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2.3 線遷移
束縛状態にある離散的なエネルギー準位間の遷移
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放射励起
自発放射脱励起
誘導放射脱励起
衝突励起
衝突脱励起
u
𝐸𝑢𝑙 = ℎ𝜈0
l
それぞれの遷移確率を表す係数=アインシュタイン係数
2.3.1 アインシュタイン係数
u
[自発脱励起]
高準位から自発的に低準位に遷移
放射
l
[アインシュタイン係数] 𝐴𝑢𝑙
𝐴𝑢𝑙 :自発脱励起により単位時間内に u → l 遷移
する確率
u状態の寿命 : Δ𝑡~1/𝐴𝑢𝑙
h𝜈0
u
自然幅
𝝍 𝝂 − 𝝂𝟎
[ハイゼンベルグの不確定性関係]
エネルギーの不確定幅∆𝐸 = ℎ
振動数の不確定幅 ∆𝜈 =
𝛾𝑟𝑎𝑑
l
2𝜋∆𝑡
2𝜋
(𝛾 𝑟𝑎𝑑 = 1
Δ𝑡 )
遷移に伴う放射にも不確定性(自然幅)が存在
自然幅による振動数の確率分布
𝛾𝑟𝑎𝑑
𝜓 𝜈 − 𝜈0 =
(𝜈−𝜈0
4𝜋2
𝛾𝑟𝑎𝑑
)2 +(
2
4𝜋)
(Lorentz 分布)
単位振動数あたりの遷移確率は𝐴𝑢𝑙 𝜓 𝜈 − 𝜈0
単位体積あたりの遷移確率は𝐴𝑢𝑙 𝑛𝑢
h𝜈0
静的な大気中で脱励起過程が励起過程と独立の場合
𝐻(𝑎, 𝑣)
𝜓 𝜈 − 𝜈0 =
𝜋Δ𝜈𝐷
𝜈0 2𝑘𝑇
Δ𝜈𝐷 ≡
…熱運動によるドップラー幅
𝑐
𝑚
𝜈−𝜈0
𝛾
𝑣=
, 𝑎=
Δ𝜈𝐷
4𝜋Δ𝜈𝐷
H(a,v)は線中心でガウス分布
(熱運動)、線翼でローレンツ分布
(衝突)の性質をもつヴォイト関数
※脱励起過程が励起過程による
場合分布はより複雑化
u
[放射励起]
外部からの放射によって高準位に遷移
𝝋 𝝂 − 𝝂𝟎
h𝜈0
l
[アインシュタイン係数] 𝐵𝑙𝑢
𝜑
𝐵𝑙𝑢 𝐽𝜈0 : 放射励起により単位時間内にl → u 遷移をする確率
ここで
𝜑
𝐽𝜈0
≡
1 ∞ 1
𝐼 𝜑
2 0 −1 𝜈
𝜈 − 𝜈0 𝑑𝜇𝑑𝜈
𝜑は遷移に対応する減衰分布
静的な大気中では自発脱励起の場合と同様
𝜑 𝜈 − 𝜈0
𝑣=
𝜈−𝜈0
Δ𝜈𝐷
𝐻(𝑎, 𝑣)
=
𝜋Δ𝜈𝐷
, 𝑎=
𝜈0 2𝑘𝑇
Δ𝜈𝐷 ≡
𝑐
𝑚
𝛾
4𝜋Δ𝜈𝐷
減衰が小さいとき(a<1)
𝜑 𝜈 = 𝜈0
a=0で純粋なガウス分布
1−𝑎
=
𝜋Δ𝜈𝐷
[誘導脱励起]
外部放射からの刺激による
高準位から低準位への遷移
u
𝝌(𝝂 − 𝝂𝟎 )
h𝜈0
l
[アインシュタイン係数] 𝐵𝑢𝑙
𝜒
𝐵𝑢𝑙 𝐽𝜈0
: 放射励起により単位時間内にl → u 遷移をする確率
ここで
𝜒
𝐽𝜈0
≡
1 ∞ 1
𝐼 𝜒
2 0 −1 𝜈
𝜈 − 𝜈0 𝑑𝜇𝑑𝜈
𝜒(𝜈 − 𝜈0 )は遷移に対応する誘導放射分布
衝突励起と衝突脱励起
𝐶𝑙𝑢 :衝突励起により単位時間内に
l → u 遷移をする確率
𝐶𝑢𝑙 :衝突脱励起により単位時間内に
u→ l 遷移をする確率
u
l
電子衝突によりi→j の遷移が起こる確率
∞
𝑛𝑖 𝐶𝑖𝑗 ≡ 𝑛𝑖 𝑁𝑒 𝑣 𝜎𝑖𝑗 (𝑣)𝑣𝑓 𝑣 𝑑𝑣
0
𝑁𝑒 は電子密度、𝜎𝑖𝑗 (𝑣)は電子の衝突断面積、f(v)は規格化された速度分布
𝑣0 は励起に必要な速度の閾値(1 2 𝑚𝑣02 = ℎ𝜈0 )
𝜎𝑖𝑗 (𝑣)はそれぞれの遷移の物質特性のみに依存、
速度v以外の外部パラメータから独立
アインシュタインの関係式
平衡を仮定
𝜒
𝜑
𝑛𝑢 𝐵𝑢𝑙 𝐽𝜈0 + 𝑛𝑢 𝐴𝑢𝑙 = 𝑛𝑙 𝐵𝑙𝑢 𝐽𝜈0
𝑛𝑢 𝐶𝑢𝑙 = 𝑛𝑙 𝐶𝑙𝑢
𝜒
𝐽𝜈0
=
𝜑
𝐽𝜈0
=
(放射遷移)
(衝突遷移)
𝑛
𝐵𝜈0 (プランク関数),ボルツマン分布 𝑢
𝑛𝑙
=
𝑔𝑢 −𝐸𝑢𝑙
𝑘𝑇
𝑒
𝑔𝑙
[アインシュタインの関係式]
𝐵𝑙𝑢
𝐵𝑢𝑙
=
𝑔𝑢
𝑔𝑙
,
𝐴𝑢𝑙
𝐵𝑢𝑙
=
2ℎ𝜈 3
,
𝑐2
𝐶𝑢𝑙
𝐶𝑙𝑢
=
𝑔𝑙 𝐸𝑢𝑙
𝑒 𝑘𝑇
𝑔𝑢
𝐸𝑢𝑙 は遷移エネルギー、𝑔𝑖 (i=u,l) は各準位の縮退度,
物質の種類に無関係
2.3.2 体積係数
振動数𝜈の放射の単位長さあたりの吸収係数は
ℎ𝜈
𝑙
𝛼𝜈 =
𝑛𝑙 𝐵𝑙𝑢 𝜑 𝜈 − 𝜈0 − 𝑛𝑢 𝐵𝑢𝑙 𝜒 𝜈 − 𝜈0
4𝜋
ℎ𝜈
𝑛𝑢 𝑔𝑙 𝜒 𝜈−𝜈0
= 𝑛𝑙 𝐵𝑙𝑢 𝜑 𝜈 − 𝜈0 [1 −
]
4𝜋
𝑛𝑙 𝑔𝑢 𝜑 𝜈−𝜈0
となり、十分𝜈0 のまわりに局在した分布
( ℎ𝜈𝜑 𝜈 − 𝜈0 𝑑𝜈 =
ℎ𝜈𝜒 𝜈 − 𝜈0 𝑑𝜈 = ℎ𝜈0 )
を仮定すると全吸収係数は
ℎ𝜈0
𝑙
𝛼𝜈0 =
𝑛𝑙 𝐵𝑙𝑢 − 𝑛𝑢 𝐵𝑢𝑙
4𝜋
誘導脱励起を無視すると粒子一個当たりの吸
収断面積は
ℎ𝜈0
𝜎𝜈0 =
𝐵𝑙𝑢 = 0.02654𝑓𝑙𝑢 𝑐𝑚2 𝐻𝑧
4𝜋
𝑓𝑙𝑢 は古典的な振動子強度
アインシュタインの関係を用いると
𝑔 𝑓
13 𝑙 𝑙𝑢 −1
𝐴𝑢𝑙 = 6.67 × 10
𝑠
2
𝑔𝑢 𝜆
放射係数
放射係数は誘導放射を無視すると
ℎ𝜈
𝑙
𝑗𝜈 =
𝑛𝑢 𝐴𝑢𝑙 𝜓(𝜈 − 𝜈0 )
4𝜋
となり全振動数にわたる放射係数は
𝑗𝜈𝑙 0
=
∞ 𝑙
𝑗
0 𝜈
𝑑𝜈 =
ℎ𝜈0
𝑛𝑢 𝐴𝑢𝑙
4𝜋
ここで𝜓 𝜈 − 𝜈0 の𝜈0 に対する対称性を用いた
( ℎ𝜈𝜓 𝜈 − 𝜈0 𝑑𝜈 = ℎ𝜈0 )
源泉関数
波長νに関する源泉関数は
𝑛𝑢 𝐴𝑢 𝜓(𝜈 − 𝜈0 )
𝑗𝜈𝑙
𝑙
𝑆𝜈 ≡
𝑙 =
𝛼𝜈 𝑛𝑙 𝐵𝑙𝑢 𝜑 𝜈 − 𝜈0 − 𝑛𝑢 𝐵𝑢𝑙 𝜒(𝜈 − 𝜈0 )
アインシュタインの関係より
𝜓
3
2ℎ𝜈
𝜑
𝑙
𝑆𝜈 = 2 𝑔 𝑛
𝜒
𝑢 𝑙
𝑐
−
𝑔𝑙 𝑛𝑢 𝜑
𝜓 = 𝜙 = 𝜒のとき源泉関数は
3
𝑛
𝐴
2ℎ𝜈
1
𝑢 𝑢𝑙
0
𝑙
𝑆𝜈0 =
=
𝑛𝑙 𝐵𝑙𝑢 − 𝑛𝑢 𝐵𝑢𝑙
𝑐 2 𝑔𝑢 𝑛𝑙 − 1
𝑔𝑙 𝑛𝑢
(ボルツマン分布が満たされていればプランク関数)