。
（ｔ期の期末における公的年金）積立残高＝ (T1  B1 )    (Tt  Bt )
（t+1 期における公的年金）給付額＝ Bt 1
(T1  B1 )    (Tt  Bt )
（ｔ期の期末における）積立率 f t ＝
Bt 1
積立方式＝積立率が［
］％
賦課方式＝積立率が［
］％
修正積立方式＝積立率が 0％と 100％の間
（2 期から給付を開始する公的年金のおける）
総年金保険料 Tt と総年金受給額 Bt の関係
Bt  Tt 1 （ t  2, 3, ）：［
Bt  Tt （ t  2, 3, ）：［
］方式
］方式
(15-3)
(15-4)
＜修正積立方式における積立率と保険料の関係＞
btF  f t   ：積立率 f t の積立をするための保険料（積立残高） (15-5)
btP ：前の世代の積立残高 btF の不足分を補うための保険料
とすれば、
前の世代の積立不足総額は Lt 1 (  btF1 ) であるから、
Lt  btP  Lt 1 (  btF1 )
が成り立つ。
したがって、
Lt 1
b 
(  btF1 )
Lt
P
t
(15-6)
＜純便益と収益率＞
bt  btF  btP ：第ｔ世代の年金保険料（負担額）
g t    bt ：第ｔ世代の純便益
(15-7)
(15-8)
gt
 t  ：第ｔ世代の公的年金の収益率
bt
(15-9)
フェア年金＝各世代にとっての収益率 t が市場収益率に等しい年金
この定義から、
［
］方式の公的年金は必ずフェア年金である。
＜賦課方式と収益率＞
2 期（第 1 世代の老年期）に賦課方式の年金制度が導入されたとする
（ f t  0 、 t  1, 2, ）。このとき、(15-6)、(15-7)より
bt 
Lt 1

Lt
であるから、
(15-1)、(15-2)、(15-8)、(15-9)より

L 
g t   1  t 1 
Lt 

t 
Lt
1
Lt 1
(15-10)
(15-11)
となる。
したがって、各世代の純便益 g t と収益率 t を、表１のように  を用いて表すことができる。
L3  2 、 L1  L2  L4  L5    1

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
Lt
t 
1
Lt 1
＜表 1＞
世代ｔ
bt
gt
t
１
２
３
４
５
L3  2 、 L1  L2  L4  L5    1

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
Lt
t 
1
Lt 1
＜表 1＞
世代ｔ
１
bt
0
gt
t
２

３
 /2
４
2
５

L3  2 、 L1  L2  L4  L5    1

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
Lt
t 
1
Lt 1
＜表 1＞
世代ｔ
１
bt
gt
t
0
２

３
 /2
４
2
５


0
 /2

0
L3  2 、 L1  L2  L4  L5    1
Lt 1
bt 

Lt

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt
t 
1
Lt 1
＜表 1＞
世代ｔ
１
0
２

３
 /2
４
2
５

bt
gt

0
 /2

0
t

0
1
－1/2
0
＜賦課方式から積立方式への移行と収益率＞
3 期に賦課方式から積立方式へ移行するとしよう（ 0  f1  f 2 ,1  f 3  f 4  ）。
そのときの、
各世代の一人当たり純便益 g t と収益率 t は表２のようになる。
したがって、移行過程で大きな負担をすることになる世代が存在する。
F
t
b
Lt 1
b 
(  btF1 )
Lt
 ft 
P
t

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
bt  btF  btP
Lt
t 
1
Lt 1
＜表２＞
世代ｔ
btF
btP
bt
gt
t
１
２
３
４
５
F
t
b
Lt 1
b 
(  btF1 )
Lt
 ft 
P
t

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
bt  btF  btP
Lt
t 
1
Lt 1
＜表２＞
世代ｔ
１
２
３
４
５
btF
0
0



btP
bt
gt
t
F
t
b
Lt 1
b 
(  btF1 )
Lt
 ft 
P
t

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
bt  btF  btP
Lt
t 
1
Lt 1
＜表２＞
世代ｔ
１
２
３
４
５
btF
0
0



btP
0

 /2
0
0
bt
gt
t
F
t
b
Lt 1
b 
(  btF1 )
Lt
 ft 
P
t

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
bt  btF  btP
Lt
t 
1
Lt 1
＜表２＞
世代ｔ
１
２
３
４
５
btF
0
0



btP
0

 /2
0
0
bt
0

3 / 2


gt
t
F
t
b
Lt 1
b 
(  btF1 )
Lt
 ft 
bt  btF  btP
P
t

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
Lt
t 
1
Lt 1
＜表２＞
世代ｔ
１
２
３
４
５
btF
0
0



btP
0

 /2
0
0
bt
0

3 / 2


gt

0
 / 2
0
0
t
Lt 1
b 
(  btF1 )
Lt
 ft 
F
t
b
bt  btF  btP
P
t

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
Lt
t 
1
Lt 1
＜表２＞
世代ｔ
１
２
３
４
５
btF
0
0



btP
0

 /2
0
0
bt
0

3 / 2


gt

0
 / 2
0
0
t

0
－1/3
0
0
＜修正積立方式と収益率＞
1 期に積立率が 1/2 の修正積立方式の公的年金が導入されたとする
（ 1 / 2  f1  f 2   ）
。
そのとき、各世代の一人当たり純便益 g t と収益率 t は表３のようになる。
表２と表３を比較すると、賦課方式と比較すると修正積立方式の場合
のほうが世代間の負担の格差は小さくなっていることが分かる。
F
t
b
Lt 1
b 
(  btF1 )
Lt
 ft 
P
t

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
bt  btF  btP
Lt
t 
1
Lt 1
＜表３＞
世代ｔ
btF
btP
bt
gt
t
１
２
３
４
５
Lt 1
b 
(  btF1 )
Lt
 ft 
F
t
b
bt  btF  btP
P
t

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
Lt
t 
1
Lt 1
＜表３＞
世代ｔ
１
２
３
４
５
btF
 /2
 /2
 /2
 /2
 /2
btP
bt
gt
t
Lt 1
b 
(  btF1 )
Lt
 ft 
F
t
b
bt  btF  btP
P
t

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
Lt
t 
1
Lt 1
＜表３＞
世代ｔ
１
２
３
４
５
btF
 /2
 /2
 /2
 /2
 /2
btP
0
 /2
 /4

 /2
bt
gt
t
Lt 1
b 
(  btF1 )
Lt
 ft 
F
t
b
bt  btF  btP
P
t

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
Lt
t 
1
Lt 1
＜表３＞
世代ｔ
１
２
３
４
５
btF
 /2
 /2
 /2
 /2
 /2
btP
0
 /2
 /4

 /2
bt
 /2

3 / 4
3 / 2

gt
t
Lt 1
b 
(  btF1 )
Lt
 ft 
F
t
b
bt  btF  btP
P
t

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
Lt
t 
1
Lt 1
＜表３＞
世代ｔ
１
２
３
４
５
btF
 /2
 /2
 /2
 /2
 /2
btP
0
 /2
 /4

 /2
bt
 /2

3 / 4
3 / 2

gt
 /2
0
 /4
 / 2
0
t
Lt 1
b 
(  btF1 )
Lt
 ft 
F
t
b
bt  btF  btP
P
t

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
Lt
t 
1
Lt 1
＜表３＞
世代ｔ
１
２
３
４
５
btF
 /2
 /2
 /2
 /2
 /2
btP
0
 /2
 /4

 /2
bt
 /2

3 / 4
3 / 2

gt
 /2
0
 /4
 / 2
0
t
1
0
1/3
－1/3
0
＜修正積立方式から賦課方式への移行と収益率＞
積立率が 1/2 の修正積立方式の公的年金制度が 3 期の期末まで継続していたが、
4 期の期末からは賦課方式に移行したとする。
（ 1 / 2  f1  f 2  f 3 , 0  f 4  f 5   ）
そのとき、各世代の一人当たり純便益 g t と収益率 t は表４のようになる。
したがって、第 4 世代以降の世代の公的年金はフェア年金となる。
F
t
b
Lt 1
b 
(  btF1 )
Lt
 ft 
P
t

L 
g t   1  t 1 
Lt 

Lt 1
bt 

Lt
bt  btF  btP
Lt
t 
1
Lt 1
＜表４＞
世代ｔ
btF
btP
bt
gt
t
１
２
３
４
５

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