コラッツ予想の変形について

コラッツ予想の変形について
白柳研究室
５５１０１００
峯岸広大
目的
• コラッツ予想の規則性について興味を持った。
本研究では、Maple 14 を用いて、コラッツ予想
の変形に関する計算機実験を行い、新たな規則
性を発見する。
• そして、本来のコラッツ予想と比較し、解決の
糸口を探る。
コラッツ予想
• コラッツ予想とは、任意の自然数Nに対して、
それが偶数の場合は２で割り、奇数の場合は３
倍して１を加えるという操作を繰り返していく
と、必ず有限回で１に到達するであろうという
予想である。
計算機実験
• 数式処理システムMaple 14を用いて、
コラッツ予想の変形を計算機実験する。
• できるだけ多くの組み合わせの結果を取り、そ
こから規則性を見つける。
研究背景
• 一昨年度、昨年度、今年度もコラッツ予想の研
究をしているが、コラッツ予想の変形として組
み合わせをある程度固定し、周期サイクルや計
算過程などについて研究した。本研究ではコ
ラッツ予想の変形について、１やある値に収束
するような組み合わせのデータをできる限り集
めて統計し、そこから規則性を見つける。その
規則性から解決の糸口を探る。
コラッツ予想の変形
• 本来のコラッツ予想
( 2 ,3 ,1 ,n )
• コラッツ予想の変形
• ２以外の数を置き換える。
• [ n が 3~101 の奇数]とする。
{2,3,(3,5,7,9,11),n} {2,3,(-1~-11),n}
{2,5,(1~11),n}
{2,5,(-1~-11),n}
{2,7,(1~11),n}
{2,7,(-1~-11),n}
{2,9,(1~11),n}
{2,9,(-1~-11),n}
47パターン
実験結果１
• コラッツの変形の組み合わせを
計算機実験した結果
①すべて同じ数に収束するパターン
( 2, 3, 3, n)
すべて３に収束した。
( 2, 3, 9, n)
すべて９に収束した。
実験結果２
• ②複数の特定された値に収束するパターン
(2,3,5,n) 1 (4) ,5 (10) ,19 (29) ,23 (7) 4種類
(2,3,7,n) 1 (35),5 (8) ,7 (7)
3種類
(2,3,11,n) 1 (7) ,11 (5) ,13 (38)
3種類
(2,3,-1,n) 1 (19),5 (14) ,17 (17)
3種類
(2,3,-3,n) 3 (19),15 (17) ,51 (14)
3種類
(2,3,-5,n) 1 (40),5 (4),25 (5),85 (1)
4種類
(2,3,-7,n) 1 (43),7(3) ,35(4)
３種類
実験結果３
N 収束した数
(2,3,7,n)の実験結果
1に収束 35
5に収束 8
7に収束 7
3
9
13
15
17
19
23
25
29
31
33
37
39
41
43
45
47
53
55
57
59
65
67
69
71
75
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
81
83
85
87
89
93
97
99
101
N
5
11
27
51
61
73
79
95
N
7
21
35
49
63
77
91
1
1
1
1
1
1
1
1
1
収束した数
5
5
5
5
5
5
5
5
収束した数
7
7
7
7
7
7
7
Ｎ
(2,3,-7,n)の実験結果
1に収束 43
7に収束 3
35に収束 4
3
5
9
11
13
15
17
19
23
25
27
29
31
33
37
39
41
43
45
47
51
53
55
57
59
61
収束した数
1
65
1
1
67
1
1
69
1
1
71
1
1
73
1
1
75
1
1
79
1
1
81
1
1
83
1
1
85
1
1
87
1
1
89
1
1
93
1
1
95
1
1
97
1
1
99
1
1
101
1
1
Ｎ収束した数
1
7
7
1
21
7
1
77
7
1
Ｎ収束した数
1
35
35
1
49
35
1
63
35
1
91
35
実験結果４
• ③発散したパターン
• (2,5,1~11)
• (2,7,1~11)
• (2,9,1~11)
(2,5,-1~-11)
(2,7,-1~-11)
(2,9,-1~-11)
• 発散する組み合わせが多く出てきてしまった。
まとめ
• 本研究により、奇数の場合3倍したあとの計算は加
算よりも減算の方が収束する場合が多いことがわ
かった。3,5,7,9倍の中では3倍の場合が一番多く収
束した。1,3,5,7,9,11 の加算の中でも、値が小さいほ
うが収束しやすいということが分かった。
• また、すべて同じ値に収束する組み合わせや、特定
の値(数種類)に収束する組み合わせ、発散した場合
でも同じ数を通って発散することなど、
いくつか興味深い結果が出た。
今後の課題
• 同じ値に収束した(2,3,3,n)と(2,3,9,n)の組み合
わせに対し、より多くの数まで実験し計算過程
も調べることにより、構造を明らかにしたい。
• ３をかける場合、加算、減算どちらも７のとき
に最も多く１に収束したので、７に絞ってより
多い種類の組み合わせを試してみると、より多
くの収束する組み合わせが見つかるかもしれな
い。

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