基本情報技術概論 (第２回) 数の表現方法 ・ 演算 埼玉大学 理工学研究科 堀山 貴史 1 前回の復習 単位 bit, byte k, M, G, T / m, μ, n n 進数 ２進数 0, 1, 10, 11, 100, 101, … ８進数 0, 1, 2, …, 6, 7, 10, 11, 12, … 16進数 0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F, 10, … 基数の変換 2A . 18 (16) … 2 x 16 + 10 x 1 + 1 x 1/16 + 8 / 162 (10) 1011 . 1 (2) … 001 011 . 100 (2) = 1 3 . 4 (8) ________________ 2 前回の復習 （２） 整数 例) 数値の表現方法 0 0 0 1 1 0 0 1 1 9 絶対値表現 1 -1 １の補数 ２の補数 1 1 -6 -7 符号なし整数 符号付き整数 最上位ビットを 符号として使う 小数 固定小数点数 浮動小数点数 3 小数の表現方法 ________________ 固定小数点数 小数点の位置を固定 浮動小数点数に比べて、数値表現の範囲が狭い （大きな数、小さな数が扱えない） 例） 1000000 (2) は？ 0.00001 (2) は？ 演算が容易 最上位ビットを符号とみて、符号付きの数も扱える 4 小数の表現方法 指数部 - 0.1 x 2 11 符号部 仮数部 ________________ 浮動小数点数 符号部 指数部 仮数部 固定小数点数に比べて、数値表現の範囲が広い 例） 1000000 (2) は 0.1 x 2 7 0.00001 (2) は 0.1 x 2 -4 注意： 正規化が必要 仮数部の左端から０が並んでいると、 有効数字が小さくなる。これを防ぐため、 0.1 x 2 ○ という形にする。 5 小数の表現方法 指数部 - 0.1 x 2 11 浮動小数点数 （形式その１） 符号部(S) 指数部(E) 1 bit 7 bit 符号部 仮数部 仮数部(M) 24 bit (-1) S x 0.M x 2 E 符号部 ： 仮数部の符号 ０：正 １：負 仮数部 ： 符号を取り除いた絶対値 正規化 0.1○○○ 指数部 ： 正の数も負の数も、ありえる ２の補数表現 6 小数の表現方法 指数部 - 0.1 x 2 11 浮動小数点数 （形式その２） 符号部(S) 指数部(E) 1 bit バイアス127を 加える 8 bit 符号部 仮数部 仮数部(M) 23 bit バイアス127を 引く (-1) S x 1.M x 2 E-127 符号部 ： 仮数部の符号 ０：正 １：負 仮数部 ： 符号を取り除いた絶対値 正規化 1.○○○ 指数部 ： 正の数も負の数も、ありえる 指数部にバイアス (127) が加わっている 7 小数の表現方法 指数部 - 0.1 x 2 11 符号部 仮数部 IEEE 浮動小数点数 float 単精度 （４ バイト ： 32 ビット） 符号部 指数部 仮数部 1 bit 8 bit 23 bit 倍精度 （８ バイト ： 64 ビット） double 符号部 指数部 仮数部 1 bit 11 bit 52 bit 形式その２を使う （倍精度のバイアスは 1023） 8 四則演算 （＋, －, ×, ÷） 9 加算 10進数の加算と同様に、下位の桁からの 桁上がり （ キャリー ） を足していく ________________ 例）４ bit 符号なし整数 １ ０１００ ＋ ０１１０ １０１ ０ １１１１ １１１１ ＋ ０００１ １０００ ０ 注意： ________________ オーバーフロー 演算結果が、表現できる数値の範囲より外側に 超えてしまうことがある 10 減算 10進数の加算と同様に、下位の桁からの 桁借り （ ボロー ） を引いていく ________________ 例）４ bit 符号なし整数 １ １０１０ － ０１１０ ０１００ １１１１ ００００ － ０００１ ？１１１１ 注意： オーバーフロー 演算結果が、表現できる数値の範囲より外側に 超えてしまうことがある 11 減算 （方法２） ２の補数表現を使って、加算 例） ４ － １ ＝ ４ ＋ (-1) １１ ０１００ ＋ １１１１ １００１１ … ４ … －１ … ３ ２の補数表現では 無視する 12 ２の補数表現の加算 ２の補数表現を使って、加算 例） ４ ＋ ４ １ ０１００ ＋ ０１００ １ ０００ … ４ … ＋４ … ８？ 正＋正＝負 負＋負＝正 注意： オーバーフロー 演算結果が、表現できる数値の範囲より外側に 超えてしまうことがある 13 シフト演算 論理シフト ビット列を左や右に移動させる あふれた値は捨てる 空いたところには ０ を入れる 例） 左シフト 右シフト １ １ ０ １ ｘ １ １ ０ １ ｘ １ ０ １ ０ ０ １ １ ０ 14 シフト演算 算術シフト 符号ビットを保持する ２の補数表現で、 ２倍（左シフト）や １/２倍（右シフト）に対応 例） 左シフト ０ ０ ０ １ ｘ … １ １ １ ０ １ ｘ … -３ ０ ０ １ ０ … ２ １ ０ １ ０ … -６ 15 シフト演算 算術シフト 符号ビットを保持する ２の補数表現で、 ２倍（左シフト）や １/２倍（右シフト）に対応 例） 右シフト ０ ０ １ ０ ｘ … ２ １ ０ １ ０ ｘ … -６ ０ ０ ０ １ … １ １ １ ０ １ … -３ 16 乗除算 シフトと加減算を組み合わせて実現する １１０１ ｘ ０１０１ １１０１ ００００ １１０１ ００００ １０００００１ ０１０１ … 5 … 13 … １１０１ １００００１１ … 67 … 5 １１０１ １１１１ １１０１ １０ … 2 … 65 17 用語： オーバーフロー ________________ 誤差 演算結果が、表現できる数値の範囲より 外側に超えること アンダーフロー ________________ 浮動小数点演算では、オーバーフローの他に アンダーフローも起こりえる 演算結果が、表現できる数値の範囲より 細かな数になること 数値範囲 数直線 オーバーフロー ０ アンダーフロー オーバーフロー 18 用語： 誤差 情報落ち ________________ 浮動小数点演算において、 絶対値の大きな数 と 絶対値の小さな数 の 加減算で、 絶対値の小さな数の有効桁数の一部または全部が 演算結果に反映されないことで生じる 例） 0.10100(2) x 24 – 0.10001(2) x 2-8 桁落ち ________________ 浮動小数点演算において、 値がほぼ等しい数同士の加減算で、 有効桁数が大幅に減ってしまう 意味があるのは この桁のみ 例） 0.10000011 x 24 - 0.10000010 x 24 = 0.10000000 x 2-3 19 用語： 誤差 打切り誤差 ________________ 演算を途中で打ち切ったことで発生する誤差 例） sin x を x – x3/3 ! で計算 (本当は、 x – x3/3 ! + x5/5 ! – x7/7 ! + ・・・ と続く) 丸め誤差 ________________ 最下位桁より小さい部分について、 丸め（四捨五入や切り上げ、切捨て）を 行うことによって生じる誤差 例) 10/3 = 3.333… → 3.3 20 文字の表現方法 文字コード 文字集合（扱う文字の集合）の 符号化方式（どのように２進数を対応させるか）を 定めたもの 21 ASCI I コード ________________ ANS I (American National Standards Institute) で 制定された７ビットのコード 英数字、記号、 制御コードからなる 例） Ａ の文字コード １０００００１ 22 より多くの文字を取り扱うために ... J________________ I S コード ISO-2022 を符号化方式とした ７ビット １～２バイトのコード 電子メールのやりとりには、ISO-2022-JP の 符号化方式を用いるのが主流 シフト JIS ________________ J I S コードと同じ文字集合 （８ビット １～２バイト） 以前の Windows や MacOS では、 内部処理用のコードとして主に利用された （現在でも、ユーザはファイル保存時に使える） 23 より多くの文字を取り扱うために ... EUC (EUC-JP) ： 拡張 Unix コード ________________ J I S コードと同じ文字集合 （８ビット １～２バイト） 主に Unix で用いられる Unicode ________________ 世界中の言語で使う文字を １つのコード体系に納め（ようとしてい）るコード Window，Mac OS X，Unix 等の最近の OS で 標準的に扱える 符号化方式には、UTF-8 や UTF-16 が用いられる 24 論理演算 25 論理演算 ２進数の四則演算 （＋, －, ×, ÷） は、 ０, １ を操作すれば実現できる 与えられた ０, １ （入力） から、 計算結果の ０, １ （出力） を得る仕組みを作ろう！ 26 論理演算 ＮＯＴ （否定） ＡＮＤ （論理積） ＯＲ （論理和） ＸＯＲ （排他的 論理和） 回路記号 Ａ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ ｆ 真理値表 Ａ ０ １ ｆ １ ０ Ｂ ０ １ ０ １ ｆ ｆ Ａ ０ ０ １ １ Ｂ ０ １ ０ １ ｆ ｆ Ａ ０ ０ １ １ Ｂ ０ １ ０ １ ｆ ｆ Ａ ０ ０ １ １ ０ ０ ０ １ ０ １ １ １ ０ １ １ ０ 論理式 ｆ = Ａ ｆ =￢Ａ ｆ = Ａ・Ｂ ｆ = Ａ∧Ｂ ｆ = Ａ＋Ｂ ｆ = Ａ∨Ｂ ｆ = Ａ＋Ｂ 27 論理演算： ＮＡＮＤ 論理演算 ＮＯＴ （否定） ＡＮＤ （論理積） ＮＡＮＤ 回路記号 Ａ Ａ Ｂ Ａ Ｂ ｆ 真理値表 Ａ ０ １ ｆ １ ０ Ｂ ０ １ ０ １ ｆ ｆ Ａ ０ ０ １ １ Ｂ ０ １ ０ １ ｆ ｆ Ａ ０ ０ １ １ ０ ０ ０ １ １ １ １ ０ 論理式 ｆ = Ａ ｆ =￢Ａ ｆ = Ａ・Ｂ ｆ = Ａ∧Ｂ ｆ = Ａ・Ｂ ｆ = Ａ∧Ｂ 28 論理演算： ＮＯＲ 論理演算 ＮＯＴ （否定） ＯＲ （論理和） ＮＯＲ 回路記号 Ａ Ａ Ｂ Ａ Ｂ ｆ 真理値表 Ａ ０ １ ｆ １ ０ Ｂ ０ １ ０ １ ｆ ｆ Ａ ０ ０ １ １ Ｂ ０ １ ０ １ ｆ ｆ Ａ ０ ０ １ １ ０ １ １ １ １ ０ ０ ０ 論理式 ｆ = Ａ ｆ =￢Ａ ｆ = Ａ＋Ｂ ｆ = Ａ∨Ｂ ｆ = Ａ＋Ｂ ｆ = Ａ∨Ｂ 29 30 31 論理演算： 否定 (NOT) 入力の否定 （０, １ を反転させる） 入力 出力 Ａ 真理値表 ｆ 回路記号 論理式 Ａ ｆ ｆ = Ａ ０ １ ｆ =￢Ａ １ ０ 32 論理演算： 論理積 (AND) Ａ と Ｂ どちらも １ なら、 f も １ Ａ ｆ Ｂ 真理値表 回路記号 論理式 Ａ Ｂ ｆ ｆ = Ａ・Ｂ ０ ０ １ １ ０ ０ ０ １ ｆ = Ａ∧Ｂ ０ １ ０ １ 33 論理演算： 論理和 (OR) Ａ または Ｂ が １ なら、 f も １ Ａ ｆ Ｂ 真理値表 回路記号 論理式 Ａ Ｂ ｆ ｆ = Ａ＋Ｂ ０ ０ １ １ ０ １ １ １ ｆ = Ａ∨Ｂ ０ １ ０ １ 34 論理演算： 排他的論理和 (XOR, EOR, EXOR) Ａ または Ｂ 一方のみが １ なら、 f も １ Ａ ｆ Ｂ 真理値表 回路記号 Ａ Ｂ ｆ ０ ０ １ １ ０ １ １ ０ ０ １ ０ １ 論理式 ｆ = Ａ＋Ｂ 35 36 37 この教材のご利用について この文面は、TOKYO TECH OCW の利用 条件を参考にしました この教材は、以下に示す利用条件の下で、著作権者にわざわざ許諾を 求めることなく、無償で自由にご利用いただけます。講義、自主学習は もちろん、翻訳、改変、再配布等を含めて自由にご利用ください。 非商業利用に限定 この教材は、翻訳や改変等を加えたものも含めて、著作権者の許 諾を受けずに商業目的で利用することは、許可されていません。 著作権の帰属 この教材および教材中の図の著作権は、次ページ以降に示す著 作者に帰属します。この教材、または翻訳や改変等を加えたもの を公開される場合には、「本教材 (or 本資料) は http://www.al.ics. saitama-u.ac.jp/horiyama/OCW/ の教材です (or 教材を改変したものです」 との旨の著作権表示を明確に実施 してください。なお、この教材に改変等を加えたものの著作権は、 次ページ以降に示す著作者および改変等を加えた方に帰属しま す。 同一条件での頒布・再頒布 この教材、または翻訳や改変等を加えたものを頒布・再頒布する 場合には、頒布・再頒布の形態を問わず、このページの利用条件38 この教材のご利用について 配布場所 http://www.al.ics.saitama-u.ac.jp/horiyama/OCW/ この powerpoint ファイルの著作者 堀山 貴史 2007-2009 [email protected] 改変等を加えられた場合は、お名前等を追加してください 図の著作者 p. 26 クリップアート : Microsoft Office Online / クリップアート その他 堀山 貴史 39
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