６三平方の定理１章三平方の定理 §１三平方の定理（４時間） §１三平方の定理三平方の定理直角三角形の直角をはさむ２辺の長さを a , b , 斜辺の長さを c とすると、c 次の関係が成り立つ。 a 2＋ b 2＝ c 2 B a 三平方の定理の逆 △ABC で、 BC＝a , CA＝b , AB＝c とするとき、次のことがいえる。 a 2＋ b 2＝ c 2 ならば、 ∠C＝90° B A b C A c a b C 《三平方の定理の証明１》 E D c2 F B A c b b2 a C a2 a 2＋ b 2＝ c 2 《三平方の定理の証明１》 E a b D c2 ＝四角形EFCD－△ABC×4 a 1 2 ＝( a＋b ) －― ab×4 2 A ＝a 2＋2 ab＋b 2－2 ab b c2 a F c b B a b ＝a 2＋b 2 2 2 2 よって、 a ＋ b ＝ c C 《三平方の定理の証明２》 D E c2 B A c b b2 a C a2 a 2＋ b 2＝ c 2 《三平方の定理の証明２》 D c 2 (青枠の四角形DEBA) E c2 b ab B a c a ＝赤枠の四角形＋△ABC×4 1 2 ＝( a－b ) ＋― ab×4 2 A ＝a 2－2 ab＋b 2＋2 ab b ＝a 2＋b 2 2 2 2 よって、 a ＋ b ＝ c C 《三平方の定理の逆の証明》『△ABCで、a 2＋ b 2＝ c 2 ならば、∠C＝90º 』【証明】右の図の △ABC に対して、 c B’C’＝a , C’A’＝b , ∠C＝90º であるような △A’B’C’ をかき、 a B A’B’＝x とする。 △A’B’C’ は、∠C’＝90º の直角三角形であるから、三平方の定理によって、 x a 2＋ b 2＝ x 2 ･･････① また、仮定から、 a 2＋ b 2＝ c 2 ･･････② ①、②から、 x 2＝ c 2 a B’ x , c は、ともに正の数だから、 x＝ c したがって、AB＝A’B’ , BC＝B’C’ , CA＝C’A’ なるから、 △ABC≡△A’B’C’ よって、 ∠C＝90º A b C A’ b C’ と《問題１》下の表には、直角三角形(ア)～(オ)の３辺の長さ a , b , c が示されている。この表の空らんをうめなさい。ただし、c は斜辺の長さとする。 a (ア ) ３ (ウ ) ８５ b c (イ ) ５ 13 17 (エ ) 10 (オ ) 10 ５ 10 END